第十一章非參數(shù)檢驗(yàn)

第十一章非參數(shù)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的方法有兩種：參數(shù)檢驗(yàn)（parametrictest）和非參數(shù)檢驗(yàn)（non–parametrictest）。各種參數(shù)檢驗(yàn)的共同特點(diǎn)：是對(duì)總體參數(shù)的推論(包括參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn))，要求樣本所屬的總體呈正態(tài)分布、總體方差齊性等等。參數(shù)檢驗(yàn)主要適用于等距變量和比率變量的資料。非參數(shù)檢驗(yàn):不要求樣本所屬的總體呈正態(tài)分布，一般也不是對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。非參數(shù)檢驗(yàn)不僅適用于非正態(tài)總體名義變量和次序變量的資料，而且也適用于正態(tài)總體等距變量和比率變量的資料。非參數(shù)檢驗(yàn)的特點(diǎn)1．一般不需要嚴(yán)格的前提假設(shè)。2．非參數(shù)檢驗(yàn)特別適用于順序資料或等級(jí)變量。3．非參數(shù)檢驗(yàn)適用于小樣本，且方法簡單。4．非參數(shù)檢驗(yàn)最大的不足是未能充分利用資料的全部信息,檢驗(yàn)精度比參數(shù)檢驗(yàn)要差。5．非參數(shù)方法目前還不能處理“交互作用”。

非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)方法兩獨(dú)立樣本均值差異的非參數(shù)檢驗(yàn)秩和檢驗(yàn)法(Mann-Whitney-U檢驗(yàn))兩相關(guān)樣本均值差異的非參數(shù)檢驗(yàn)符號(hào)檢驗(yàn)法符號(hào)秩和檢驗(yàn)法（WilcoxonSigned–Ranktest）等級(jí)方差分析克-瓦氏單向方差分析（完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析）Friedmantest（重復(fù)測(cè)量設(shè)計(jì)方差分析）一、兩獨(dú)立樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)

秩和檢驗(yàn)（Mann-Whitney-U檢驗(yàn)）最早是由Wilcox提出，后經(jīng)Mann-Whitney加以完善。適合于相互獨(dú)立的兩個(gè)樣本在總體分布不服從正態(tài)分布的前提下，比較其平均值是否存在顯著差異的問題（對(duì)應(yīng)于獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)）。例：從某班隨機(jī)抽取5名走讀生和6名住校生，測(cè)得英語口語成績見下表。問走讀生與住校生英語口語成績是否有顯著差異？

走讀生與住校生英語口語測(cè)驗(yàn)成績走讀生4238354132住校生561960433855基本思想假設(shè)兩組數(shù)據(jù)沒有顯著性差異，那把這些數(shù)據(jù)充分混合再依大小順序重新排列，則這兩組數(shù)據(jù)中哪個(gè)數(shù)據(jù)排在第幾的概率應(yīng)該是一樣的。如果相差太大則應(yīng)否定沒有顯著差異的假設(shè)。秩和檢驗(yàn)1.小樣本情況

n1和n2都小于10，且n1≤n2時(shí)，將兩個(gè)樣本的數(shù)據(jù)合在一起編秩次（從小到大賦予等級(jí)），計(jì)算容量小的樣本的秩次和T（等級(jí)和）。

走讀生與住校生英語口語測(cè)驗(yàn)成績走讀生4238354132住校生561960433855

學(xué)生英語口語測(cè)驗(yàn)成績秩和檢驗(yàn)計(jì)算表原始分?jǐn)?shù)走讀生4238354132住校生561960433855等級(jí)分?jǐn)?shù)走讀生74.5362住校生1011184.59Ｔ＝22.5檢驗(yàn)步驟①提出假設(shè)②編秩次（將兩樣本數(shù)據(jù)混合在一起）③求秩和（求容量較小的樣本的秩次和，并表示為Ｔ）④查秩和檢驗(yàn)表14，做出統(tǒng)計(jì)決斷：

秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則T與兩側(cè)臨界值比較

顯著性

T1＜Ｔ

＜Ｔ2

不顯著Ｔ

≤

Ｔ1或Ｔ≥Ｔ2顯著Ｔ＝22.5例：從某班隨機(jī)抽取5名走讀生和6名住校生，測(cè)得英語口語成績見下表。問走讀生與住校生英語口語成績是否有顯著差異？

走讀生與住校生英語口語測(cè)驗(yàn)成績走讀生4238354132住校生561960433855

學(xué)生英語口語測(cè)驗(yàn)成績秩和檢驗(yàn)計(jì)算表原始分?jǐn)?shù)走讀生4238354132住校生561960433855等級(jí)分?jǐn)?shù)走讀生74.5362住校生1011184.59Ｔ＝22.5根據(jù)n1＝5，n2＝6查表當(dāng)顯著性水平為0.05(雙側(cè))時(shí)，Ｔ1＝19，T2＝41差異不顯著。2．大樣本情況

