向量的數(shù)量積

向量的數(shù)量積本講重點：向量的數(shù)量積公式，數(shù)量積的坐標(biāo)運算本講難點：數(shù)量積公式及其變形與運用向量的數(shù)量積問題θsF

一個物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移s，且F與s的夾角為θ,那么力F所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計算？其中力F

和位移s是向量，是F

與s

的夾角，而功是數(shù)量.數(shù)量叫做力F

與位移s的數(shù)量積

向量的夾角的定義思考：在如圖等邊三角形中所標(biāo)三個向量的夾角分別是多大？注意:在兩向量的夾角定義中,兩向量必須是同起點的平面向量的數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，我們把數(shù)量

叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

，即規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0．

（1）兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，符號由夾角決定

（3）

a·b不能寫成a×b

，a×b

表示向量的另一種運算．（2）一種新的運算法則，以前所學(xué)的運算律、性質(zhì)不適合．例題講解例1．已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角，求a·b.解：a·b=|a||b|cosθ

物理上力所做的功實際上是將力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF，過點B作垂直于直線OA，垂足為，則|b|cosθOABabOABab|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．θ為銳角時，|b|cosθ＞0θ為鈍角時，|b|cosθ＜0θ為直角時，|b|cosθ=0BOAab討論總結(jié)性質(zhì)：（1）e·a=a·e=|a|cos

（2）a⊥ba·b=0

(判斷兩向量垂直的依據(jù))

（3）當(dāng)a與b同向時，a·b=|a|·|b|，當(dāng)a與b反向時，a·b=-|a|·|b|

．特別地（4）（5）a·b≤|a|·|b|向量數(shù)量積滿足的運算律向量模的計算例3：已知（a–b）⊥（a+3b），求證：

|a+b|=2|b|解：∵（a–b）⊥（a+3b）

∴（a–b）·（a+3b）=0

即a·a+3a·b–b·a–3b·b=0

即a·a+2a·b–3b·b=0

∴(a+b)2=4b2

即

|a+b|2=4|b|2∴|a+b|

=2|b|例4、已知a、b都是非零向量，且a+3b

與7a–5b

垂直，a–4b

與7a–2b垂直，求a與b的夾角。

解：∵（a+3b

）⊥（7a–

5b）（a–

4b

）⊥（7a–

2b

）

∴（a+3b

）·（7a–5b）

=0且（a–

4b

）·

（7a–

2b

）=0

即7a·a+

16a·b–15b·b=0

7a·a-30a·b+8b·b=0

兩式相減得：2a·b=b2，

代入其中任一式中得:a2=b2cosθ=（思考題）求證：直徑所對圓周角為直角證明：設(shè)AC是圓O的一條直徑，∠ABC為圓周角，如圖CB0Ab∴∠ABC=900

即直徑所對圓周角為直角a設(shè)AO=a，OB=b，則AB=a+b，OC=a，則BC=OC-OB=a-b∵|a|=|b|∴AB·BC=（a+b）·（a-b）

=a2-b2=|a|2-|b|2=0∴AB⊥BC例4：已知a＝(5,0)，b＝(–3.2,2.4),

求證：(a＋b)⊥b

.證明：

∵(a＋b)·b

＝a·b＋b2

＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42

＝0，∴(a＋b)⊥b.例6：已知：A、B、C三點坐標(biāo)分別為(2，0)、(4，2)、(0，4)，直線l過A、B兩點，求點C到l的距離.HOABCxyl分析一：如圖，