平面任意力系簡(jiǎn)化-5

第二章

力系的簡(jiǎn)化平面任意力系

各個(gè)力的作用線在同一平面內(nèi)，但不匯交于一點(diǎn)，也不都平行的力系稱為平面任意力系§2–1力系等效與簡(jiǎn)化§2–2力系簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)§2–3平面力系的簡(jiǎn)化§2–4固定端約束的約束力§2–5結(jié)論與討論第二章平面力系簡(jiǎn)化

序言某些力系，從形式上（比如組成力系的力的個(gè)數(shù)、大小和方向）不完全相同，但其所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)交應(yīng)卻可能是相同的。這時(shí)，可以稱這些力系為等效力系。

序言為了判斷力系是否等效，必須首先確定表示力系基本特征的最簡(jiǎn)單、最基本的量——力系基本特征量。這需要通過(guò)力系的簡(jiǎn)化方能實(shí)現(xiàn)。

序言本章首先在物理學(xué)的基礎(chǔ)上，對(duì)力矩的概念加以擴(kuò)展和延伸，同樣在物理學(xué)的基礎(chǔ)上引出力系基本特征量，然后應(yīng)用力向一點(diǎn)平移定理和方法對(duì)力秒加以簡(jiǎn)化，進(jìn)而導(dǎo)出力系等效定理，并將其應(yīng)用于簡(jiǎn)單力系。2．1力系等效與簡(jiǎn)化的概念2．1．1力系的主矢與主矩主矢的概念：由任意多個(gè)力所組成的力系（F1、F2、．．．Fn）中所有力的矢量和，稱為力系的主矢量，簡(jiǎn)稱為主矢（principalvector），用FR

表示：主矩的概念：為系中所有力對(duì)于同一點(diǎn)（Ｏ）之矩的矢量和，稱為力系對(duì)這一點(diǎn)的主矩（principalmoment），用表示，即：討論:需要指出的是，主矢只有大小和方向，并未涉及作用點(diǎn)；主矩卻是對(duì)于確定點(diǎn)的。因此，對(duì)于一個(gè)確定的力系，主矢是唯一的；主矩并不是唯一的，同一個(gè)力系對(duì)于不同的點(diǎn)，其主矩般不相同。2．1．2等效的概念如果兩個(gè)力系的主矢和主矩分別對(duì)應(yīng)相等，二者對(duì)于同一剛體就會(huì)產(chǎn)生相同的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)，因而稱這兩個(gè)力系為等效力系（eauivalentsystemofforces）。2．1．3簡(jiǎn)化的概念所謂力系的簡(jiǎn)化，就是將由若干個(gè)力和力偶所組成的力系，變?yōu)橐粋€(gè)力或一個(gè)力偶，或者一個(gè)力與一個(gè)力偶的簡(jiǎn)單而等效的情形。這一過(guò)程稱為力系的簡(jiǎn)化（reductionofforcesystem）。力系簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)是力向一點(diǎn)平移定理（theoremoftranslationofforce）。2．2力系簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)——力向一點(diǎn)平移定理根據(jù)力的可傳性，作用在剛體上的力，可以沿其作用線移動(dòng)，而不會(huì)改變力對(duì)剛體的作用效應(yīng)。但是，如果將作用在剛體上的力，從一點(diǎn)平行移動(dòng)至另一點(diǎn)，力對(duì)剛體的作用效應(yīng)將發(fā)生變化。能不能使作用在剛體上的力平移到作用線以外的任意點(diǎn)，而不改變?cè)辛?duì)剛體的作用效應(yīng)？為了使平衡后與平衡前力對(duì)剛體的作用等效，需要應(yīng)用加減平衡力系原理。假設(shè)在剛體上的A點(diǎn)作用一為F，如圖2-1a所示，為了使這一力能夠等效地平衡到剛體上的其他任意一點(diǎn)（例如B點(diǎn)），先在這一點(diǎn)施加一對(duì)大小相等、方向相反的平衡力系（F，），這一對(duì)力的數(shù)值與作用在A點(diǎn)的力F數(shù)值相等，作用線與F平行。根據(jù)加減平衡力系原理，施加上述平衡力系后，力對(duì)剛體的作用效應(yīng)不會(huì)發(fā)生改變。因此，施加平衡力系后，由3個(gè)力組成的新力系對(duì)剛體的作用與原來(lái)的一個(gè)力等效。增加平衡力系后，作用在A點(diǎn)的力F與作用在B的力組成一力偶，這一力偶的力偶矩M等于力F對(duì)O點(diǎn)之矩，即：施加平衡力系后由3個(gè)力所組成的力系，變成了由作用在B點(diǎn)的力F和作用在剛體上的一個(gè)力偶矩為M的力偶所組成的力系，如圖2-1c所示。根據(jù)以上分析，可以行到以下重要結(jié)論：作用于剛體上的力可以平衡到任一點(diǎn)，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)，但平移后必須附加一個(gè)力偶，附加力偶的力偶矩等于原力對(duì)于新作用點(diǎn)之矩。此即為力向一點(diǎn)平移定理。力向一點(diǎn)平移結(jié)果表明，一個(gè)力向任一點(diǎn)平移，得到與之等效的一個(gè)力和一個(gè)力偶；反之，作用于同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶，也可以合成作用于另一點(diǎn)的一個(gè)力。力偶矩與力矩一樣也是矢量，因此，力向一點(diǎn)平移所得到的力偶矩矢量可以表示成：其中，rBA為A點(diǎn)至B點(diǎn)的矢徑。2．3平面力系的簡(jiǎn)化2．3．1平面匯交力系與平面力偶系的合成結(jié)果對(duì)于作用線都通過(guò)O點(diǎn)的平面匯交力系，利用矢量合成的方法可以將這一力系合成為一通過(guò)O點(diǎn)的合力，這一個(gè)力等于力系中所有力的矢量和，即:對(duì)于平面力系，在Oxy坐標(biāo)系中，上式可以寫(xiě)成力的投影形式：式中，F(xiàn)x、Fy

