第十章動能定理(第二版)

第十章動能定理1第十章動能定理§10.1力的功§10.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動能§10.3動能定理§10.4功率·功率方程·機(jī)械效率§10.5勢力場·勢能·機(jī)械能守恒定律§10.6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例2一、常力的功功是代數(shù)量，在國際單位制中，功的單位為J（焦耳）?！?0.1力的功3二、變力的功力F從M1到M2的過程所作的功在直角坐標(biāo)系中上兩式也可寫成以下矢量點(diǎn)乘形式：力在全路程上作的功等于元功之和：力在無限小位移

中作的功稱為元功：4根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)公式，有三、幾種常見力的功1．重力的功重力作功為對于質(zhì)點(diǎn)系，設(shè)質(zhì)點(diǎn)i

的質(zhì)量為mi，運(yùn)動始末的高度差為（zi1-zi2），則全部重力作功之和為：重力在直角坐標(biāo)軸上的投影為所以5點(diǎn)A

由A1到A2時，彈性力作功為2．彈性力的功彈性范圍內(nèi)，彈性力大小為k為彈簧剛度系數(shù)彈性力6如果剛體上作用一力偶，則力偶所作的功仍可用上式計算，其中Mz為力偶對轉(zhuǎn)軸z的矩，也等于力偶矩矢M在軸上的投影。3．作用于轉(zhuǎn)動剛體上的力和力偶的功力F在切線上的投影為剛體轉(zhuǎn)動時力F的元功為Ft

R等于F對于轉(zhuǎn)軸z的力矩Mz，于是71.理想約束反力的功（1）光滑固定面約束約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。（2）活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承四、理想約束及內(nèi)力的功8（5）柔性約束（不可伸長的繩索）（4）聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）（3）剛體沿固定面作純滾動92.質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。不變質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功之和等于零。剛體的內(nèi)力的功之和等于零。不可伸長的繩索內(nèi)力的功之和等于零。10

一、質(zhì)點(diǎn)的動能設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，速度為v，則質(zhì)點(diǎn)的動能為動能是標(biāo)量，恒取正值。在國際單位制中動能的單位也為J。二、質(zhì)點(diǎn)系的動能質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動能的算術(shù)和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動能，即§10.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動能112．轉(zhuǎn)動剛體的動能1.平移剛體的動能123.平面運(yùn)動剛體的動能點(diǎn)C:質(zhì)心，點(diǎn)P:某瞬時的瞬心，ω:角速度13一、質(zhì)點(diǎn)的動能定理取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的矢量形式因得上式稱為質(zhì)點(diǎn)動能定理的微分形式:即質(zhì)點(diǎn)動能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功?！?0.3動能定理14上式稱為質(zhì)點(diǎn)動能定理的積分形式：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的某個過程中，質(zhì)點(diǎn)動能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功。二、質(zhì)點(diǎn)系的動能定理質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有n個質(zhì)點(diǎn)，任一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，速度為vi，有式中δWi為作用于這個質(zhì)點(diǎn)上的力Fi作的元功。15上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動能定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動過程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)的動能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這段過程中所作功的和。將n個方程相加，得：上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系動能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和。上式積分，得：16例1圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)為k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA’，在鉛直位置時的角速度至少應(yīng)為多大？解：取OA桿為研究對象得由17上式兩邊對ｔ求導(dǎo)，得由動能定理，設(shè)滑塊的速度為v，加速度為a?！纠?】均質(zhì)圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：取整體為研究對象，18

【例3】圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時重物的速度與加速度。(繩重不計且不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止)解：取系統(tǒng)為研究對象，設(shè)重物的速度與加速度分別為v與a。19上面(1)式求導(dǎo)得：(1)20【例4】行星齒輪傳動機(jī)構(gòu),放在水平面內(nèi)。動齒輪半徑r,重P,視為均質(zhì)圓盤；曲柄重Q,長l,作用一力偶,矩為M(常量),曲柄由靜止開始轉(zhuǎn)動；求曲柄的角速度(以轉(zhuǎn)角

