(初中)數(shù)學教學：教什么和怎么教

數(shù)學教學：教什么和怎么教

李祎

福建師范大學數(shù)學與計算機科學學院

目錄一、數(shù)學教師應具備的素質二、數(shù)學教學“為什么教”三、數(shù)學教學“教什么”四、數(shù)學教學“怎么教”五、數(shù)學教學“教得怎么樣”一、數(shù)學教師應具備的素質庸師：如同庸醫(yī)，不僅不能教好學，反而會把學生越攪越糊涂，甚至會貽誤學生終生。教書匠：知識的搬運工，把自己會的東西簡單的搬運給學生，沒有智慧，沒有思維火花，不會貽誤學生一生，但也沒有太大發(fā)展。經(jīng)師：不僅能教給學生知識和技能，并且能培養(yǎng)學生一定的能力，屬于較高水平的教師。人師：不僅給學生知識和能力，還能給學生智慧，更能在思想上、人格上影響學生，使學生在獲得知識、培養(yǎng)能力的同時，還產(chǎn)生了智慧，形成了健康人格。深入深出型，自己的知識很豐富、很深奧，交給學生的知識也很深奧，學生聽得不明所以然。淺入深出型，自己的知識很貧乏，但卻要裝得很有學問，把本來淺顯的問題講得云山霧罩。淺入淺出型，自己懂得并不多，但能用通俗的語言教給學生，雖說學生不會有太多提高，但能學到一些知識。深入淺出型，自己的學問很深，但能把晦澀難懂的知識通俗化，學生聽得懂、學得會。如何做到“深入淺出”呢？教師的知識結構：本體性知識，條件性知識，實踐性知識，一般文化知識。數(shù)學教師“兩手抓，兩手硬”：數(shù)學素養(yǎng)與教育理論素養(yǎng)。數(shù)學教學“三吃透”：吃透教材、吃透學生和吃透理論。數(shù)學教學設計的關鍵：理解數(shù)學與稚化思維；先解構，再建構；處理好歷史序、邏輯序與心理序的關系。如何提高自身素養(yǎng)呢——以數(shù)學素養(yǎng)為例（1）從微觀上對數(shù)學知識的準確、深刻理解

（2）從宏觀上對數(shù)學知識整體結構的正確把握

（3）對顯性知識背后隱性的思想方法的認識

（4）對中小學數(shù)學中某些拓展性知識的認知

（5）對數(shù)學知識“來龍去脈”的過程性把握

（6）從高觀點對中小學數(shù)學的居高臨下的認識通過“追問”：形成正確認識，獲得深層理解，拓展學科知識，獲得較高觀點。二、數(shù)學教學“為什么教”數(shù)學教育：以數(shù)學學科為載體培育人教育是一把“雙刃劍”對中美教育的比較和反思數(shù)學教育現(xiàn)象反思：懂而不會和會而不懂真正的教育是什么？——西點軍校的啟示數(shù)學教育僅僅是為了考試和分數(shù)嗎？數(shù)學教育已退化和淪陷為單純的解題訓練——解題教學押題猜題講類型化例題練公式化步驟做模擬試題教得分方法考試高分低能動手能力差應用能力弱創(chuàng)造水平低解題教學新八股三、數(shù)學教學“教什么”教學的本質教學：就是“教學生學”。學生：學什么；怎么學。教師：“教什么”是指“教學生學什么”和“教學生怎么學”。教師：“怎樣教”是指“怎樣教學生學什么”和“怎樣教學生怎么學”。高水平教師與普通教師的差別在哪里？（一）教學生學“本質”（二）教學生學“過程”（三）教學生學“思想”（四）教學生學“結構”（一）教學生學“本質”

1.數(shù)學概念的本質概念是反映事物本質屬性的思維產(chǎn)物.數(shù)學：空間形式和數(shù)量關系.數(shù)學概念：反映數(shù)學對象的本質屬性的思維產(chǎn)物.本質屬性：共有性，特有性，整體性。示例1：集合的本質幼兒園小孩子學集合示例2：距離初中階段學過的“距離”：“兩點之間的距離”；“直線外一點到已知直線的距離”；“兩平行線之間的距離”。距離的本質：圖形P內(nèi)的任一點與圖形Q內(nèi)的任一點間的距離中的最小值，叫做圖形P與圖形Q的距離。把握住這一本質，高中階段學習“點到平面的距離”“直線到與它平行的平面的距離”“兩個平行平面的距離”“異面直線的距離”的概念時，學生也能做到不教自明。示例3：概率的統(tǒng)計定義一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么事件發(fā)生的概率P（A）=p。（九年級上冊）頻率穩(wěn)定于概率，不是說頻率的極限是概率，穩(wěn)定于p不能寫成：“穩(wěn)定于p”意味著對，有即是說只要n充分大，那么頻率充分接近概率的概率就是1。大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學形式表達了頻率的穩(wěn)定性。就是說當n很大時，事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。實驗目的在于體驗用大數(shù)次實驗的頻率來估計概率的方法，而不在于驗證可能性相等。示例4：方程方程的定義“含有未知數(shù)的等式叫方程”，并沒有反映方程的本原思想。教師在方程定義的黑體字上大做文章，反復舉例，咬文嚼字地學習，朗朗上口地背誦，沒有實質性的意義。絕對沒有學生因為背不出這句話而學不會“方程”的。方程的本質在于對已知數(shù)和未知數(shù)一視同仁，通過建立起已知數(shù)和未知數(shù)之間的等式關系，從而求得未知數(shù)。

理解方程的本質，首先要理解等式的意義。例如，3＋2＝5和3＋2＝1＋4雖然都是等式，但是兩個“＝”卻可以有著完全不同的意義：前者的“＝”表示的是“求取解答”的過程，它的方向是從左到右，等號兩邊并不具有同等的地位，這就是等式的“程序性觀點”；后者的“＝”表示兩邊的計算結果相等，等號兩邊具有同等的地位，它們都是3＋2＝1＋4這一整體性數(shù)學“結構”的一個部分，這就是等式的“結構性觀點”。學習用字母表示數(shù)之前，是過程層面的思維方式，其思維定式是列出算式就要算出確定結果。這種思維方式對將一個代數(shù)式作為思考對象是不能接受的，總覺得“這樣還沒算完”。對象層面的思維方式更多地關注算法本身，結果是次要的。學習用字母表示數(shù)的難點是：既要體會用字母表示數(shù)的概括性，更要體會含字母的式子也能看做最后結果。學生認識方程本質的最大困難就在于受“程序性觀點”的影響，始終拘泥于具體的運算，而不能把方程看成一個兩邊相等的整體結構。（“連等”現(xiàn)象：x-5=8=x=8+5=x=13.