為合力F分別在x軸和y軸上的投影，等號(hào)右邊的項(xiàng)、分別為力系中所有的力在x軸和y軸上投影的代數(shù)和。平面力偶系，只能合成一合力偶，合力偶的力偶矩等于各力偶的力偶矩的代數(shù)和，即：2．3．2平面一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化下面應(yīng)用力向一點(diǎn)平移以及平面匯交力系和平面力偶系的合成結(jié)果，討論平面力系的簡(jiǎn)化。設(shè)剛體上作用有由任意多個(gè)力所組成的平面力系（F1、F2、．．．Fn），如圖2-2a所示。現(xiàn)將力系向其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，這一點(diǎn)稱為簡(jiǎn)化中心，通常用O表示。簡(jiǎn)化的方法是：將力系中所有的力逐個(gè)向簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)平移，每平移一個(gè)力，便得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，如圖2-2b所示。平面力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化所得到的平面匯交力系和平面力偶系，還可以進(jìn)一點(diǎn)合成為一個(gè)合力和一個(gè)合力偶。2．3．3平面力系的簡(jiǎn)化結(jié)果上述分析結(jié)果表明：平面力系向作用面內(nèi)任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般情形下，得到一個(gè)力和一個(gè)力偶。所得力的作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心，這一力稱為力系的主矢，它等于力系中所有力的矢量和；所得力偶仍作用于原平面內(nèi)，其力偶矩稱為原力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心主矩，數(shù)值等于力系中所有力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和。由于力系向任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化其主矢都是等于力系中所有力的矢量和，所以主矢與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)；主矩則不然，主矩等于力系中所有力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和，對(duì)于不同的簡(jiǎn)化中心，力對(duì)不同的簡(jiǎn)化中心，力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩各不相同，所以，主矩與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)。需要注意的是，主矢與合力是兩個(gè)不同的概念，主矢只有大小和方向兩個(gè)要素，并不涉及作用點(diǎn)，可在任意點(diǎn)現(xiàn)出；而合力有三要素，除了大小和方向之外還必須指明其作用點(diǎn)。例題2-1：固定于墻內(nèi)的環(huán)形螺釘上，作用有3個(gè)力F1、F2、F3，各力的方向如圖2-3a所示，各力的大小分別F1＝３kN、F2＝4kN、F3＝5kN。試求：螺釘作用在墻上的力F。解：要求螺釘用在墻上的力就是要確定作用在螺釘上所有力的合力。確定合力可以利用力的平等四邊形法則，對(duì)力系中的各個(gè)力兩兩合成。但是，對(duì)于力系中力的個(gè)數(shù)比較多的情形，這種方法顯得很繁瑣。而采用合力的投影表達(dá)式（2-6），則比較方便。為了應(yīng)用式（2-6），首先需要建立坐標(biāo)系Oxy，如圖2-3b所示。先將各力分別向x軸和y軸投影，然后代入式（2-6），得：由些可求得合力F的大小與方向（即其作用線與x軸的夾角）：例題3-2：作用在剛體上的6個(gè)力組成牌同一平面內(nèi)的3個(gè)力偶（F1，F(xiàn)1′）、（F2，F(xiàn)2′）和（F3，F(xiàn)3′），如圖2-4所示，其中F1＝300N，F(xiàn)2=600N,F1′=400N，。圖中長(zhǎng)度單位為mm，試求3個(gè)平面力偶所組成的平面力偶系的合力偶矩。解：根據(jù)平面力偶系的簡(jiǎn)化結(jié)果，由式（2-7）得本例中3個(gè)力偶所組成的平面力偶系的合力偶的力偶矩，等于3個(gè)力偶的力偶矩之代數(shù)和，即：例題2-3圖2-5之剛性圓輪上所受復(fù)雜力系可以簡(jiǎn)化為一磨擦力F和一力偶矩為M、方向已知的力偶。已知為F的數(shù)值為F=2.4kN。如果要使力F和力偶各B點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果只是沿水平方向的主矢FR

