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文檔簡介
第三章空間解析幾何與向量代數(shù)第三節(jié)數(shù)量積向量積一、兩向量的數(shù)量積力與位移的夾角為沿直線運動,引例
設(shè)一物體在常力F作用下移動的位移為s,則力F
所做的功為1
定義設(shè)向量的夾角為,稱
記作數(shù)量積(點積、內(nèi)積).一、兩向量的數(shù)量積故2
數(shù)量積的性質(zhì)為兩個非零向量,則有(3)基向量(1)交換律(3)結(jié)合律(2)分配律3
數(shù)量積的運算規(guī)律例1
設(shè)向量a與b有,求|a
+
b|解
設(shè)向量則對應坐標乘積之和4
數(shù)量積的坐標表示及兩向量夾角余弦的坐標表示當為非零向量時,由于兩向量的夾角公式得且有垂直,且為單位向量,所以有例2
在xOy坐標平面上求一單位向量,使之與已知向量垂直.xOy坐標平面內(nèi),可設(shè)向量b與a解方程組得故所求向量為,解
因為所求向量在而二、兩向量的向量積矩是一個向量M
引例
設(shè)O
為杠桿L的支點,有一個與杠桿夾角為的力F作用在杠桿的P點上,則力F
作用在杠桿上的力,它的模為指向符合右手規(guī)則,即定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,稱為鄰邊的平行四邊形面積,即向量積的模的幾何意義為以向量a與b1向量積的定義二、兩向量的向量積為非零向量,則∥3
運算律(3)分配律(2)結(jié)合律2向量積的性質(zhì)4向量積的坐標表示式設(shè)向量則向量積的行列式計算法角形
ABC
的面積.解
求三例3
已知三點例4
設(shè)單位向量與三個坐標軸夾角相等,B是點M(1,-3,2)關(guān)于N(-1,2,1)的對稱點.求解OA=(cos,cos,cos).由
=
=
可得cos2+cos2+
cos2=
3
cos2=1.設(shè),,是OA的方向角,則設(shè)點B的坐標是(x,y,z)
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