的函數(shù)表示)和角加速度。解：取整個系統(tǒng)為研究對象，設(shè)曲柄的角速度為ω，角加速度為α。21根據(jù)動能定理T2-T1=W12，得(*)將(*)

式對t求導(dǎo)數(shù)，得22【例5】兩根均質(zhì)直桿組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計，如機(jī)構(gòu)在圖示位置從靜止釋放，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時，AB桿B

端的速度。解：取整個系統(tǒng)為研究對象，設(shè)B端速度為v。23一、功率單位時間內(nèi)力所做的功稱為功率，以P表示。功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積。作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為式中Mz是力對轉(zhuǎn)軸z的矩，ω是角速度。即作用于轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率等于該力對轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積?！?0.4功率功率方程機(jī)械效率24二、功率方程

取質(zhì)點(diǎn)系動能定理的微分形式，兩端除以dt，得上式稱為功率方程，即質(zhì)點(diǎn)系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和。每部機(jī)器的功率可分為三部分：輸入功率、無用功率（或耗損功率）、有用功率（或輸出功率）。在一般情況下，功率方程可寫成：或25三、機(jī)械效率有效功率=機(jī)械效率η表示機(jī)器對輸入功率的有效利用程度，它是評定機(jī)器質(zhì)量好壞的指標(biāo)之一。顯然，如一部機(jī)器有n級傳動，設(shè)各級的效率分別為η1、η2、…、ηn,則總效率為，機(jī)械效率用η表示，即26

【例6】

車床的電動機(jī)功率為5.4

kW。由于傳動零件之間的摩擦耗損功率占輸入功率的30%。如工件的直徑d=100mm，轉(zhuǎn)速n

=42

r/min，問允許切削力的最大值為多少？若工件的轉(zhuǎn)速改為n’=112r/min，問允許切削力的最大值為多少？解：由題意知：當(dāng)工件勻速轉(zhuǎn)動時，動能不變，則設(shè)切削力為F，切削速度為v，則27當(dāng)n=112r/min時，允許的最大切削力為當(dāng)n=42r/min時，允許的最大切削力為28

【例7】

電動機(jī)車質(zhì)量為m，由靜止以勻加速度a沿水平軌道行駛，如電動機(jī)車所受的運(yùn)動阻力等于kmg(其中k是常數(shù))。求電動機(jī)車的功率。解：設(shè)電動機(jī)車行駛距離s時的速度為v，電動機(jī)車所做的功為W，由動能定理得：將上式對時間求導(dǎo)，并注意及得電機(jī)車的功率將代入上式，得：29

【例8】均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求質(zhì)心C的運(yùn)動規(guī)律。解：取輪為研究對象，均質(zhì)圓輪作平面運(yùn)動，其動能為只有重力作功,重力的功率為4530應(yīng)用功率方程：得當(dāng)θ很小時sinθ≈θ,于是得質(zhì)心C的運(yùn)動微分方程為31一、勢力場如果一物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為力場。例：重力場，太陽引力場等等。如果物體在力場內(nèi)運(yùn)動，作用于物體的力所作的功只與力作用點(diǎn)的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點(diǎn)的軌跡形狀無關(guān)，這種力場稱為勢力場（或保守力場）。在勢力場中，物體受到的力稱為有勢力（或保守力）。例：重力場、彈性力場都是勢力場，重力、彈性力、萬有引力都是有勢力?！?0.5勢力場勢能機(jī)械能守恒定律32二、勢能在勢力場中，質(zhì)點(diǎn)M運(yùn)動到任選的點(diǎn)M0

，有勢力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M相對于點(diǎn)M0的勢能。以V表示為點(diǎn)M0