，而主矩等于零。B點(diǎn)到輪心O的距離OB=12mm（圖中長(zhǎng)度單位為mm）。求：作用在圓輪上的力偶的力偶矩M的大小。解：因?yàn)橐罅土ε枷駼點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果為：只有沿水平方向的主矢，即通過(guò)B點(diǎn)的合力，而所得的主矩（合力偶的力偶矩）等于零。根據(jù)式（2-7）E其中，M的負(fù)號(hào)表示力偶為順時(shí)針轉(zhuǎn)向。式中：將其連同力F=2.4kN代入上式后，解出所要求的力偶矩為M=2.4kN×0.387m=0.93kNm解：1、取伸臂AB為研究對(duì)象2、受力分析如圖yTPQEQDxBAECDFAyFAxαaαcbBFACQDQEl例題2-4伸臂式起重機(jī)如圖所示，勻質(zhì)伸臂AB重P=2200N，吊車(chē)D、E連同吊起重物各重QD=QE=4000N。有關(guān)尺寸為：l=4.3m，a=1.5m，b=0.9m，c=0.15m,α=25°。試求鉸鏈A對(duì)臂AB的水平和垂直反力，以及拉索BF的拉力。3、選列平衡方程：4、聯(lián)立求解，可得：T=12456NFAx=11290NFAy=4936NyTPQEQDxBAECDFAyFAxα解：1、取梁AB為研究對(duì)象。2、受力分析如圖，其中Q=q.AB=100×3=300N；作用在AB的中點(diǎn)C。BADQNAyNAxNDCMyxBAD1mq2mM例題2-5梁AB上受到一個(gè)均布載荷和一個(gè)力偶作用，已知載荷集度q=100N/m，力偶矩大小M=500N?m。長(zhǎng)度AB=3m，DB=1m。求活動(dòng)鉸支D和固定鉸支A的反力。3、列平衡方程：4、聯(lián)立求解：