）認識方程的意義，需要從兩個方面入手：一是認識方程的顯性特征，即“含有未知數(shù)”和“等式”?？梢圆捎脙纱畏诸惖姆椒?，通過比較幫助學生認識方程的外部特征。二是認識方程的隱形特征。認識方程的意義，更為重要的是要幫助學生逐步克服算術思想的影響，逐步實現(xiàn)學生對等式的“程序性觀點”向“結構性觀點”的轉變，使學生體會到方程是表示已知量和未知量之間相等關系的一種數(shù)學模型。更一般地看，算術運算與代數(shù)運算的區(qū)別在于:區(qū)別一：算術運算處理具體數(shù)字，而代數(shù)運算處理抽象符號。算術運算針對已知量進行操作，每個數(shù)字代表確定的意義；代數(shù)運算用抽象的符號表示未知量，再對符號進行運算變換。區(qū)別二：算術思維是特殊化思維，而代數(shù)思維是一般化思維。算術針對特定情境中的具體問題進行具體分析，采用的是特殊化思維方式；代數(shù)則可以脫離具體情境，概括問題的一般化特征。區(qū)別三：算術關注解決問題的程序，而代數(shù)則重視問題的結構。算術關注解決問題的具體方法和策略；代數(shù)則關注從問題中抽象出來的結構關系式，并對該關系式進行形式化操作。2.數(shù)學結論的本質（1）人為約定的結論數(shù)學知識不是“鐵板一塊”示例5:0為什么不能作除數(shù)示例6：分數(shù)為什么要這樣相加減？示例7：為什么要“先乘除后加減”示例8：為什么要規(guī)定a0=1?示例9：集合的“三性”(教學之可為；教學之不可為)（2）可以證明的結論思考：什么樣的數(shù)學結論，有資格成為數(shù)學定理或公式？經(jīng)常用到，推證不易，形式簡單。經(jīng)常不用：梅涅勞斯定理：如果在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點D、E、F且D、E、F三點共線，則=1塞瓦定理：設O是△ABC內(nèi)任意一點，AO、BO、CO分別交對邊于N、P、M，則推證容易：弧長公式；扇形面積公式，。形式復雜：正切定理：設的三邊分別為，則有下面的結論：理解命題的功用：示例10：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2

平方差公式是乘法公式的一種。多項式的乘法法則是一個一般性的法則，乘法公式是整式乘法法則的下位，是一般法則形式下特殊形式的特征。將“特例”作為“公式”，主要基于以下考慮：第一，為符合公式特征的整式乘法運算帶來方便；第二，為后續(xù)學習奠定基礎，如“用公式法分解因式”“分式的運算與化簡”“解一元二次方程”等。方法論意義：其一是“特殊化”思想。建立在“多項式乘以多項式”基礎之上的“平方差公式”，承載的不僅僅是一個數(shù)學公式本身，它反映了從“一般”到“特殊”的研究數(shù)學問題的基本策略。其二是“歸納”思想。通過觀察一系列具有某種結構特征的“多項式乘以多項式”的結果，“歸納”出符合這種“結構特征”的共同“規(guī)律”，這就是平方差公式，其中的符號可以代表任何“數(shù)字”、“字母”、“式子”。理解命題的內(nèi)容：示例11：三角形面積公式的理解三角形面積公式的得出。三角形面積公式另解：在三角形中，AD和BE是三角形兩條邊上的高，通過相似三角形原理，得到下面的性質：三角形的底邊與高的乘積是一常數(shù)，只與三角形本身有關，而與所選的底邊無關。把這個乘積與某一常數(shù)k的乘積稱為三角形的面積。對于k的取值，一旦確定后就不再變更。這個k應如何??？為此，要做一些規(guī)定，k的取值必須使得邊長為1的正方形的面積為1。正方形可以分割成兩個直角三角形，S=k+k=1，所以k=1/2.則三角形的面積公式為：S=1/2底×高。ABCD示例12：三角形全等的條件三角形全等，即看所給條件能否完全的、唯一的確定一個三角形?！半[藏”掉三角形的任意一條邊或任意一個角，確定三角形的基本條件并沒有改變；但再繼續(xù)減少條件，就不能保證完全確定這個三角形了。

不妨稱實線部分為描述的“最簡條件”。事實上，正是因為“邊邊邊”、“邊角邊”、“角邊角”等條件都能描述出這個“最簡條件”，所以它們成為證明三角形全等的充分條件，而“邊邊角”卻不能。進一步探究可發(fā)現(xiàn)，當滿足以下條件時，“邊邊角”可作為三角形全等的判定條件：（1）若兩個三角形均為直角三角形，則它們?nèi)?。?）若兩個三角形均為鈍角三角形，則它們?nèi)?。?）若兩個三角形均為銳角三角形，則它們?nèi)取＃?）若已知兩邊相等時，則它們?nèi)取＃?）若已知角的對邊為已知兩邊中的大邊時，則它們?nèi)?。（正弦定理求解時得一解）理解命題的證明：波利亞：你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能否一下子看出它來？示例13：多邊形外角和定理凹多邊形的外角和：凹角形成的頂點處，角是順時針旋轉；凸角形成的頂點處，角是逆時針旋轉。把逆時針旋轉的角度視為正角，把順時針旋轉的角度視為負角。閉曲線的“外角和”：行走方向時時在改變。結論：“角度改變量的代數(shù)和是360度”，或“方向改變量的代數(shù)和是360度”3.數(shù)學方法的本質示例14：十字相乘法不僅適用于二次三項式（八上“觀察與猜想”）：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)將任意代數(shù)式分成三項之和：f(x)=A+B+C若A=ab,C=cd,且ad+bc=B,即有下面的十字關系：則f(x)=(a+c)(b+d)abcd示例15：反證法的實質（九上“圓”）反證法的邏輯基礎是排中律。矛盾律：同一對象的兩個互相矛盾的判斷不能同真,至少有一個是假的（a大于b,a小于b）；排中律：同一對象的肯定判斷和否定判斷必有一個是真的。

