第七章-線性變換-習(xí)題答案課件

『解題提示』直接根據(jù)變換的定義驗證即可．證明任取，則有，于是．4．設(shè)是線性變換，如果，證明：．『解題提示』利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．證明當(dāng)時，由于，可得，因此結(jié)論成立．假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即．那么，當(dāng)時，有，即對結(jié)論也成立．從而，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對一切結(jié)論都成立．『特別提醒』由可知，結(jié)論對也成立．5．證明：可逆映射是雙射．『解題提示』只需要說明可逆映射既是單射又是滿射即可．證明設(shè)是線性空間上的一個可逆變換．對于任意的，如果，那么，用作用左右兩邊，得到，因此是單射；另外，對于任意的，存在，使得，即是滿射．于是是雙射．『特別提醒』由此結(jié)論可知線性空間上的可逆映射是到自身的同構(gòu)．6．設(shè)是線性空間的一組基，是上的線性變換，證明可逆當(dāng)且僅當(dāng)線性無關(guān)．反之，若是線性無關(guān)的，那么也是的一組基．于是，根據(jù)教材中的定理1，存在唯一的線性變換，使得，．顯然，，．再根據(jù)教材中的定理1知，．所以是可逆的．證法2設(shè)在基下的矩陣為，即．由教材中的定理2可知，可逆的充要條件是矩陣可逆．因此，如果是可逆的，那么矩陣可逆，從而也是的一組基，即是線性無關(guān)的．反之，如果是線性無關(guān)，從而是的一組基，且是從基到的過渡矩陣，因此是可逆的．所以是可逆的線性變換．『方法技巧』方法1利用了上一題的結(jié)論及教材中的定理1構(gòu)造的逆變換；方法2借助教材中的定理2，將線性變換可逆轉(zhuǎn)化成了矩陣可逆．9．設(shè)三維線性空間上的線性變換在基下的矩陣為．1）求在基下的矩陣；2）求在基下的矩陣，其中且；3）求在基下的矩陣．『解題提示』可以利用定義直接寫出線性變換的矩陣，也可以借助同一個線性變換在兩組不同基下的矩陣是相似的進行求解．解1）由于故在基下的矩陣為．2）由于，，故在基下的矩陣為．『方法技巧』根據(jù)線性變換的矩陣的定義，直接給出了1）和2）所求的矩陣；3）借助了過渡矩陣，利用相似矩陣得到了所求矩陣．事實上，這三個題目都可以分別用兩種方法求解．10．設(shè)是線性空間上的線性變換，如果，但，求證：（）線性無關(guān)．用作用于上式，得，但，因此．于是，再用作用上式，同樣得到．依此下去，可得．從而線性無關(guān)．16．證明：與相似，其中是的一個排列．『解題提示』利用同一個線性變換在不同基下的矩陣是相似的或直接相似的定義．證法1設(shè)是一個維線性空間，且是的一組基．另外，記，．于是，在基下，矩陣對應(yīng)的一個線性變換，即．從而，．又因為也是的一組基，且故與相似．證法２設(shè)與．對交換兩行，再交換兩列，相當(dāng)于對左乘和右乘初等矩陣和，而即為將中的和交換位置得到的對角矩陣．于是，總可以通過這樣的一系列的對調(diào)變換，將的主對角線上的元素變成，這也相當(dāng)于存在一系列初等矩陣，使得，令，則有，即與相似．『方法技巧』證法１利用同一個線性變換在不同基下的矩陣是相似的這一性質(zhì)；證法２利用了矩陣的相似變換，直接進行了證明．17．如果可逆，證明與相似．證明由于可逆，故存在．于是，因此，根據(jù)相似的定義可知與相似．19．求復(fù)數(shù)域上線性變換空間的線性變換的特征值與特征向量．已知在一組基下的矩陣為：1）；4）；5）．解1）設(shè)在給定基,下的矩陣為．由于的特征多項式為，，其中為任意非零常數(shù)．當(dāng)時，方程組，即為解得它的基礎(chǔ)解系為，從而的屬于特征值的全部特征響向量為，其中為任意非零常數(shù)．4）設(shè)在給定基下的矩陣為，由于的特征多項式為，故的特征值為，，．當(dāng)時,方程組，即為求得其基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值2的全部特征向量為其中為任意非零常數(shù)．當(dāng)時,方程組，即為求得其基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值的全部特征向量為其中為任意非零常數(shù)．當(dāng)時，方程組，即為故的特征值為（二重），．當(dāng)時，方程組，即為求得其基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值1的全部特征向量為其中為任意不全為零的常數(shù)．當(dāng)時，方程組，即為求得其基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值的全部特征向量為，其中為任意非零常數(shù)．『方法技巧』求解一個線性變換的特征值即求其矩陣的特征多項式的根，再對每個根求得所對應(yīng)的特征向量，但一定要注意表達成基向量的線性組合形式．24．1）設(shè)是線性變換的兩個不同特征值，是分別屬于的特征向量，證明：不是的特征向量；2）證明：如果線性空間的線性變換以中每個非零向量作為它的特征向量，那么是數(shù)乘變換．證明1）反證法．假設(shè)是屬于特征值的特征向量，即．再根據(jù)是屬于不同特征值的特征向量，從而是線性無關(guān)性，因此，即．這與矛盾．所以不是的特征向量．2）設(shè)是的一組基，則它們也是的個線性無關(guān)的特征向量，不妨設(shè)它們分別屬于特征值，即，．根據(jù)1）即知．否則，若，那么，且不是的特征向量，這與中每個非零向量都是它的特征向量矛盾．所以，對于任意的，都有，即是數(shù)乘變換．25．設(shè)是復(fù)數(shù)域上的維線性空間，是上的線性變換，且．證明：1）如果是的一個特征值，那么是的不變子空間；2）至少有一個公共的特征向量．證明1）設(shè)，則，于是，由題設(shè)知，因此