ND=475N

NAx=0

NAy=-175NBADQNAyNAxNDCMyx2．4固定端約束的約束力本節(jié)應(yīng)用平面力系的簡(jiǎn)化方法分析一種約束力比較復(fù)雜的約束。這種約束叫做固定端或插入端（fixedendsupport）約束。固定端約束在工程中是很常見(jiàn)。圖2-6a所示為機(jī)床上夾持工件的夾盤(pán)，夾盤(pán)對(duì)工件的約束就是固定端約束；圖2-6c所示為一端鑲嵌在建筑物墻內(nèi)的門(mén)或窗戶頂部的雨罩，墻對(duì)于雨罩的約束也屬于固定端約束。固定端對(duì)于被約束的構(gòu)件，在約束處所產(chǎn)生的約束力，是一種比較復(fù)雜的分布力系。在平面問(wèn)題中，如果主動(dòng)力為平面力系，這一頒約束力系也是平面力系，如圖2-7a所示。將這一分布力系向被約束構(gòu)件根部（例如A點(diǎn)）簡(jiǎn)化，可得到一約束力和一約束力偶，約束力的方向及約束力偶偶的轉(zhuǎn)向均不確定，如圖2-7b所示。固定端方向未知的約束力也可以用兩個(gè)互相垂直分力和表示。約束力偶的轉(zhuǎn)向可任意假設(shè)，一般設(shè)為正向，即逆時(shí)針?lè)较颉Ｈ绻詈笥?jì)算結(jié)果為正值，表明所假設(shè)的逆時(shí)針?lè)较蚴钦_的；若為負(fù)值，說(shuō)明實(shí)際方向與所假設(shè)的逆時(shí)針?lè)较蛳喾?，即為順時(shí)針?lè)较颉９潭ǘ思s束與固定鉸鏈約束不同的是，不僅限制了被約束構(gòu)件的移動(dòng)，還限制了被約束構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，固定端約束力系的簡(jiǎn)化結(jié)果為一個(gè)為與一個(gè)力偶與其對(duì)構(gòu)件的約束效果是一致的。2．5結(jié)論與討論2．5．1關(guān)于力的矢量性質(zhì)的討論本章所涉及的力學(xué)矢量較多，因而比較容易混淆。根據(jù)這些矢量對(duì)剛體所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)，以及這些矢量大小、方向、作用點(diǎn)或作用線，可以將其歸納為三類(lèi)：定位矢、滑動(dòng)矢、自由矢。請(qǐng)同學(xué)們判斷力矢、主矢、力偶矩矢以及主矩分別屬于哪一類(lèi)矢量。2．5．2關(guān)于平面力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論本章介紹了力系簡(jiǎn)化的理論以及平面一般力系向某一確定點(diǎn)的簡(jiǎn)化結(jié)果。但是，在很多情形下，這并不是力系簡(jiǎn)化的最后結(jié)果。所謂力系簡(jiǎn)化的最后結(jié)果，是指力系向某一確定點(diǎn)簡(jiǎn)化所得到的主矢和主矩，還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化，最后得到一個(gè)合力、一個(gè)合力偶或二者均為零。2．5．3關(guān)于實(shí)際約束的討論在上一章和這一章中，分別介紹了鉸鏈約束與固定端約束。這兩種約束的差別就在于：鉸鏈約束只限制了被約束物體的移動(dòng)。沒(méi)有限制被約束物體的轉(zhuǎn)動(dòng)；固定端約束既限制了被約束物體的移動(dòng)，又限制了被約束物體的轉(zhuǎn)動(dòng)?？梢?jiàn)，固定端約束與鉸鏈約束相比，增加了一個(gè)約束力偶。實(shí)際結(jié)構(gòu)中的約束，被約束物體的轉(zhuǎn)動(dòng)不可能完全被限制。因而，很多約束可能既不屬于鉸鏈約束，也不屬于固定端約束，而是介于二者之間。這時(shí)，可以簡(jiǎn)化為鉸鏈上附加一扭轉(zhuǎn)彈簧，表示被約束物體既不能自由轉(zhuǎn)動(dòng)，又不是完全不能轉(zhuǎn)動(dòng)。實(shí)際結(jié)構(gòu)中的約束，簡(jiǎn)化為哪一種約束，需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。作業(yè)：2-2，2-7，2-9，2-10OAdBF一、力矩的定義——力F的大小乘以該力作用線到某點(diǎn)O間距離d，并加上適當(dāng)正負(fù)號(hào)，稱為力F對(duì)O點(diǎn)的矩。簡(jiǎn)稱力矩?！?–1力對(duì)點(diǎn)之矩二、力矩的表達(dá)式:三、力矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：按右手規(guī)則，當(dāng)有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的趨向時(shí)，力F對(duì)O點(diǎn)的矩取正值。四、力矩的單位：與力偶矩單位相同，為N.m。