反證法有效性的原因：有效增設反證法就是等價于證明原命題的逆否命題嗎？過程與結果的辯證關系：科學意義，教學意義過程性是追求的目標：三個層次過程性作為目標的意義：本質，方法，理解，能力過程性的完整含義：知識的，思維的，活動的“誰”的過程性：教師，還是學生？怎樣的過程性：結果的，還是過程的？過程性觀下之審視：預習、作業(yè)、備課二、教學生學“過程”

弗賴登塔爾：“火熱的思考”變成“冰冷的美麗”，教材是“教學法的顛倒”。數(shù)學的形態(tài)：原始形態(tài)、學術形態(tài)和教育形態(tài)?！皩W術形態(tài)”轉化為“教育形態(tài)”——稚化思維的策略教學時不以知識豐富的教師自居，而是把自己的思維降格到學生的思維水平上，有意識地退回到與學生相仿的思維狀態(tài)，設身處地地揣摩學生的學習水平、狀態(tài)等，以與學生同樣的思維情境、共同的探究行為來完成教學的和諧共創(chuàng)。1.過程性中揭示本質示例16：圓周角定義的教學

（鏈接）2.過程性中掌握方法示例17：判別式只適用于一元二次方程嗎？在實數(shù)范圍內(nèi)解方程：判別式的“來龍去脈”——配方法A(x)x2+B(x)x+C(x)=03.過程性中加強理解示例18：“負負得正”的教學（4）故事模型好人（正數(shù)）或壞人（負數(shù)），進城（正數(shù)）或出城（負數(shù)），好（正數(shù)）與壞（負數(shù)）。如果好人（+）進城（+），對于城鎮(zhèn)來說是好事（+），即（+）×（+）=+；如果好人（+）出城（-），對于城鎮(zhèn)來說是壞事（-），即（+）×（-）=-；如果壞人（-）進城（+），對城鎮(zhèn)來說是壞事（-），即（-）×（+）=-；如果壞人(-)出城(-)，對于城鎮(zhèn)來說是好事(+)，所以（-）×（-）=+。模型不足以讓聰明孩子完全信服，還可用其他方法來解釋為何“負負得正”：0=(-5)×0=(-5)×[(-3)+3]=(-5)×(-3)+(-5)×3=(-5)×(-3)+(-15)而只有15與（-15）的代數(shù)和才為0，故(-5)×(-3)=15研究表明：教師最傾向于使用歸納模型，學生最傾向于使用相反數(shù)模型。師生均不喜歡形式化的模型，比如分配律模型。4.過程性中培養(yǎng)能力示例19：二次根式重要公式的教學稚化思維的教學策略——探究和啟發(fā)引導式探究；發(fā)現(xiàn)式探究。由易到難啟發(fā)；由遠及近啟發(fā)。（鏈接——的教學）

示例20：函數(shù)單調(diào)性的教學多快好省地直接呈現(xiàn)形式化的定義，其余的更多時間，便是：咬文嚼字式的強調(diào)，細枝末節(jié)的提示，解題程式的歸納，題海戰(zhàn)術的訓練。讓學生參與形式化、符號化和數(shù)學化的過程：由圖象直觀特征，到自然語言描述，再到數(shù)學符號描述；從直觀到抽象、從文字到符號、從粗疏到嚴密的建構過程。數(shù)學思想是對數(shù)學對象的本質認識，是對具體的數(shù)學概念、命題、規(guī)律、方法等的認識過程中概括的基本觀點。數(shù)學方法是指數(shù)學活動中所采用的途徑、方式、手段、策略等。顯性的知識是寫在教材上的一條明線，隱性的思想是潛藏其中的一條暗線。（三）教學生學“思想”“數(shù)學課程標準”指出，數(shù)學課程應返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、結論的發(fā)展過程和本質，讓學生體會蘊涵在知識中的數(shù)學思想方法。數(shù)學問題可以千變?nèi)f化，而其中運用的數(shù)學思想方法卻往往是相通的。學習數(shù)學重在掌握這種具有普遍意義和具有遷移價值的、能反映數(shù)學本質的策略性知識。

米山國藏：學生所學的數(shù)學知識，在進入社會后幾乎沒有什么機會應用，因而這種作為知識的數(shù)學，通常在走出校門后不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學思想和方法等隨時地發(fā)生作用，使他們受益終身。2004年高考數(shù)學上海卷有一道不需要“解”而需要“理解”的填空題:教材中“坐標平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質是

。當前數(shù)學教學中存在的問題:重術輕道，即只重視對知識點的記憶和解題技巧的訓練，而忽略了對數(shù)學基本原理和思想方法的理解掌握?；A知識基本技能基本活動經(jīng)驗基本思想數(shù)學活動1.思想方法具有相通性示例21：度量思想線段長→多邊形周長→圓周長→弧長；兩直線的夾角→線與面的夾角→面與面的夾角；單位正方形面積→長方形與正方形面積→其他多邊形面積→圓面積→多面體表面積；單位正方體體積→長方體與正方體體積→圓柱體積→圓錐體積。邏輯結構：定義幾何量→確定度量單位→簡化算法。2.思想方法具有遷移性示例22：各種函數(shù)性質的研究通過圖像研究函數(shù)的性質——數(shù)形結合思想；通過具體函數(shù)的性質歸納出一般函數(shù)的性質——從特殊到一般的歸納思想；區(qū)分情況來討論函數(shù)的性質——分類討論思想；通過對比來研究函數(shù)性質——類比的思想方法；函數(shù)性質應用實例——數(shù)學模型思想方法。例如:反比例函數(shù)，單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)3.在教學中挖掘思想方法示例23：絕對值中的思想方法（1）數(shù)形結合思想新教材中的絕對值的定義，是從幾何角度給出的:一個數(shù)a的絕對值，就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離。新教材突出絕對值的幾何定義，滲透了數(shù)形結合的思想方法，將絕對值的代數(shù)定義淡化為計算數(shù)的絕對值的需要。（2）分類思想代數(shù)定義：通過揭示其外延來完成，即分別闡明一個正數(shù)、負數(shù)或零的絕對值是什么:數(shù)學概念的定義一般都是充分必要的。正數(shù)、零、負數(shù)這三個概念的關系是對立關系，但它們的絕對值的關系卻是交叉的。即絕對值等于其本身的數(shù)是正數(shù)或零，而絕對值等于其相反數(shù)的是負數(shù)或零。學會對絕對值正確分類，讓學生克服不是正數(shù)就是負數(shù)，不是負數(shù)就是正數(shù)的錯誤觀念。（3）化歸思想有理數(shù)大小的比較是通過數(shù)的絕對值轉化為算術數(shù)的比較；（規(guī)定性與爭議性）有理數(shù)的運算也是通過絕對值的概念轉化為算術數(shù)的運算；（運算法則）解決含絕對值的問題(如方程、不等式、函數(shù)等)，總是化歸為不含絕對值的問題來解決。但絕對值的運算，不同于四則運算，結果不唯一。數(shù)a的內(nèi)涵非常豐富，絕對值概念從數(shù)抽象到字母，從字母抽象到代數(shù)式，從代數(shù)式抽象到解析式，要經(jīng)歷逐級抽象的過程。4.通過思想方法加強數(shù)學理解示例24：數(shù)形結合，多元表征初中數(shù)學：（1）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2bbaa(a+b)2a2b2abab++（2）完全平方和公式：（3）完全平方差公式：aabb(a-b)2a2ababb2–+（4）一元二次方程ax2+bx+c=0為何判別式△=b2-4ac≥0時有解？從數(shù)形結合思想及函數(shù)與方程思想來進行理解:

