空間曲線及投影二次曲面

一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程*三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第三節(jié)空間曲線及其在坐標(biāo)面上的投影一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.二、空間曲線的參數(shù)方程*將曲線C上的動點坐標(biāo)

x,y,z表示成參數(shù)

t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度,稱為螺距

.例*.將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xOy

面上的投影曲線C′為消去x得C在yOz

面上的投影曲線方程消去y得C在zOx

面上的投影曲線方程例3.曲線在xOy

面上的投影曲線方程為解先消去z,得在xoy和yoz

面上的投影.例3.曲線在yoz

面上的投影是直線的一段解求在yoz面的投影應(yīng)該是消去x,恰好y+z=0中不含x,所以y+z=0即為所求，在yoz面上其是一條直線.例4.曲線在xOy

面上的投影曲線方程為解消去z,得在xoy面上的投影區(qū)域.曲線在xOy

面上的投影曲線區(qū)域為例5.在xOy

面上的投影曲線方程為例6.所圍的立體在xOy

面上的投影區(qū)域.求上半球面和錐面在xOy

面上的投影曲線二者交線解xOy

面上的投影曲線所圍區(qū)域

(2)(1)

1.請欣賞下列曲線在第一卦限內(nèi)的圖形(3)備用題求曲線繞z

軸旋轉(zhuǎn)的曲面的交線在

xOy

平面的投影曲線方程.解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向xOy

面的投影柱面方程為

此曲線在xOy

面上的投影曲線方程為,它與所給平面的與平面266頁1.習(xí)題7-3266頁2(1).在xOy

面上的投影曲線在yOz

面上的投影曲線在zOx

面上的投影曲線2(2).在xOy

面上的投影曲線在yOz

面上的投影曲線在zOx

面上的投影曲線267頁3.雙曲柱面267頁4(1).在xOy

面上的投影區(qū)域在yOz

面上的投影區(qū)域在zOx

面上的投影區(qū)域（為兩條拋物線圍成的區(qū)域）4(2).在xOy

面上的投影區(qū)域在yOz

面上的投影區(qū)域第四節(jié)二次曲面上一節(jié)我們得到圓錐面的方程那么，以下方程表示什么樣的曲面呢？復(fù)習(xí)二次曲面的定義：在三維坐標(biāo)（x、y、z）下三元二次代數(shù)方程對應(yīng)的所有圖形的統(tǒng)稱。1.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x

或y方向的伸縮變換得到)2.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面的交線為橢圓同理與平面和的交線也是橢圓.橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面由橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成．旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：方程可寫為與平面的交線為圓.球面截面上圓的方程方程可寫為3.雙曲面單葉雙曲面橢圓.時,截痕為平面

上的截痕情況:雙曲線:(實軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:

雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面雙葉雙曲面xyo4.拋物面(1)橢圓拋物面特別,當(dāng)a=b時為繞

z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）xyzo第七章向量代數(shù)與空間解析幾何第五節(jié)向量及其線性運算表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點無關(guān)的向量.起點為原點的向量.單位向量:模為1的向量.零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,規(guī)定:零向量與任何向量平行

;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.記作－a;向量a與b的夾角向量a與b的夾角.向量a與b的起點重合后,它們所在的射線之間的夾角稱為向量a與b的夾角通常把記為二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加.2.向量的減法三角不等式3.向量與數(shù)的乘法是一個數(shù),規(guī)定:可見與a

的乘積是一個新向量,記作總之:運算律:結(jié)合律分配律因此定理1.

設(shè)

a

為非零向量,則(為唯一實數(shù))a∥b例1.

設(shè)M

為解:ABCD對角線的交點,三、利用坐標(biāo)作向量的線性運算設(shè)則平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:四、向量的坐標(biāo)表示,向量的模、方向角在空間直角坐標(biāo)系下,向量用表示,在軸,軸,軸上的投影為以為起點,為終點的有向線段有序數(shù)組即的長度是模任意向量可用坐標(biāo)表示為:軸上的投影.稱為向量的坐標(biāo)(或分量),也叫做向量在坐標(biāo)與軸,軸,軸的正向的夾角方向角向量的單位向量:例2.

已知兩點和解:求例3.

已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量例4.

設(shè)點A

位于第一卦限,解:

已知角依次為求點A

的坐標(biāo).則因點A

在第一卦限,故于是故點A

的坐標(biāo)為向徑OA

與x

軸y軸的夾五、向量的分向量表示式分別是的基本單位向量,軸,軸,軸就是該向量的坐標(biāo).的分向量,