五、力矩的性質(zhì)：1、力沿作用線移動(dòng)時(shí)，對(duì)某點(diǎn)的矩不變2、力作用過(guò)矩心時(shí)，此力對(duì)矩心之矩等于零3、互成平衡的力對(duì)同一點(diǎn)的矩之和等于零§2–1力對(duì)點(diǎn)之矩4、力偶中兩力對(duì)面內(nèi)任意點(diǎn)的矩等于該力偶的力偶矩六、力矩的解析表達(dá)式y(tǒng)xOxyAB§2–1力對(duì)點(diǎn)之矩

力對(duì)某點(diǎn)的矩等于該力沿坐標(biāo)軸的分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和七、力對(duì)點(diǎn)的矩與力偶矩的區(qū)別：相同處：力矩的量綱與力偶矩的相同。不同處：力對(duì)點(diǎn)的矩可隨矩心的位置改變而改變，但一個(gè)力偶的矩是常量。聯(lián)系：力偶中的兩個(gè)力對(duì)任一點(diǎn)的之和是常量，等于力偶矩。§2–1力對(duì)點(diǎn)之矩§3–2FAOdFAOdlAO==

把力F作用線向某點(diǎn)O平移時(shí)，須附加一個(gè)力偶，此附加力偶的矩等于原力F對(duì)點(diǎn)O的矩。證明：一、力線平移定理：§2–2力線平移定理

二、幾個(gè)性質(zhì)：1、當(dāng)力線平移時(shí)，力的大小、方向都不改變，但附加力偶的矩的大小與正負(fù)一般要隨指定O點(diǎn)的位置的不同而不同。2、力線平移的過(guò)程是可逆的，即作用在同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶，總可以歸納為一個(gè)和原力大小相等的平行力。3、力線平移定理是把剛體上平面任意力系分解為一個(gè)平面共點(diǎn)力系和一個(gè)平面力偶系的依據(jù)?！?–2力線平移定理§2–3平面任意力系的簡(jiǎn)化?主矢與主矩

A3OA2A1F1F3F2l1Ol2l3LOO==

應(yīng)用力線平移定理，可將剛體上平面任意力系中各個(gè)力的作用線全部平行移到作用面內(nèi)某一給定點(diǎn)O

。從而這力系被分解為平面共點(diǎn)力系和平面力偶系。這種變換的方法稱為力系向給定點(diǎn)O的簡(jiǎn)化。點(diǎn)O稱為簡(jiǎn)化中心。一、力系向給定點(diǎn)O的簡(jiǎn)化

