第十章動能定理(第二版)

第十章動能定理1第十章動能定理§10.1力的功§10.2質點和質點系的動能§10.3動能定理§10.4功率·功率方程·機械效率§10.5勢力場·勢能·機械能守恒定律§10.6普遍定理的綜合應用舉例2一、常力的功功是代數(shù)量，在國際單位制中，功的單位為J（焦耳）。§10.1力的功3二、變力的功力F從M1到M2的過程所作的功在直角坐標系中上兩式也可寫成以下矢量點乘形式：力在全路程上作的功等于元功之和：力在無限小位移

中作的功稱為元功：4根據(jù)質心坐標公式，有三、幾種常見力的功1．重力的功重力作功為對于質點系，設質點i

的質量為mi，運動始末的高度差為（zi1-zi2），則全部重力作功之和為：重力在直角坐標軸上的投影為所以5點A

由A1到A2時，彈性力作功為2．彈性力的功彈性范圍內，彈性力大小為k為彈簧剛度系數(shù)彈性力6如果剛體上作用一力偶，則力偶所作的功仍可用上式計算，其中Mz為力偶對轉軸z的矩，也等于力偶矩矢M在軸上的投影。3．作用于轉動剛體上的力和力偶的功力F在切線上的投影為剛體轉動時力F的元功為Ft

R等于F對于轉軸z的力矩Mz，于是71.理想約束反力的功（1）光滑固定面約束約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。（2）活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承四、理想約束及內力的功8（5）柔性約束（不可伸長的繩索）（4）聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）（3）剛體沿固定面作純滾動92.質點系內力的功只要A、B兩點間距離保持不變,內力的元功和就等于零。不變質點系內力的功之和等于零。剛體的內力的功之和等于零。不可伸長的繩索內力的功之和等于零。10

一、質點的動能設質點的質量為m，速度為v，則質點的動能為動能是標量，恒取正值。在國際單位制中動能的單位也為J。二、質點系的動能質點系內各質點動能的算術和稱為質點系的動能，即§10.2質點和質點系的動能112．轉動剛體的動能1.平移剛體的動能123.平面運動剛體的動能點C:質心，點P:某瞬時的瞬心，ω:角速度13一、質點的動能定理取質點運動微分方程的矢量形式因得上式稱為質點動能定理的微分形式:即質點動能的增量等于作用在質點上力的元功?！?0.3動能定理14上式稱為質點動能定理的積分形式：在質點運動的某個過程中，質點動能的改變量等于作用于質點的力作的功。二、質點系的動能定理質點系內有n個質點，任一質點質量為mi，速度為vi，有式中δWi為作用于這個質點上的力Fi作的元功。15上式稱為質點系動能定理的積分形式：質點系在某一段運動過程中，起點和終點的動能的改變量，等于作用于質點系的全部力在這段過程中所作功的和。將n個方程相加，得：上式稱為質點系動能定理的微分形式：質點系動能的增量等于作用于質點系全部力所作的元功的和。上式積分，得：16例1圖示的均質桿OA的質量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態(tài)。設彈簧常數(shù)為k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉到水平位置OA’，在鉛直位置時的角速度至少應為多大？解：取OA桿為研究對象得由17上式兩邊對ｔ求導，得由動能定理，設滑塊的速度為v，加速度為a?！纠?】均質圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質量不計，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：取整體為研究對象，18

【例3】圖示系統(tǒng)中,均質圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時重物的速度與加速度。(繩重不計且不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止)解：取系統(tǒng)為研究對象，設重物的速度與加速度分別為v與a。19上面(1)式求導得：(1)20【例4】行星齒輪傳動機構,放在水平面內。動齒輪半徑r,重P,視為均質圓盤；曲柄重Q,長l,作用一力偶,矩為M(常量),曲柄由靜止開始轉動；求曲柄的角速度(以轉角

的函數(shù)表示)和角加速度。解：取整個系統(tǒng)為研究對象，設曲柄的角速度為ω，角加速度為α。21根據(jù)動能定理T2-T1=W12，得(*)將(*)

式對t求導數(shù)，得22【例5】兩根均質直桿組成的機構及尺寸如圖示；OA桿質量是AB桿質量的兩倍，各處摩擦不計，如機構在圖示位置從靜止釋放，求當OA桿轉到鉛垂位置時，AB桿B