稱為零勢能點(diǎn)。在勢力場中，勢能的大小是相對零勢能點(diǎn)而言的。零勢能點(diǎn)M0可以任意選取，對于不同的零勢能點(diǎn)，在勢力場中同一位置的勢能可有不同的數(shù)值。幾種常見勢能的計算331．重力場中的勢能質(zhì)點(diǎn)重力mg在各軸上的投影為取M0為零勢能點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M的勢能為質(zhì)點(diǎn)系重力勢能其中m為質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)量，zC為質(zhì)心的z坐標(biāo)，zC0為零勢能位置質(zhì)心z坐標(biāo)。342．彈性力場中的勢能設(shè)彈簧的一端固定，另一端與物體連接。彈簧的剛度系數(shù)為k。取M0為零勢能點(diǎn)，則物體在點(diǎn)M的勢能為如取彈簧的自然位置為零勢能點(diǎn)，則有δ0

=0，則35一質(zhì)量為m、長為l的均質(zhì)桿AB。A端鉸支，B端由無重彈簧拉住，并于水平位置平衡。此時彈簧已拉長δ0。如彈簧剛度系數(shù)為k，如質(zhì)點(diǎn)系受到多個有勢力的作用，各有勢力可有各自的零勢能點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)系中的各質(zhì)點(diǎn)都處于其零勢能點(diǎn)的一組位置，稱為質(zhì)點(diǎn)系的“零勢能位置”。質(zhì)點(diǎn)系從某位置到其“零勢能位置”的運(yùn)動過程中，各有勢力作功的代數(shù)和稱為此質(zhì)點(diǎn)系在該位置的勢能。36(2)如取桿的平衡位置為系統(tǒng)的零勢能位置，桿于微小擺角j

處，勢能為(1)如重力以桿的水平位置為零勢能位置，彈簧以自然位置為零勢能點(diǎn)，則桿于微小擺角j

處勢能為注意可得37質(zhì)點(diǎn)系在勢力場中運(yùn)動，有勢力的功可通過勢能計算。設(shè)某個有勢力的作用點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動過程中，從點(diǎn)

M1到點(diǎn)M2，該力所作的功為W12。取點(diǎn)M0

為零勢能點(diǎn)，則因有勢力的功與軌跡形狀無關(guān)，從M1經(jīng)M2到M0即有勢力所作的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動過程中的初始和終了位置的勢能的差。38三、機(jī)械能守恒定律質(zhì)點(diǎn)系在某瞬間的動能與勢能的代數(shù)和稱為機(jī)械能。質(zhì)點(diǎn)系如只有有勢力作功，則移項后即質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動的過程中，只有有勢力作功，其機(jī)械能保持不變。這種質(zhì)點(diǎn)系稱為保守系統(tǒng)。39如質(zhì)點(diǎn)系受到非保守力也作功，稱為非保守系統(tǒng)，非保守系統(tǒng)的機(jī)械能是不守恒的。設(shè)保守力所作的功為W12，非保守力所作的功為W'12

，由動能定理有因則如W'12為負(fù)功，質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動過程中機(jī)械能減小，稱為機(jī)械能耗散；如W'12為正功，質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動過程中機(jī)械能增加，這時外界對系統(tǒng)輸入了能量。40

【例9】

長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表達(dá)）。

解：取桿為研究對象，由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心C

鉛垂下降。由于只有重力作功,因此機(jī)械能守恒。取地面為零勢能面41由機(jī)械能守恒定律：解得42

【例10】

兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C點(diǎn)高度為h，求鉸C到達(dá)地面時的速度。43