當(dāng)n1和n2都大于10，秩和T的分布接近于正態(tài)分布，其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

n1≤n2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算為小結(jié)秩和檢驗(yàn)法（Mann-Whitney-U檢驗(yàn)），針對(duì)的是兩獨(dú)立樣本。如果樣本的數(shù)據(jù)不能滿足參數(shù)檢驗(yàn)中獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的要求（正態(tài)總體，方差未知），可以用這種方法進(jìn)行差異檢驗(yàn)，但檢驗(yàn)精度比參數(shù)檢驗(yàn)要差。二、兩相關(guān)樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)兩相關(guān)樣本的數(shù)據(jù)是一一對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)，因此相關(guān)樣本又稱為配對(duì)樣本。符號(hào)檢驗(yàn)法符號(hào)秩和檢驗(yàn)又稱為WilcoxonSigned–Ranktest，也簡稱為Wilcoxontest。1．符號(hào)檢驗(yàn)法符號(hào)檢驗(yàn)法（signtest）以每一對(duì)數(shù)據(jù)之差的正負(fù)符號(hào)的數(shù)目進(jìn)行檢驗(yàn)。檢驗(yàn)思想是：如果兩樣本沒有顯著性差異，則兩樣本中每一對(duì)數(shù)據(jù)之差所得的正號(hào)與負(fù)號(hào)的數(shù)目應(yīng)大致相當(dāng)。實(shí)際應(yīng)用中，遇到無法用數(shù)字描述的問題，符號(hào)檢驗(yàn)法是一種簡單而有效的檢驗(yàn)方法。

例1：將三歲幼兒經(jīng)過配對(duì)而成的實(shí)驗(yàn)組施以五種顏色命名的教學(xué)，而對(duì)照組不施以教學(xué)，后期測(cè)驗(yàn)得分見下表。問進(jìn)行教學(xué)與不進(jìn)行教學(xué)，幼兒對(duì)顏色命名的成績是否有顯著差異？

關(guān)于五種顏色命名得分的測(cè)驗(yàn)結(jié)果序號(hào)123456789101112實(shí)驗(yàn)組X1182026142525211214172019對(duì)照組X21320241027172181511622⑴．小樣本情況(N≤25)

檢驗(yàn)步驟①．提出假設(shè)②．觀察每一對(duì)數(shù)據(jù)的差數(shù)并記符號(hào)③．分別將正號(hào)和負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)記為n+和n-，0不計(jì)。④．將n+和n-較小的一個(gè)記為r,并計(jì)算N＝n+＋n-⑤．確定檢驗(yàn)形式，查表15并做出統(tǒng)計(jì)決斷，若r大于臨界值，則表示兩組差異無統(tǒng)計(jì)意義。

單側(cè)符號(hào)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則r與臨界值比較

P值

顯著性

檢驗(yàn)結(jié)果

r

＞r

0.05

P＞0.05不顯著在0.05顯著性水平保留H0，拒絕H1r0.01＜

r

≤r0.050.05≥P＞0.01顯著＊在0.05顯著性水平拒絕H0，接受H1r

≤

r0.01P≤0.01極其顯著＊＊在0.01顯著性水平拒絕H0，接受H1例1：將三歲幼兒經(jīng)過配對(duì)而成的實(shí)驗(yàn)組施以五種顏色命名的教學(xué)，而對(duì)照組不施以教學(xué)，后期測(cè)驗(yàn)得分見下表。問進(jìn)行教學(xué)與不進(jìn)行教學(xué)，幼兒對(duì)顏色命名的成績是否有顯著差異？

關(guān)于五種顏色命名得分的測(cè)驗(yàn)結(jié)果序號(hào)123456789101112實(shí)驗(yàn)組X1182026142525211214172019對(duì)照組X21320241027172181511622

關(guān)于五種顏色命名得分的符號(hào)檢驗(yàn)計(jì)算表序號(hào)123456789101112實(shí)驗(yàn)組X1182026142525211214172019對(duì)照組X21320241027172181511622差數(shù)符號(hào)+0++-+0+-++-計(jì)算：n+=7，n-=3，因此