端的速度。解：取整個系統(tǒng)為研究對象，設B端速度為v。23一、功率單位時間內力所做的功稱為功率，以P表示。功率等于切向力與力作用點速度的乘積。作用在轉動剛體上的力的功率為式中Mz是力對轉軸z的矩，ω是角速度。即作用于轉動剛體上的力的功率等于該力對轉軸的矩與角速度的乘積?！?0.4功率功率方程機械效率24二、功率方程

取質點系動能定理的微分形式，兩端除以dt，得上式稱為功率方程，即質點系動能對時間的一階導數(shù)，等于作用于質點系的所有力的功率的代數(shù)和。每部機器的功率可分為三部分：輸入功率、無用功率（或耗損功率）、有用功率（或輸出功率）。在一般情況下，功率方程可寫成：或25三、機械效率有效功率=機械效率η表示機器對輸入功率的有效利用程度，它是評定機器質量好壞的指標之一。顯然，如一部機器有n級傳動，設各級的效率分別為η1、η2、…、ηn,則總效率為，機械效率用η表示，即26

【例6】

車床的電動機功率為5.4

kW。由于傳動零件之間的摩擦耗損功率占輸入功率的30%。如工件的直徑d=100mm，轉速n

=42

r/min，問允許切削力的最大值為多少？若工件的轉速改為n’=112r/min，問允許切削力的最大值為多少？解：由題意知：當工件勻速轉動時，動能不變，則設切削力為F，切削速度為v，則27當n=112r/min時，允許的最大切削力為當n=42r/min時，允許的最大切削力為28

【例7】

電動機車質量為m，由靜止以勻加速度a沿水平軌道行駛，如電動機車所受的運動阻力等于kmg(其中k是常數(shù))。求電動機車的功率。解：設電動機車行駛距離s時的速度為v，電動機車所做的功為W，由動能定理得：將上式對時間求導，并注意及得電機車的功率將代入上式，得：29

【例8】均質圓輪半徑r，質量為m，受到輕微擾動后，在半徑為R的圓弧上往復滾動，如圖所示。設表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求質心C的運動規(guī)律。解：取輪為研究對象，均質圓輪作平面運動，其動能為只有重力作功,重力的功率為4530應用功率方程：得當θ很小時sinθ≈θ,于是得質心C的運動微分方程為31一、勢力場如果一物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為力場。例：重力場，太陽引力場等等。如果物體在力場內運動，作用于物體的力所作的功只與力作用點的初始位置和終了位置有關，而與該點的軌跡形狀無關，這種力場稱為勢力場（或保守力場）。在勢力場中，物體受到的力稱為有勢力（或保守力）。例：重力場、彈性力場都是勢力場，重力、彈性力、萬有引力都是有勢力?！?0.5勢力場勢能機械能守恒定律32二、勢能在勢力場中，質點M運動到任選的點M0

，有勢力所作的功稱為質點在點M相對于點M0的勢能。以V表示為點M0

稱為零勢能點。在勢力場中，勢能的大小是相對零勢能點而言的。零勢能點M0可以任意選取，對于不同的零勢能點，在勢力場中同一位置的勢能可有不同的數(shù)值。幾種常見勢能的計算331．重力場中的勢能質點重力mg在各軸上的投影為取M0為零勢能點，則質點在點M的勢能為質點系重力勢能其中m為質點系全部質量，zC為質心的z坐標，zC0為零勢能位置質心z坐標。342．彈性力場中的勢能設彈簧的一端固定，另一端與物體連接。彈簧的剛度系數(shù)為k。取M0為零勢能點，則物體在點M的勢能為如取彈簧的自然位置為零勢能點，則有δ0

=0，則35一質量為m、長為l的均質桿AB。A端鉸支，B端由無重彈簧拉住，并于水平位置平衡。此時彈簧已拉長δ0。如彈簧剛度系數(shù)為k，如質點系受到多個有勢力的作用，各有勢力可有各自的零勢能點。質點系中的各質點都處于其零勢能點的一組位置，稱為質點系的“零勢能位置”。質點系從某位置到其“零勢能位置”的運動過程中，各有勢力作功的代數(shù)和稱為此質點系在該位置的勢能。36(2)如取桿的平衡位置為系統(tǒng)的零勢能位置，桿于微小擺角j