共點(diǎn)力系F1、F2、F3的合成結(jié)果為一作用點(diǎn)在點(diǎn)O的力R。這個(gè)力矢R稱為原平面任意力系的主矢。附加力偶系的合成結(jié)果是作用在同平面內(nèi)的力偶，這力偶的矩用LO代表，稱為原平面任意力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O

的主矩?！?–3平面任意力系的簡(jiǎn)化?主矢與主矩結(jié)論：

平面任意力系向面內(nèi)任一點(diǎn)的簡(jiǎn)化結(jié)果，是一個(gè)作用在簡(jiǎn)化中心的主矢；和一個(gè)對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。推廣：平面任意力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O的簡(jiǎn)化結(jié)果主矩：§2–3平面任意力系的簡(jiǎn)化?主矢與主矩主矢：二、幾點(diǎn)說(shuō)明：1、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。2、平面任意力系的主矩與簡(jiǎn)化中心O的位置有關(guān)。因此，在說(shuō)到力系的主矩時(shí)，一定要指明簡(jiǎn)化中心。§2–3平面任意力系的簡(jiǎn)化?主矢與主矩§2–3平面任意力系的簡(jiǎn)化?主矢與主矩方向余弦：2、主矩Lo可由下式計(jì)算：三、主矢、主矩的求法：1、主矢可接力多邊形規(guī)則作圖求得，或用解析法計(jì)算?！?–3平面任意力系的簡(jiǎn)化?主矢與主矩==LOOORLo

AORLo

A1、R=0，而LO≠0，原力系合成為力偶。這時(shí)力系主矩LO不隨簡(jiǎn)化中心位置而變。2、LO=0，而R≠0，原力系合成為一個(gè)力。作用于點(diǎn)O的力R就是原力系的合力。3、R≠0，LO≠0，原力系簡(jiǎn)化成一個(gè)力偶和一個(gè)作用于點(diǎn)O的力。這時(shí)力系也可合成為一個(gè)力。說(shuō)明如下：§2–4平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論.合力矩定理簡(jiǎn)化結(jié)果的討論綜上所述，可見(jiàn)：4、R=0，而LO=0，原力系平衡。⑴、平面任意力系若不平衡，則當(dāng)主矢主矩均不為零時(shí)，則該力系可以合成為一個(gè)力。

⑵、平面任意力系若不平衡，則當(dāng)主矢為零而主矩不為零時(shí)，則該力系可以合成為一個(gè)力偶?！?–4平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論.合力矩定理

平面任意力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于這個(gè)力系中的各個(gè)力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和?！?–4平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論.合力矩定理合力矩定理yxOxyABF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°例題3-1在長(zhǎng)方形平板的O、A、B、C點(diǎn)上分別作用著有四個(gè)力：F1=1kN，F(xiàn)2=2kN，F(xiàn)3=F4=3kN（如圖），試求以上四個(gè)力構(gòu)成的力系對(duì)點(diǎn)O的簡(jiǎn)化結(jié)果，以及該力系的最后的合成結(jié)果。解：取坐標(biāo)系Oxy。

1、求向O點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果：①求主矢R：§2–4平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論.合力矩定理ROABC

xy§2–4平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論.合力矩定理F1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°②求主矩：（2）、求合成結(jié)果：合成為一個(gè)合力R，R的大小、方向與R’相同。其作用線與O點(diǎn)的垂直距離為：R/OABC