解：取整體為研究對象：由于只有重力作功,因此機(jī)械能守恒。取地面為零勢能面由機(jī)械能守恒定律：44

【例11】均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求質(zhì)心C的運(yùn)動規(guī)律。解：取輪為研究對象，此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，取質(zhì)心的最低位置O為重力場零勢能點(diǎn)，圓輪在任一位置的勢能為同一瞬時的動能為由機(jī)械能守恒，有3045把V和T的表達(dá)式代入，取導(dǎo)數(shù)后得于是得因θ很小因46它們從不同方面建立了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動量（動量、動量矩、動能）的變化與力的作用量（沖量、力矩、力的功）之間的關(guān)系。質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的普遍定理包括動量定理、動量矩定理和動能定理。動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標(biāo)量形式，他們都用于研究機(jī)械運(yùn)動，而動能定理還可用于研究機(jī)械運(yùn)動與其它運(yùn)動形式有能量轉(zhuǎn)化的問題。應(yīng)用動量定理或動量矩定理時，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動量和動量矩，只需考慮質(zhì)點(diǎn)系所受的外力。應(yīng)用動能定理時，要考慮約束力和內(nèi)力作不作功?！?0.6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例47動量定理質(zhì)點(diǎn)系動量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動量定理的積分形式48質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律，則即質(zhì)點(diǎn)系的動量保持不變。1.如果2.如果，則即質(zhì)點(diǎn)系的動量在x軸上投影保持不變。

以上結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律。動量定理49質(zhì)心運(yùn)動定理或質(zhì)心運(yùn)動定理直角坐標(biāo)軸上的投影式為自然軸上的投影式為50質(zhì)心運(yùn)動守恒定律即質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動；若開始靜止，則質(zhì)心位置始終保持不變。2.如果則所以即質(zhì)心速度在x軸上的投影保持不變；若開始速度在x軸上的投影等于零，則質(zhì)心沿x軸的坐標(biāo)保持不變。1.如果則所以以上結(jié)論，稱為質(zhì)心運(yùn)動守恒定律。質(zhì)心運(yùn)動定理51質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理：應(yīng)用時，取投影式動量矩定理52動量矩守恒定律如果則則如果上述兩種情況就是質(zhì)點(diǎn)系的動量矩守恒定律。動量矩定理53剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程或剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。或54上式也可寫成

剛體的平面運(yùn)動微分方程剛體的平面運(yùn)動微分方程55質(zhì)點(diǎn)系的動能定理微分形式：積分形式：動能定理56功率方程功率方程·機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律即質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動的過程中，只有有勢力作功，其機(jī)械能保持不變。這種質(zhì)點(diǎn)系稱為保守系統(tǒng)。57工程中有的問題只能用某一定理求解，有的則可用不同的定理求解，還有些較復(fù)雜的問題，需要幾個定理的聯(lián)合應(yīng)用才能求解。因此，在解題時就牽涉到選哪個或哪幾個的問題。但普遍定理的選用具有很大的靈活性，不可能定出幾條處處適用的現(xiàn)成規(guī)則。動力學(xué)普遍定理選用的一般方法和步驟（僅供參考）⒈首先必須明確各個定理的內(nèi)容、特點(diǎn)以及各定理所能解決的問題。⒉分析問題的已知條件與所求未知量之間的關(guān)系，分析質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動狀態(tài)與所受力的特點(diǎn)，根據(jù)這兩方面分析的結(jié)果再來決定選用哪一定理。58