處，勢能為(1)如重力以桿的水平位置為零勢能位置，彈簧以自然位置為零勢能點，則桿于微小擺角j

處勢能為注意可得37質點系在勢力場中運動，有勢力的功可通過勢能計算。設某個有勢力的作用點在質點系的運動過程中，從點

M1到點M2，該力所作的功為W12。取點M0

為零勢能點，則因有勢力的功與軌跡形狀無關，從M1經(jīng)M2到M0即有勢力所作的功等于質點系在運動過程中的初始和終了位置的勢能的差。38三、機械能守恒定律質點系在某瞬間的動能與勢能的代數(shù)和稱為機械能。質點系如只有有勢力作功，則移項后即質點系在運動的過程中，只有有勢力作功，其機械能保持不變。這種質點系稱為保守系統(tǒng)。39如質點系受到非保守力也作功，稱為非保守系統(tǒng)，非保守系統(tǒng)的機械能是不守恒的。設保守力所作的功為W12，非保守力所作的功為W'12

，由動能定理有因則如W'12為負功，質點系在運動過程中機械能減小，稱為機械能耗散；如W'12為正功，質點系在運動過程中機械能增加，這時外界對系統(tǒng)輸入了能量。40

【例9】

長為l，質量為m的均質直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。當桿無初速度地傾倒后，求質心的速度（用桿的傾角和質心的位置表達）。

解：取桿為研究對象，由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質心C

鉛垂下降。由于只有重力作功,因此機械能守恒。取地面為零勢能面41由機械能守恒定律：解得42

【例10】

兩根均質桿AC和BC各重為P，長為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設兩桿軸線始終在鉛垂面內，初始靜止，C點高度為h，求鉸C到達地面時的速度。43

解：取整體為研究對象：由于只有重力作功,因此機械能守恒。取地面為零勢能面由機械能守恒定律：44

【例11】均質圓輪半徑r，質量為m，受到輕微擾動后，在半徑為R的圓弧上往復滾動，如圖所示。設表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求質心C的運動規(guī)律。解：取輪為研究對象，此系統(tǒng)的機械能守恒，取質心的最低位置O為重力場零勢能點，圓輪在任一位置的勢能為同一瞬時的動能為由機械能守恒，有3045把V和T的表達式代入，取導數(shù)后得于是得因θ很小因46它們從不同方面建立了質點或質點系運動量（動量、動量矩、動能）的變化與力的作用量（沖量、力矩、力的功）之間的關系。質點和質點系的普遍定理包括動量定理、動量矩定理和動能定理。動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標量形式，他們都用于研究機械運動，而動能定理還可用于研究機械運動與其它運動形式有能量轉化的問題。應用動量定理或動量矩定理時，質點系的內力不能改變系統(tǒng)的動量和動量矩，只需考慮質點系所受的外力。應用動能定理時，要考慮約束力和內力作不作功?！?0.6普遍定理的綜合應用舉例47動量定理質點系動量定理的微分形式質點系動量定理的積分形式48質點系動量守恒定律，則即質點系的動量保持不變。1.如果2.如果，則即質點系的動量在x軸上投影保持不變。

以上結論稱為質點系動量守恒定律。動量定理49質心運動定理或質心運動定理直角坐標軸上的投影式為自然軸上的投影式為50質心運動守恒定律即質心作勻速直線運動；若開始靜止，則質心位置始終保持不變。2.如果則所以即質心速度在x軸上的投影保持不變；若開始速度在x軸上的投影等于零，則質心沿x軸的坐標保持不變。1.如果則所以以上結論，稱為質心運動守恒定律。質心運動定理51質點系動量矩定理：應用時，取投影式動量矩定理52動量矩守恒定律如果則則如果上述兩種情況就是質點系的動量矩守恒定律。動量矩定理53剛體繞定軸的轉動微分方程或剛體繞定軸轉動微分方程轉動慣量是剛體轉動慣性的度量。或54上式也可寫成

剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程55質點系的動能定理微分形式：積分形式：動能定理56功率方程功率方程·機械能守恒定律機械能守恒定律即質點系在運動的過程中，只有有勢力作功，其機械能保持不變。這種質點系稱為保守系統(tǒng)。57工程中有的問題只能用某一定理求解，有的則可用不同的定理求解，還有些較復雜的問題，需要幾個定理的聯(lián)合應用才能求解。因此，在解題時就牽涉到選哪個或哪幾個的問題。但普遍定理的選用具有很大的靈活性，不可能定出幾條處處適用的現(xiàn)成規(guī)則。動力學普遍定理選用的一般方法和步驟（僅供參考）⒈首先必須明確各個定理的內容、特點以及各定理所能解決的問題。⒉分析問題的已知條件與所求未知量之間的關系，分析質點系的運動狀態(tài)與所受力的特點，根據(jù)這兩方面分析的結果再來決定選用哪一定理。58