xyLoRd§2–4平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論.合力矩定理F1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°平衡方程其他形式：A、B的連線不和x軸相垂直。A、B、C三點(diǎn)不共線。平面任意力系平衡的充要條件：力系的主矢等于零，又力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩也等于零。平衡方程：§2–5平面任意力系的平衡條件和平衡方程解：1、取伸臂AB為研究對(duì)象2、受力分析如圖yTPQEQDxBAECDFAyFAxαaαcbBFACQDQEl例題2-2伸臂式起重機(jī)如圖所示，勻質(zhì)伸臂AB重P=2200N，吊車(chē)D、E連同吊起重物各重QD=QE=4000N。有關(guān)尺寸為：l=4.3m，a=1.5m，b=0.9m，c=0.15m,α=25°。試求鉸鏈A對(duì)臂AB的水平和垂直反力，以及拉索BF的拉力?！?–5平面任意力系的平衡條件和平衡方程3、選列平衡方程：4、聯(lián)立求解，可得：T=12456NFAx=11290NFAy=4936N§2–5平面任意力系的平衡條件和平衡方程yTPQEQDxBAECDFAyFAxα解：1、取梁AB為研究對(duì)象。2、受力分析如圖，其中Q=q.AB=100×3=300N；作用在AB的中點(diǎn)C。BADQNAyNAxNDCMyxBAD1mq2mM例題2-3梁AB上受到一個(gè)均布載荷和一個(gè)力偶作用，已知載荷集度q=100N/m，力偶矩大小M=500N?m。長(zhǎng)度AB=3m，DB=1m。求活動(dòng)鉸支D和固定鉸支A的反力?！?–5平面任意力系的平衡條件和平衡方程3、列平衡方程：4、聯(lián)立求解：

ND=475N

NAx=0

NAy=-175N§2–5平面任意力系的平衡條件和平衡方程BADQNAyNAxNDCMyx25802083770ABCTQ解：1、取機(jī)翼為研究對(duì)象。2、受力分析如圖.QNAyNAxMABCTA例題2-4某飛機(jī)的單支機(jī)翼重Q=7.8kN。飛機(jī)水平勻速直線飛行時(shí)，作用在機(jī)翼上的升力T=27kN，力的作用線位置如圖示。試求機(jī)翼與機(jī)身連接處的約束力?！?–5平面任意力系的平衡條件和平衡方程4、聯(lián)立求解：

MA=-38.6kN?m(順時(shí)針）

NAx=0

NAy=-19.2kN（向下）3、列平衡方程：§2–5平面任意力系的平衡條件和平衡方程QNAyNAxMABCTA且A、B的連線不平行于力系中各力。

由此可見(jiàn)，在一個(gè)剛體受平面平行力系作用而平衡的問(wèn)題中，利用平衡方程只能求解二個(gè)未知量。

平面平行力系平衡的充要條件：力系中各力的代數(shù)和等于零，以這些力對(duì)任一點(diǎn)的矩的代數(shù)和也等于零。平面平行力系的平衡方程：§2–6平面平行力系的平衡GNAQWPNBAB3.02.51.82.0解：1、取汽車(chē)及起重機(jī)為研究對(duì)象。2、受力分析如圖。例題2-5一種車(chē)載式起重機(jī)，車(chē)重Q=26kN，起重機(jī)伸臂重G=4.5kN，起重機(jī)的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重W=31kN。尺寸如圖所示，單位是m，設(shè)伸臂在起重機(jī)對(duì)稱面內(nèi)，且放在圖示位置，試求車(chē)子不致翻倒的最大起重量Pmax。§2–6平面平行力系的平衡4、聯(lián)立求解：3、列平衡方程：5、不翻條件：NA≥0故最大起重重量為Pmax=7.5kN§2–6平面平行力系的平衡GNAQWPNBAB3.02.51.82.0一、幾個(gè)概念：1、物體系——由若干個(gè)物體通過(guò)約束組成的系統(tǒng)2、外力——物體系以外任何物體作用于該系統(tǒng)的力3、內(nèi)力——物體系內(nèi)部各物體間相互作用的力二、物體系平衡方程的數(shù)目：由n個(gè)物體組成的物體系，總共有不多于3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程?！?–7物體系的平衡與靜不定問(wèn)題的概念靜定靜不定靜不定靜不定