具體來講：⑴如果問題是要求速度和角速度，則可根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系所受力的特點(diǎn)而定。①若質(zhì)點(diǎn)系所受外力的主矢為零或在某軸上投影的代數(shù)和為零，則可用動量守恒定律求解；②若質(zhì)點(diǎn)系所受外力對某固定軸的力矩之代數(shù)和為零，則用對該軸的動量矩守恒定理求解；③若質(zhì)點(diǎn)系僅受有勢力作用或非有勢力不作功，則用機(jī)械能守恒定律求解；④若作用在質(zhì)點(diǎn)系上的非有勢力作功，則用動能定理求解；⑵如果問題是要求加速度和角加速度，則可考慮用動能定理求出速度和角速度，然后再對時間求導(dǎo)，求出加速度或角加速度；也可用功率方程或動量定理、動量矩定理求解。在用動能定理或功率方程求解時，59不作功的力在方程中不出現(xiàn)，給問問題的求解帶來很大的方便。⑶若已知質(zhì)點(diǎn)系或質(zhì)心的運(yùn)動，如果在x、y、z方向僅有一個外力（通常是約束反力）是未知的，則可用動量定理或質(zhì)心運(yùn)動定理求出未知的外力，有時用動量矩定理求解也極為簡單。⒊對于定軸轉(zhuǎn)動問題，可用定軸轉(zhuǎn)動微分方程求解；對于剛體的平面運(yùn)動問題，可用平面運(yùn)動微分方程求解。通常情況下，先用動能定理或動量矩定理求出運(yùn)動量，然后再用質(zhì)心運(yùn)動定理求出未知的約束反力。對于復(fù)雜的動力學(xué)問題，不外乎是上述幾種情況的組合，可根據(jù)各定理的特點(diǎn)聯(lián)合應(yīng)用。60解：取桿為研究對象，由質(zhì)心運(yùn)動定理：例12：均質(zhì)桿OA，重P，長l，繩子突然剪斷。求該瞬時，桿的角加速度及O處反力。其定軸轉(zhuǎn)動aaCyxyaCx解得：61ll0AB

例13：圖示彈簧兩端各系以重物A和B，放在光滑的水平面上,重物A和B的質(zhì)量分別為m1、m2,彈簧的原長為l0，剛性系數(shù)為k。若將彈簧拉到

l

然后無初速地釋放，問當(dāng)彈簧回到原長時，重物A和B的速度各為多少？62l0lAB解：取整體為研究對象。m1gm2gFAFBvAvBx∴水平方向動量守恒應(yīng)用動能定理（2）（1）由(1)、(2)兩式解得：63

例14：圖示圓環(huán)以角速度ω繞鉛垂軸AC自由轉(zhuǎn)動。此圓環(huán)半經(jīng)為R,對軸的轉(zhuǎn)動慣量為J。在圓環(huán)中的點(diǎn)A放一質(zhì)量為m的小球。設(shè)由于微小的干擾小球離開點(diǎn)A，小球與圓環(huán)間的摩擦忽略不計。求當(dāng)小球到達(dá)點(diǎn)B和C時，圓環(huán)的角速度和小球的速度。ACB64ACB解：取整體為研究對象。zmgPFyF1zF1xF1yFx1.小球A→B∴對z軸動量矩守恒，即Lz1=Lz2由動能定理vBe是小球的牽連速度，vBr矢量與z軸相交65ACBzmgPFyF1zF1xF1yFx2.小球A→C∴對z軸動量矩守恒，應(yīng)用動能定理解得解得即Lz1=Lz266【例15】如圖所示兩均質(zhì)圓輪質(zhì)量均為m，半徑為R，A輪繞固定軸O轉(zhuǎn)動，B輪在傾角為θ的斜面上作純滾動，B輪中心的繩繞到A輪上。若A輪上作用一力偶矩為M的力偶，忽略繩子的質(zhì)量和軸承的摩擦，求B輪中心C點(diǎn)的加速度、繩子的張力、軸承O的約束力和斜面的摩擦力。67

解：取整體為研究對象，假設(shè)輪B的中心C由靜止開始沿斜面向上運(yùn)動一段距離s，則各力所作功的和為由動能定理T2-T1=W12，得將上式對時間求導(dǎo)，得68(2)取輪A為研究對象，應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動微分方程其中得應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理，得因aox=aoy=0，得69(3)取輪B為研究對象，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理，得代入已量，得本問題也可應(yīng)用相對質(zhì)心的動量矩定理來求解。70

【例16】

均質(zhì)細(xì)長桿為l、質(zhì)量為m，靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小干擾而倒下時，求桿剛剛到達(dá)地面時的角速度和地面約束力。71解：由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力，且初始靜止，故倒下過程中質(zhì)心將鉛直下落。設(shè)桿