函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點坐標：xy0高中數(shù)學：（1）等差數(shù)列求和公式：（2）絕對值不等式：（3）基本不等式：（4）設則5.在解題中揭示思想方法示例25：裂項法分解因式的實質解法1解法2解法3多解歸一是指把多種解法相互比較，進行抽象，挖掘本質，達到賞玩于股掌之上的程度。比較解法1和解法2，發(fā)現(xiàn)有著共同的必然，就是欲“拆”某項時，要視另外兩項的系數(shù)而定，使拆后和另外兩項配組后，組與組之間有公因式可提，恰如“言左右而顧他”，這就是“多解歸一”的“一”。有了這個“歸一”，才會產(chǎn)生解法3。甚至運用照顧另兩項的思想，可不可以填上所缺的a2項呢？這就產(chǎn)生了解法4。解法4示例26：正弦定理的各種證明方法證法1：作高法證法2：面積法證法3：外接圓法證法4：角平分線法數(shù)學中究竟有哪些思想方法？A.數(shù)學思想方法的系統(tǒng)分類——哲學的視角：形式與內(nèi)容；運動與靜止；偶然與必然；現(xiàn)象與本質；原因與結果；整體與局部；有限與無限；等。思維的視角：觀察與實驗；類比與猜想；歸納與演繹；分析與綜合；抽象與概括；特殊與一般；比較與分類

；等。數(shù)學的視角：1、全局性的方法：數(shù)學模型方法；關系映射反演方法；公理化方法；坐標方法；等。2、技巧性的方法：解題策略層面；解題方法層面；解題技巧層面。高考考試大綱：函數(shù)與方程思想；數(shù)形結合思想；分類與整合思想；化歸與轉化思想；特殊與一般思想；有限與無限思想；必然與或然思想。B.數(shù)學抽象的思想；數(shù)學推理的思想；數(shù)學模型的思想。數(shù)學抽象的思想派生出的有：分類的思想；集合的思想；數(shù)形結合的思想；變中有不變的思想；符號表示的思想；對稱的思想；對應的思想；有限與無限的思想等。數(shù)學推理的思想派生出的有：歸納的思想；演繹的思想；公理化思想；轉換與化歸的思想；聯(lián)想與類比的思想；逐步逼近的思想；代換的思想；特殊與一般的思想等。數(shù)學模型的思想派生出的有：簡化的思想；量化的思想；函數(shù)的思想；方程的思想；優(yōu)化的思想；隨機的思想；抽樣統(tǒng)計的思想等。對內(nèi)容進行設計時，不能“就事論事”，僅考慮到這一“點”知識，這樣可能會“見木不見林”。在對教材進行分析時，要樹立“整體觀”，要從教學系統(tǒng)的“宏觀視野”的顯現(xiàn)狀況與課堂運行的“微型框架”兩方面進行結構化設計。學習理論的現(xiàn)代研究表明，組織良好的知識是圍繞核心概念或“大觀點”組織的。四、教學生學“結構”