三、靜定與靜不定概念：

1、靜定問(wèn)題——

當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目等于或少于獨(dú)立平衡方程數(shù)目時(shí)的問(wèn)題。2、靜不定問(wèn)題——

當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目時(shí)，不能求出全部未知量的問(wèn)題?！?–7物體系的平衡與靜不定問(wèn)題的概念解：1、取AC段研究，受力分析如圖。例題2-6三鉸拱橋如圖所示，由左右兩段借鉸鏈C連接起來(lái)，又用鉸鏈A、B與基礎(chǔ)相聯(lián)結(jié)。已知每段重G=40kN，重心分別在D、E處，且橋面受一集中載荷P=10kN。設(shè)各鉸鏈都是光滑的，試求平衡時(shí)，各鉸鏈中的力。尺寸如圖所示，單位是m。物體系的平衡問(wèn)題P3DEABCNCyNCxNAyNAxDAC列平衡方程：2、再取BC段研究，受力分析如圖。列平衡方程：物體系的平衡問(wèn)題PBCENCyNCxNAyNAxDAC聯(lián)立求解：可得

NAx=-NBx=NCx=9.2kNNAy=42.5kNNBy=47.5kNNCy=2.5kN

NCx和NCx、

NCy和NCy是二對(duì)作用與反作用力。物體系的平衡問(wèn)題解：1、取CE段為研究對(duì)象，受力分析如圖。Pl/8qBADLCHEl/4l/8l/4l/4LQ13l/8CEHl/8NCNE例題2-7組合梁AC和CE用鉸鏈C相連，A端為固定端，E端為活動(dòng)鉸鏈支座。受力如圖所示。已知：

l=8m，P=5kN，均布載荷集度q=2.5kN/m，力偶矩的大小L=5kN·m，試求固端A、鉸鏈C和支座E的反力。物體系的平衡問(wèn)題列平衡方程：2、取AC段為研究對(duì)象，受力分析如圖。聯(lián)立求解：可得

NE=2.5kN（向上）

NC=2.5kN（向上）Q2PLAl/4ACHl/8l/8NALQ13l/8CEHl/8NCNE物體系的平衡問(wèn)題列平衡方程：聯(lián)立求解：可得

LA=30kN·m

NA=-12.5kNQ2PLAl/4ACHl/8l/8NA物體系的平衡問(wèn)題§2–8平面靜力學(xué)在工程中的應(yīng)用舉例1、桁架——

一種由若干桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成，受力后幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。如圖分別是普通屋頂桁架和橋梁桁架。一、概念：2、平面桁架——所有桿件都在同一平面內(nèi)的桁架。3、節(jié)點(diǎn)——

桁架中桿件的鉸鏈接頭。4、桿件內(nèi)力——

各桿件所承受的力。5、靜定桁架——

如果從桁架中任意抽去一根桿件，則桁架失去形狀的固定性?！?–8平面靜力學(xué)在工程中的應(yīng)用舉例1、桁架中的桿件都是直桿，并用光滑鉸鏈連接。

二、桁架計(jì)算的常見(jiàn)假設(shè)：

三、桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)：可以充分發(fā)揮材料的作用，減輕結(jié)構(gòu)的重量，節(jié)約材料。2、桁架受的力都作用在節(jié)點(diǎn)上，并在桁架的平面內(nèi)。3、桁架的自重忽略不計(jì)，或被平均分配到桿件兩端的節(jié)點(diǎn)上，這樣的桁架稱為理想桁架。§2–8平面靜力學(xué)在工程中的應(yīng)用舉例四、計(jì)算桁架桿件內(nèi)力的方法：1、節(jié)點(diǎn)法--應(yīng)用共點(diǎn)力系平衡條件，逐一研究桁架上每個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡。2、截面法--應(yīng)用平面任意力系的平衡條件，研究桁架由截面切出的某部分的平衡。§2–8平面靜力學(xué)在工程中的應(yīng)用舉例aa