初等方法建模

第二章初等方法建模2.1比例分析模型2.2代數(shù)模型2.3量綱分析模型2.4簡單優(yōu)化模型2.1

比例分析模型2.1.1

包裝成本問題2.1.2

劃艇比賽成績

2.1.1包裝成本問題

考慮像面粉、洗滌劑或果醬之類的產(chǎn)品，它們常常是包裝后出售的。注意到包裝比較大的按每克計(jì)算的價格較低。人們通常認(rèn)為這是由于節(jié)省了包裝和經(jīng)營的成本的緣故?；蛟S有人會問，這是主要原因嗎?是否還有其他重要因素？能否構(gòu)造一個簡單模型來分析？問題研究產(chǎn)品成本如何隨包裝大小而變化的規(guī)律2.1.1包裝成本問題模型假設(shè)1）計(jì)入批發(fā)價格的主要成本是:

生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本包裝該產(chǎn)品的成本運(yùn)輸該產(chǎn)品的成本包裝材料的成本2）產(chǎn)品成本顯然隨商業(yè)競爭和經(jīng)營規(guī)模不同而變化，忽略這些因素集中考慮在原料和買賣過程的費(fèi)用上.設(shè)該產(chǎn)品成本與所生產(chǎn)的貨物重量成正比,

記為其中為產(chǎn)品重量模型分析與建立

裝包時間大致與體積（因而與重量）成比例,而對于體積在一定范圍內(nèi)的包裝，后兩部分時間相差不大。2.1.1包裝成本問題3)包裝成本取決于裝包、封包以及裝箱備運(yùn)所需要的時間.于是有

每件包裝品的材料與包裝品的表面積或體積成正比，它取決于攤平后運(yùn)輸(像紙板之類)還是成型后運(yùn)輸(像玻璃器皿之類),所以打包者的成本其中是表面積，

均為常數(shù)，因此每件包裝所消耗材料量(因而也是每件包裝的重量)

與所覆蓋的表面積成正比。模型假設(shè)2.1.1包裝成本問題6）假設(shè)各種包裝品在幾何形狀上是大致相似的,體積幾乎與線性尺度的立方成正比,表面積幾乎與線性尺度的平方成正比，模型分析與建立2.1.1包裝成本問題于是每克的批發(fā)成本是

模型分析與建立由此看出，當(dāng)包裝增大時，即每包內(nèi)產(chǎn)重量增大時，每克的成本下降.

現(xiàn)在將比例法中涉及的自變量化為一個自變量——重量。2.1.1包裝成本問題進(jìn)一步的分析可以看到，每克產(chǎn)品的成本下降速度因此當(dāng)包裝比較大時，每克的節(jié)省率增加得比較慢?？偣?jié)省率為這是W的減函數(shù)。這也是的減函數(shù)。2.1.1包裝成本問題直觀解釋

購買預(yù)先包裝好看產(chǎn)品時，把小型包裝的包裝規(guī)格(體積)增大一倍，每克所節(jié)省的錢，傾向于比大型的包裝規(guī)格增大一倍所節(jié)省的錢多。此模型可推廣于零售價格，零售成本取決于批發(fā)價、銷售成本和倉庫成本，后兩種成本具有的形式，因此上述結(jié)論也適用于零售價格。應(yīng)用這里說“傾向于”是因?yàn)槟Ｐ褪谴植诘?。然而在定性預(yù)測中往往很可靠。而驗(yàn)證上述解釋也是很容易的只須計(jì)算的值，其中

2.1.1包裝成本問題賽艇2000米成績t(分)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇長l

艇寬b(米)(米)l/b

7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

漿手?jǐn)?shù)n

16.313.618.114.7對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠軍的成績進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)成績與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。問題準(zhǔn)備調(diào)查賽艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不變2.1.2劃艇比賽成績問題分析

前進(jìn)阻力~浸沒部分與水的摩擦力

前進(jìn)動力~漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動力和前進(jìn)阻力決定劃漿功率

賽艇速度賽艇速度前進(jìn)動力前進(jìn)阻力漿手?jǐn)?shù)量艇重浸沒面積

對漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定

運(yùn)用合適的物理定律建立模型2.1.2劃艇比賽成績模型假設(shè)1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力f與Sv2成正比符號：艇速v,浸沒面積

S,浸沒體積A,空艇重w0,阻力f,漿手?jǐn)?shù)n,漿手功率

p,漿手體重

w,艇重W艇的靜態(tài)特性艇的動態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比漿手的特征模型建立f

Sv2p

wv

(n/S)1/3S1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

nS

n2/3v

n1/9比賽成績

t

n

–1/9np

fv2.1.2劃艇比賽成績模型檢驗(yàn)n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次國際大賽冠軍的平均成績對模型

t

n

–1/9進(jìn)行檢驗(yàn)tn12487.216.886.325.84????與模型巧合！2.1.2劃艇比賽成績2.4簡單的優(yōu)化法2.4.1

存貯問題2.4.2

森林救火

現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問題

靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù))

建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)

求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法靜態(tài)優(yōu)化模型問題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費(fèi)。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。要求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。2.4.1

存貯問題問題分析與思考

每天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)5000元。日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。

10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費(fèi)900+800+…+100=4500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元。

50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費(fèi)4900+4800+…+100=122500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元。平均每天費(fèi)用950元平均每天費(fèi)用2550元10天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎?每天費(fèi)用5000元

這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)——每天總費(fèi)用的平均值

周期短，產(chǎn)量小

周期長，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計(jì)）；建模目的設(shè)r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費(fèi)用的平均值最小。4.為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。模型建立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費(fèi)為A=QT/2模型求解求T使模型分析模型應(yīng)用c1=5000,

c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答問題

經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量r，每次訂貨費(fèi)c1,每天每件貯存費(fèi)c2，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形不允許缺貨的存貯模型

問：為什么不考慮生產(chǎn)費(fèi)用？在什么條件下才不考慮？T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時，Q件立即到貨。允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失原模型假設(shè)：貯存量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨,每天每件缺貨損失費(fèi)c3,

缺貨需補(bǔ)足T一周期貯存費(fèi)一周期缺貨費(fèi)周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）一周期總費(fèi)用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T′,Q記作Q?′不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨允許缺貨模型0qQrT1tT注意：缺貨需補(bǔ)足Q~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R

（或訂貨量）Q~不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量)森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問題分析問題記隊(duì)員人數(shù)x,失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,時刻t森林燒毀面積B(t).

損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.

救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù),由隊(duì)員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小2.4.2森林救火

關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè).問題分析失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,畫出時刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費(fèi)）1）0tt1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢蔓延速度）2）t1tt2,

降為-x

(為隊(duì)員的平均滅火速度）4）每個隊(duì)員的單位時間滅火費(fèi)用c2,一次性費(fèi)用c3假設(shè)1）的解釋rB火勢以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用假設(shè)3）4）假設(shè)2）模型建立目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果解釋

/

是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,