布魯納認為，學習的實質是一個人把同類事物聯(lián)系起來，并把它們組織成賦予它們意義的結構。學習就是認知結構的組織和重新組織。知識的學習就是在學生的頭腦中形成各學科的知識結構。這種知識結構是由學科知識中的基本概念、基本思想或基本原理組成的。布魯納：學習知識就是學習事物是怎樣相互關聯(lián)的。“不論我們選教什么學科，務必使學生理解各門學科的基本結構”。華羅庚：“既要能把書讀厚，又能把書讀薄”。讀厚，就是要把每一邏輯關系，每一個細節(jié)搞清楚，想清楚；讀薄，就是能抓住課程的主線，基本脈絡，抓住課程的內(nèi)在聯(lián)系，形成整體認識。孫維剛：“使學生發(fā)現(xiàn)知識之間盤根錯節(jié)，又渾然一體，而到后來，知識好像在手心里，了如指掌，不再是一堆雜亂無章的瓦礫、一片望而生畏的戈壁灘?！睉獜南到y(tǒng)的角度學習知識，置知識于系統(tǒng)中，著眼于知識之間的聯(lián)系和規(guī)律，從而深入本質，因為聯(lián)系和規(guī)律就是本質。1.宏觀結構與微觀結構宏觀結構示例27：幾何結構與代數(shù)結構直觀幾何：對平面圖形、立體圖形的認識；度量幾何：求長度、角度、面積、體積等問題；演繹幾何：垂直、平行、全等、相似運動幾何：如平移、旋轉和對稱等；坐標幾何。代數(shù)：數(shù)式運算和方程求解。兩種數(shù)：實數(shù)，復數(shù)；三種式：整式，分式，根式；六種運算：加，減，乘，除，乘方，開方；四類方程：整式方程，分式方程，根式方程，方程組。進一步發(fā)展：未知數(shù)更多的方程，次數(shù)更高的方程。從代數(shù)式（符號代表數(shù)），到方程（符號代表未知數(shù)），到函數(shù)（符號代表變數(shù)）微觀結構示例28：面積公式面積學習的順序：長方形、正方形→平行四邊形→三角形→梯形。學完面積公式以后，需要融匯貫通，從整體上看它們之間的關系：梯形的面積公式：S=(a+b)h/2；三角形是上底為零的梯形：S=ah/2；平行四邊形是上底和下底相等的梯形：S=(a+a)h/2=ah；長方形是邊與高重合的平行四邊形：S=ab；正方形是兩邊相等的長方形：S=a22.知識結構與方法結構示例29：知識結構——圓與方程單墫：學好數(shù)學要經(jīng)歷幾個“會”。首先要“學會”，即學習數(shù)學的一些常識，包括常用的定義、定理和公式。其次要“領會”，即加強對數(shù)學概念和結論的理解，理解越深刻，運用就越自如。最后是“融會”，即觸類旁通，舉一反三。示例30：方法結構——九年級上冊“圓”（1）用量化思想方法研究了圓的度量性質所謂度量性質，指幾何圖形可以用某種單位來計量（即予以數(shù)量化）的屬性，——如長度、角度、面積、體積之類。圓周長、圓面積和角在小學已經(jīng)學習。本章用量化方法進一步研究了圓心角與圓周角、弧長、扇形面積這些度量性質。研究圓的度量性質時，不但要用量化思想方法，而且要用化歸思想方法?；￠L被化歸為圓周長的一部分；扇形面積被化歸為圓面積的一部分。（2）用邏輯化思想方法研究了與圓有關的圖形結構①圓與其內(nèi)部各圖形的關系結構圓心、半徑、弦和直徑都不是圓的組成部分，而是圓內(nèi)部的其他圖形（點和線段），它們分別（或聯(lián)合）與圓組成一種關系結構。什么關系呢？一是位置關系：圓心在圓的中心、直徑是圓的對稱軸、圓的內(nèi)接三角形、點在圓上或圓內(nèi)。二是長度的數(shù)量關系：半徑等于同圓直徑的一半、垂直于弦的直徑平分這條弦及它所對的兩條弧、同圓中相等圓心角（或圓周角）所對的弧和弦等長（反之亦然）。②圓與其外部各圖形的關系結構即圓與外部各圖形的位置關系結構：點在圓外；直線與圓的相離、相切、相交；三角形的三邊均與同一個圓相切（三角形的內(nèi)切圓）；圓與圓的外離、外切、相交、內(nèi)切、同心內(nèi)含、不同心內(nèi)含、重合。上述各種位置關系分別導致某些長度數(shù)量關系（反之亦然）：如果點在圓外則該點與圓心的距離大于半徑（反之亦然），……（描述此類關系的定理很多，不一一列舉）對這些圖形結構的研究方法是什么呢？或曰，描述這些圖形結構性質的定理是用什么方法得出的呢？主要是邏輯化的思想方法。研究圖形結構不但運用了邏輯化思想方法，還運用了量化思想方法：對某種位置關系的幾何定性描述←→對該位置關系的代數(shù)定量描述。3.縱向聯(lián)系形成結構示例31：對稱性小學數(shù)學：二年級上“美麗的對稱圖形”（認識并畫出：畫一畫）；五年級“圖形的變換——軸對稱”（方格紙上研究軸對稱的特征和性質：量一量，數(shù)一數(shù)）初中數(shù)學：初二上“軸對稱”（坐標系中研究軸對稱的特征和性質）高中數(shù)學：函數(shù)的對稱性——奇偶性；方程曲線的對稱性函數(shù)圖象的對稱性：方程曲線的對稱性：4.橫向聯(lián)系形成結構示例32：從等角定理到平行線定理定理：如果一個角的兩邊分別平行于另一角的兩邊，那么這兩個角相等或互補。如果把角的邊的射線方向都加以標注，則不難得到結論：當兩組平行邊的射線方向全相同或全相反時，這兩個角相等；兩組平行邊的射線方向一同一反時，這兩個角互補。進一步：如果再把兩條射線方向相同的關系規(guī)定為“+”，方向相反的關系規(guī)定為“-”；把兩個角相等的關系規(guī)定為“+”，互補的關系規(guī)定為“-”。則有理數(shù)乘法的符號法則：“+”“+”得“+”，“+”“-”得“-”，“-”“+”得“-”，“-”“-”得“+”。更進一步：如果將直線EF平移，使它與OA所在直線重合，這時有：“兩直線平行，同位角相等”；“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”；“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”。再進一步：把CD平移，使與OB所在直線重合。則：∠AOB和∠3的相等，就是角相等的定義；∠AOB分別和∠2及∠4的互補，就是平角的定義；而∠AOB和∠1的相等，可同時認為是對頂角相等!分散在課本里的6條定義、定理(角相等定義，平角定義，對頂角相等，兩直線平行則同位角相等、同旁內(nèi)角互補、內(nèi)錯角相等)，竟全包括在一個等角定理內(nèi)。這1條定理是那6條定義、定理的聯(lián)合推廣；那6條定義、定理則是這1條定理的特例。因為，它們原本是一個系統(tǒng)。融匯貫通的過程，使我們透過繁雜的現(xiàn)象，抓住了本質，同時簡化了記記。更重要的是接觸到了一種嶄新的認識問題的思想方法：由尋找聯(lián)系入手，運用平移變換、特殊與一般的思想方法，把個別的、離散的現(xiàn)象構造成渾然一體的系統(tǒng)。這標志著能力的提高和素質的發(fā)展。以這種提高和發(fā)展，去學習、去解題，將與過去不可同日而語。因為解題的過程的本質，就是以敏銳的觀察、分析，去發(fā)現(xiàn)和建立已知條件和結論之間的聯(lián)系。四、數(shù)學教學“怎么教”袁隆平：“我最喜歡外語、地理、化學，最不喜歡數(shù)學，因為在學正負數(shù)的時候，搞不清為什么負負相乘得正，就去問老師，老師說‘你記得就是’；學幾何時，對一個定理有疑義，去問，還是一樣回答，我由此得出結論，數(shù)學不講道理，于是不再理會，對數(shù)學興趣不大，成績不好”。數(shù)學原本就是這樣？還是數(shù)學教師的教學使然？知名華人數(shù)學家、哈佛大學教授丘成桐興沖沖地趕到杭州，去與一群剛在高考中取得好成績的數(shù)學尖子見面。結果卻讓他頗為失望：“大多數(shù)學生對數(shù)學根本沒有清晰的概念，對定理不甚了了，只是做習題的機器。這樣的教育體系，難以培養(yǎng)出什么數(shù)學人才?！崩砟畹闹匾灾弧^念決定行動示例33：“分母有理化”的教學教師甲：“今天我們學習分母有理化”，然后板書課題，依次講什么是分母有理化，怎樣使分母有理化，舉例，練習，最后布置作業(yè)。教師乙：首先板書一道題“計算（精確到0。01）”，指定兩位同學板演，一同學先把分母分子同乘以，很快算出結果；另一同學直接用1被的近似值1．414除，列豎式算得繁。為此，教師問學生，那種方法簡便，學生一致肯定了前者，從而自然引入了分母有理化課題。理念的重要性之二——具有概括性和普遍性庸俗化理解：教育理論應