具體來講：⑴如果問題是要求速度和角速度，則可根據(jù)質點系所受力的特點而定。①若質點系所受外力的主矢為零或在某軸上投影的代數(shù)和為零，則可用動量守恒定律求解；②若質點系所受外力對某固定軸的力矩之代數(shù)和為零，則用對該軸的動量矩守恒定理求解；③若質點系僅受有勢力作用或非有勢力不作功，則用機械能守恒定律求解；④若作用在質點系上的非有勢力作功，則用動能定理求解；⑵如果問題是要求加速度和角加速度，則可考慮用動能定理求出速度和角速度，然后再對時間求導，求出加速度或角加速度；也可用功率方程或動量定理、動量矩定理求解。在用動能定理或功率方程求解時，59不作功的力在方程中不出現(xiàn)，給問問題的求解帶來很大的方便。⑶若已知質點系或質心的運動，如果在x、y、z方向僅有一個外力（通常是約束反力）是未知的，則可用動量定理或質心運動定理求出未知的外力，有時用動量矩定理求解也極為簡單。⒊對于定軸轉動問題，可用定軸轉動微分方程求解；對于剛體的平面運動問題，可用平面運動微分方程求解。通常情況下，先用動能定理或動量矩定理求出運動量，然后再用質心運動定理求出未知的約束反力。對于復雜的動力學問題，不外乎是上述幾種情況的組合，可根據(jù)各定理的特點聯(lián)合應用。60解：取桿為研究對象，由質心運動定理：例12：均質桿OA，重P，長l，繩子突然剪斷。求該瞬時，桿的角加速度及O處反力。其定軸轉動aaCyxyaCx解得：61ll0AB

例13：圖示彈簧兩端各系以重物A和B，放在光滑的水平面上,重物A和B的質量分別為m1、m2,彈簧的原長為l0，剛性系數(shù)為k。若將彈簧拉到

l

然后無初速地釋放，問當彈簧回到原長時，重物A和B的速度各為多少？62l0lAB解：取整體為研究對象。m1gm2gFAFBvAvBx∴水平方向動量守恒應用動能定理（2）（1）由(1)、(2)兩式解得：63

例14：圖示圓環(huán)以角速度ω繞鉛垂軸AC自由轉動。此圓環(huán)半經(jīng)為R,對軸的轉動慣量為J。在圓環(huán)中的點A放一質量為m的小球。設由于微小的干擾小球離開點A，小球與圓環(huán)間的摩擦忽略不計。求當小球到達點B和C時，圓環(huán)的角速度和小球的速度。ACB64ACB解：取整體為研究對象。zmgPFyF1zF1xF1yFx1.小球A→B∴對z軸動量矩守恒，即Lz1=Lz2由動能定理vBe是小球的牽連速度，vBr矢量與z軸相交65ACBzmgPFyF1zF1xF1yFx2.小球A→C∴對z軸動量矩守恒，應用動能定理解得解得即Lz1=Lz266【例15】如圖所示兩均質圓輪質量均為m，半徑為R，A輪繞固定軸O轉動，B輪在傾角為θ的斜面上作純滾動，B輪中心的繩繞到A輪上。若A輪上作用一力偶矩為M的力偶，忽略繩子的質量和軸承的摩擦，求B輪中心C點的加速度、繩子的張力、軸承O的約束力和斜面的摩擦力。67

解：取整體為研究對象，假設輪B的中心C由靜止開始沿斜面向上運動一段距離s，則各力所作功的和為由動能定理T2-T1=W12，得將上式對時間求導，得68(2)取輪A為研究對象，應用定軸轉動微分方程其中得應用質心運動定理，得因aox=aoy=0，得69(3)取輪B為研究對象，應用質心運動定理，得代入已量，得本問題也可應用相對質心的動量矩定理來求解。70

【例16】

均質細長桿為l、質量為m，靜止直立于光滑水平面上。當桿受微小干擾而倒下時，求桿剛剛到達地面時的角速度和地面約束力。71解：由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力，且初始靜止，故倒下過程中質心將鉛直下落。設桿