“拿來即可用”“一用即顯靈”。理論與實踐之間存在一定程度的距離，是由理論自身的特點造成的，不超越現(xiàn)實的理論，就不可能具有前瞻性和創(chuàng)新性。理論理論總是具有抽象性和普遍性，愈是貼近實踐的理論就愈不像理論。理論適度遠離實踐是必然的，也是必要的。教育理論的首要目的在于幫助人們認識問題，而不是處方式地去解決問題。教育理論具有層級性：操作層面的理論是為了求得理性的行動，觀念層面的理論是為了達到對理性的理解與解釋。理論研究者要“屈身下嫁”教育實踐，教育實踐者也必需“躬身迎接”教育理論。重要的在于用教育理論去武裝實踐工作者的頭腦，把理論轉化成實踐者的思想、智慧和精神。借鑒教改經(jīng)驗的什么？學模，仿模，造模，無模（一）建構性數(shù)學教學思想（二）理解性數(shù)學教學思想（三）過程性數(shù)學教學思想（四）啟發(fā)式數(shù)學教學思想（五）問題式數(shù)學教學思想（六）情境式數(shù)學教學思想（七）主體性數(shù)學教學思想（八）生成性數(shù)學教學思想（一）建構性數(shù)學教學思想1、建構主義發(fā)展概述行為主義→認知主義→建構主義建構主義是在整合了皮亞杰、維果茨基、布魯納、奧蘇伯爾、加涅等認知主義理論的核心思想，并賦予新的意義而構建起來的，因此它是認知主義的進一步發(fā)展。

2、建構主義觀的辨析（1）激進建構主義知識不是對客觀事物本來面目的反映，知識只是適應和體現(xiàn)主體的經(jīng)驗，知識不能傳遞，只能由個體建構。把內(nèi)部建構的作用推到極至的地位。它雖然并不排斥教師的幫助，但認為教師的作用是次要的。（2）社會建構主義學習是個體內(nèi)部建構與外部建構相互作用的過程。社會建構主義也強調(diào)個體建構，但認為社會對個體的學習所起到的支持和促進作用必不可少。與激進建構主義輕視教師的作用相比，社會建構主義更重視教師的作用；與激進建構主義認為知識不是對客觀事物本來面目的反映相比，社會建構主義強調(diào)個體建構要與知識的客觀意義趨于一致。（3）信息加工建構主義學習不僅是人對外部信息的加工，而且意味著外來信息與已有知識之間存在雙向的相互作用；新經(jīng)驗意義的獲得要以原有的知識經(jīng)驗為基礎，超越所給的信息，而原有經(jīng)驗又會在此過程中被調(diào)整或改造。不同的建構主義差異，可概括為“外部輸入—內(nèi)部生成”和“個體建構—社會建構”兩個維度。在“外部輸入—內(nèi)部生成”的維度上，外部輸入的傾向性越大，學習中接受的成分越多；內(nèi)部生成的傾向性越大，學習中建構的成分越多。在“個體建構—社會建構”的維度上，不同建構主義反映出在“個體的建構”、“個體間的建構”、“社會性建構”之間的差異，3、建構主義的知識觀建構主義認為，知識并不是對現(xiàn)實的準確表征，而只是一種解釋和假設。學習者根據(jù)自己的經(jīng)驗背景，以自己的方式建構對知識的理解，不同人看到的是事物的不同方面。因此對于世界的理解和賦予意義由每個人自己決定，而不存在惟一標準的理解。同樣一段程序在不同電腦中運行的結果是一致的，但同樣一段以語言文字為載體的公眾知識在不同個體的頭腦中意義卻是不一樣的。4、建構主義的學習觀建構主義認為,學習不是知識由外到內(nèi)的轉移和傳遞,而是學生建構自己的知識的過程。外部信息本身沒有意義,意義是學習者通過新舊知識經(jīng)驗間反復的、雙向的相互作用而建構成的。與情境中各種因素建立聯(lián)系，與相關的各種已有經(jīng)驗建立聯(lián)系，與認知結構中有關知識建立聯(lián)系。建構新知識的過程，既建構了新知識的意義，又使原認知結構得到了重建。“心理建筑物”的建立和構造，都是內(nèi)部心理上的思維創(chuàng)造過程。這是外界力量所不能達到的，當然也是教師所不能傳授的，教師的傳授實際是向學生的頭腦里嵌入一個外部結構。外部結構嵌入的過程，是被動活動的過程，模仿復制的過程，最終所獲得的意義缺少生動的背景，缺少經(jīng)驗支撐，缺少廣泛知識的聯(lián)系，也就缺少遷移的活力。比如在一元二次方程求根公式的學習中：學習者要建立未知數(shù)、常數(shù)、次數(shù)、方程等概念之間的聯(lián)系；學習者要建立方程與求根公式、根與系數(shù)之間的邏輯聯(lián)系；要建立一元二次方程與一元一次方程的聯(lián)立；要與隨后學習的一元二次函數(shù)、一元二次不等式建立起聯(lián)系；最終建構起一個有機聯(lián)系的“心理建筑物”.

5、建構主義的教學觀教學不是傳遞東西或者產(chǎn)品。教師充其量只是傳遞了語言文字符號信息，至于這些信息在學生頭腦中是什么意思，最終是由學習者決定的。（類似但又不同于電報的收發(fā)）教學就是創(chuàng)設一定的環(huán)境和支持條件，促進學習者主動建構知識的意義。教學不能無視學習者的已有知識經(jīng)驗,強硬地從外部實施知識的“填灌”,而是應把學習者原有的知識經(jīng)驗作為生長點,引導學習者生長新的知識經(jīng)驗。（二）理解性數(shù)學教學思想1、什么是數(shù)學理解有人認為，能夠用自己的語言來敘述一個概念或原理就叫理解；有人認為，能夠運用自己所學的知識才叫理解等。從心理層面給理解進行定義：理解是指在已有知識和經(jīng)驗的基礎上，建構新知識的個人心理意義，不斷完善和發(fā)展頭腦中的知識網(wǎng)絡，并能將納入知識網(wǎng)絡中的新知識靈活地加以提取和應用。理解的過程，主要涉及三方面的工作:（1）必須將原始信息改造成適應個人認知結構特點、便于存入和提取的形式，因此，建立的表象越熟悉、越細致、越準確，理解程度就越好；（2）新知識結點與其它結點的連線越多，該結點的入口就越多，經(jīng)由這些通道進入該結點的機會也就增多；（3）本質性的聯(lián)系越多，準確性越強，這些聯(lián)系就越緊密和牢固，這樣，經(jīng)由其它結點激活該節(jié)點的可能性越大，回憶必然越方便越迅速。2、理解的意義（1）理解有助于個體知識結構的完善理解的本質是數(shù)學知識的結構化、網(wǎng)絡化和豐富聯(lián)系。希伯特教授：“認為一個數(shù)學的概念、方法或事實是理解了，是指它成了內(nèi)部網(wǎng)絡的一個部分。理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強度來確定的?！保?）理解能夠減輕學習者的記憶負擔網(wǎng)絡的結構越強，需要單獨記憶的就越少，相對而言組塊數(shù)量就越少。（3）理解有助于知識的靈活遷移和應用案例：斜坐標系3、理解的類型與層次（1）“不知其然者”，全無理解，這是理解的零層次；（2）“知其然”，即知道結果、結論，相當于第一層次理解；（3）“知其所以然”，即知道結論之因，即上升到理解的第二層次；（求根公式）（4）“何由以知其所以然”，即怎樣想到這樣定義、這個解法或證明的，這就涉及到思想方法，從而達到了理解的第三層次。案例：“老師，我忘了”（三）過程性數(shù)學教學思想1、什么是過程性結果是指教學活動發(fā)展的最終產(chǎn)物，而過程則是指為獲得教學結果所必須經(jīng)歷的活動程序。結果的價值在于它的“消費”價值或使用價值。過程的價值在于它所具有的“生產(chǎn)性”或發(fā)展性。從科學角度來看過程與結果的辯證關系；從教學角度來看過程與結果的關系。對“過程”與“結果”關系的認識，有以下三種觀點：第一種觀點:只要結果，不要過程；第二種觀點:重視過程，但重視的目的，是為了更好地掌握知識與技能，過程本身的價值被忽略；第三種觀點：過程本身就是一個教學目標。過程某種意義上也是一種結果。過程與結果是相互促進的關系。2、“誰”的過程性在以往的教學中，經(jīng)常用教師的過程性來代替學生的過程性。把教師的問題當成學生的問題，用教師的演示來代替學生的動手，用教師的講解來代替學生的活動，用教師的分析來代替學生的思維。還經(jīng)常存在另外一種現(xiàn)象，即用一些學生的過程性來代替另一些學生的過程性。（病態(tài)數(shù)學教學）替代型的“過程性”，已不具有真實的過程性所具有的價值。真實的教學過程充滿著變數(shù)，充滿著無法預知的“附加價值”和有意義的“衍生物”，這正是過程性的價值之所在。教師教的過程就只是手段，學生應然的思維過程才是目標。3、怎樣的過程性？過程性經(jīng)常是全預設的，其過程在過程實施之前就已經(jīng)有了理性設計和程序規(guī)定，從而“過程”演變成了“流程”。預設的過程性，是作為結果的過程性，而不是作為過程的過程性。因為在這種過程性中，一切都是現(xiàn)成的：現(xiàn)成的問題，現(xiàn)成的論證，現(xiàn)成的說明，現(xiàn)成的講解。它從源頭上就剝離了過程與結果的內(nèi)在聯(lián)系。在教學設計中，教師需要重點考慮的是：通過怎樣的引導來幫助學生進行探索性的思考，而不是通過精心預設的過程來代替學生的思考；通過搭建腳手架來協(xié)助個體知識的建構與生成，而不是便捷地呈現(xiàn)結果性知識以期讓學生快速地吸收和接納。即使是暴露或呈現(xiàn)他人的過程性，為了使這種過程性契合或順應學生的思維，使兩種過程性“合拍”，教師也需要設身處地的從學生實際出發(fā)來進行教學。當教師的思維帶上了學生的色彩，甚至達到“學生話”之后，教的過程就與學的過程融為一體。退位思考；換位心里；“稚化”思維。4、過程觀下對預習的審視對預習處理不當，會帶來一些負面影響。沒有耐心退到思維的“零起點”去重新思考；遇到新鮮結論，總是滿足于結論而停滯不前；學生的思想全被課本提供的想法所束縛和限制。預習之后的教學，應通過“追問”等手段，引發(fā)更高層次的深入思考。應提倡一種探究型的預習觀，為教學提供可貴的動態(tài)生成的資源。5、過程觀下對備課的審視只備“課”不備“人”，只備“形”不備“神”，只備“結果”不備“過程”。教案過于精細和充分，危害性有時可能更大。蕭蔭堂:“有時教授備課不足，笨手笨腳地算錯了數(shù)，從他搔著首、念念有詞的改正中，反而可以看出他的思路，真正學到些東西。”教師在備課時需要注意以下幾個問題：（1）要挖掘和揭示其產(chǎn)生與形成的思維過程。（2）善于“稚化”自己的思維，通過“心理換位”使教案中呈現(xiàn)的教學思路貼近學生的實際。（3）提倡教師寫簡案，使整個預設留有更大的包容度和自由度。（4）革新備課的形式。備課未必都形之于紙上，關鍵是要準備在教師頭腦里。6、過程觀下對作業(yè)的審視對學生作業(yè)的評價，宜少些量化打分，多一些質性評價。了解學生的真實思維過程，有兩種辦法值得嘗試：一是在作業(yè)中反對草稿紙的使用，倡導作業(yè)的“隨便”書寫；二是對草稿紙的充分利用?！安莞寮埵撬伎歼^程的履歷表”。（四）啟發(fā)式數(shù)學教學思想1、啟發(fā)的重要性教師在教學中的主要任務是“引導”，而“啟發(fā)”則是教師引導學生學習的基本方法?？鬃?“吾有知乎哉？無知也。有鄙夫問于我，空空如也。我叩其兩端而竭焉。”蘇格拉底：從來都沒有教給別人什么，只不過是象一個靈魂的接生婆那樣，幫助人們產(chǎn)生自己的思想、觀點。2、二重啟發(fā)原理解析從內(nèi)容的角度來看，這種啟發(fā)性的幫助應由易到難，以符合認知規(guī)律；從思維的角度來看，這種啟發(fā)性的幫助應由遠及近，以提高思維強度。簡單、容易的內(nèi)容在啟發(fā)時，距離目標的起點可遠些，以提高思維強度；復雜、困難的內(nèi)容在啟發(fā)時，距離目標的起點可近些，以節(jié)約學習的時間。3、啟發(fā)的適度性策略分析不能過于直白，也不能過于含蓄。言近而旨遠，言有盡而意無窮，話里有話或弦外有音；舉一而寓三，一語而多關，或迂回設問。語忌直，意忌淺，脈忌露，味忌短。啟發(fā)的主要作用在于給學生以暗示。暗示不成再明講。波利亞：“你能不能應用勾股定理??？”a.如果學生已經(jīng)接近于問題的解答，可是他已不需要這項幫助了。反之，他就很可能完全不明白這一提問的作用。b.它把所有的奧秘都顯露出來，幾乎沒有留下什么可給學生做了。c.即使學生能應用它來解決手頭的這個題目，但對以后會碰到的題目他們根本沒有學到什么。d.就算學生懂得這提問的作用，可是他很難體會到教師憑什么會想到它的。4、啟發(fā)的適時性策略分析當啟處啟，當發(fā)處發(fā)，“啟”在關鍵處，“發(fā)”在要害處，防止超前啟發(fā)和滯后啟發(fā)?！笆紫仁遣皇窃摗?？”，“接下來是不是……呢？”，“然后是不是……呢？”啟發(fā)的時間等待理論。（五）問題式數(shù)學教學思想1、什么是問題？數(shù)學問題是數(shù)學思維目的性的體現(xiàn)；問題性是思維的本質屬性。問題的實質：從初始狀態(tài)到目標狀態(tài)之間的障礙，現(xiàn)有水平與客觀需要之間的矛盾?！熬毩曨}”（Exercise）“問題”（Problem）：接受性，障礙性，探究性2、問題的特征與類型（1）問題的特征問題的矛盾性：

“問題”促進著個體的成長；問題的相對性：x2+x-5=0,x3+x2-5x=0,x3+x2-5x=1（2）問題的類型數(shù)學題系統(tǒng)：條件、結論、求解過程，解題依據(jù)。數(shù)學問題：集合（S,R）,其中R(Y,O,Z,P)。問題型問題；探索型問題；訓練型問題；標準型問題.(量與質)3、什么是問題解決？數(shù)學證明題的實質；數(shù)學求解題的實質。傳統(tǒng)意義的“解題”，注重結果、注重答案；現(xiàn)代意義的“問題解決”，更注重解決問題的過程、策略以及思維的方法。一個學生拿到一道習題之后，通過翻看習題集的答案得到了解決，但能否認為他解決了問題呢？一個教師講解一條幾何定理時，小黑板一掛，輔助線作好了，證明和盤托出了，也是一個不成功的“解題”。4、數(shù)學問題解決的教學（1）注重非常規(guī)問題解決的教學（2）數(shù)學教學設計中“問題鏈”的構建案例：函數(shù)零點定理的教學（六）情境式數(shù)學教學思想1、情境認知理論知識視為個人和社會或物理情境之間聯(lián)系的屬性以及互動的產(chǎn)物。在特定情境中獲得的知識比所謂的一般知識更有力和更有用。基于情境的行動合法的邊緣參與實踐共同體的建構2、什么是數(shù)學問題情境從認知的角度看，情境可被視為一種信息載體；能為數(shù)學問題的提出和解決提供信息和依據(jù)?？梢允牵汗适虑榫?、圖片情境、操作情境、活動情境、利用多媒體創(chuàng)設的直觀情境，但：首先是有“問題”，即認知矛盾或沖突；其次才是“情境”，即數(shù)學知識產(chǎn)生或應用的環(huán)境。3、問題情境創(chuàng)設應注意的幾個問題（1）問題情境應具有“數(shù)學味”

二次根式；買白糖：小王與小李總是一起去買白糖。小李每次總是買一元錢的白糖，小王每次總是買一斤白糖。假設白糖價格經(jīng)常變動。問哪種買白糖更合算？（2）問題情境應具有“關聯(lián)性”為情境而情境的“標簽”和“包裝”不可取；“三句不離本行”的數(shù)學眼光。（3）問題情境應具有“引領性”

敲門磚；激發(fā)、推動、維持、強化和調(diào)整。

（4）問題情境應具有“真實性”“獨立事件同時發(fā)生的概率”：“三個臭皮匠能頂上一個諸葛亮嗎”。（5）情境中問題的難易應適當最近發(fā)展區(qū)理論（七）主體性數(shù)學教學思想1、誰是教學的主體？教與學關系的認識學生是主體，教師是主導2、主體性的三層含義主動性，自主性，創(chuàng)造性3、數(shù)學教學的“二十四”字方針精力內(nèi)容，大作功夫；少占多讓，少扶多放；絕對主動，相對自主。（八）生成性數(shù)學教學思想1、生成性教學的內(nèi)涵（1）什么是“生成”所謂“生”，指產(chǎn)生、出生；所謂“成”，為形成之“成”和成果之“成”；產(chǎn)生→生長→形成→成果（2）什么是生成性教學教的意義上：靜態(tài)預設，動態(tài)生成學的意義上：被動接受，自主生成生成性教學是對“預設性”的補充和修正；生成性教學是對“接受性”的批判和超越。2、從教的意義上解讀生成（1）教學系統(tǒng)的復雜性“人—人”雙向系統(tǒng)（2）動態(tài)生成資源引發(fā)教學目的、策略、方法等的生成性（3）彈性預設的重要性以解題為例，形成彈性化方案（4）動態(tài)生成教學的特點動態(tài)生成資源：生長點或腳手架動態(tài)生成資源：持續(xù)生成與利用靜態(tài)預設資源：參照和索引3、從學的意義上解讀生成（1）知識意義的生成過程①創(chuàng)造知識生成的“沃土”：夯實知識基礎，盤活已有經(jīng)驗，激發(fā)學生思維，調(diào)動