N=n++n-=10，r=3查表：

N=10時(shí)，r0.05=1，本題r=3，差異不顯著練習(xí)研究者想調(diào)查特殊訓(xùn)練是否可以提高領(lǐng)導(dǎo)力，取了兩組智力相當(dāng)?shù)谋辉囘M(jìn)行匹配，其中一組進(jìn)行特殊訓(xùn)練，一組不進(jìn)行訓(xùn)練，問：受過特殊訓(xùn)練的被試的領(lǐng)導(dǎo)力是否優(yōu)于沒有受過訓(xùn)練的被試。組別實(shí)驗(yàn)組控制組1474024338336424332553029622267251682118914810124115712931355計(jì)算：n+=9，n-=3，因此

N=n++n-=12，r=3查表：

N=12時(shí)，r0.05=2，本題r=3，差異不顯著⑵．大樣本情況(N＞25)n+與n-服從二項(xiàng)分布，大樣本時(shí)，由于二項(xiàng)分布接近于正態(tài)分布，可用Ｚ作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，采用正態(tài)近似法。附表中的數(shù)據(jù)雖然可滿足N從1到90的情況，但在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)N＞25時(shí)常常使用正態(tài)近似法。

在零假設(shè)條件下，二項(xiàng)分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為

N＝n+＋n-為了使計(jì)算結(jié)果更接近正態(tài)分布，可用校正公式計(jì)算：

統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：

N＝n+＋n-min(n+，n-)例2：32人的射擊小組經(jīng)過三天集中訓(xùn)練，訓(xùn)練后與訓(xùn)練前測(cè)驗(yàn)成績見下表。問三天的集中訓(xùn)練有無顯著效果？

集訓(xùn)前后成績序號(hào)前測(cè)后測(cè)序號(hào)前測(cè)后測(cè)序號(hào)前測(cè)后測(cè)序號(hào)前測(cè)后測(cè)

142409606417504425203623835104739182526266042353561112151963592751444494112323020453728282352421136561213932293430654601448582248533062687433415545223665631606085140166258245754324945計(jì)算n+＝22，n-＝9，N＝n++n-＝31，r＝92.符號(hào)等級(jí)檢驗(yàn)（符號(hào)秩和檢驗(yàn))

（1）小樣本情況(N≤25)

當(dāng)N≤25時(shí)，用查表法進(jìn)行符號(hào)等級(jí)檢驗(yàn):①．提出假設(shè)：②．求差數(shù)的絕對(duì)值③．編秩次(賦予每一對(duì)數(shù)據(jù)差數(shù)的絕對(duì)值等級(jí)數(shù))。④．添符號(hào)(給每一對(duì)數(shù)據(jù)差數(shù)的等級(jí)分?jǐn)?shù)添符號(hào))⑤．求等級(jí)和（分正、負(fù)求等級(jí)和，將小的記為Ｔ）⑥．查符號(hào)等級(jí)檢驗(yàn)表16，做出統(tǒng)計(jì)決斷，若T大于臨界值，則表示兩組差異無統(tǒng)計(jì)意義。

符號(hào)等級(jí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則T與臨界值比較

P值

顯著性

檢驗(yàn)結(jié)果

Ｔ

＞Ｔ0.05

P＞0.05不顯著在0.05顯著性水平保留H0，拒絕H1Ｔ0.01＜Ｔ≤Ｔ

0.050.05≥P＞0.01顯著＊在0.05顯著性水平拒絕H0，接受H1Ｔ

≤

Ｔ0.01P≤0.01極其顯著＊＊在0.01顯著性水平拒絕H0，接受H1例：將三歲幼兒經(jīng)過配對(duì)而成的實(shí)驗(yàn)組施以五種顏色命名的教學(xué)，而對(duì)照組不施以教學(xué)，后期測(cè)驗(yàn)得分見下表。問進(jìn)行教學(xué)與不進(jìn)行教學(xué)，幼兒對(duì)顏色命名的成績是否有顯著差異？

關(guān)于五種顏色命名得分的測(cè)驗(yàn)結(jié)果序號(hào)123456789101112實(shí)驗(yàn)組X1182026142525211214172019對(duì)照組X21320241027172181511622關(guān)于五種顏色命名得分的符號(hào)檢驗(yàn)計(jì)算表序號(hào)123456789101112實(shí)驗(yàn)組X1182026142525211214172019對(duì)照組X21320241027172181511622計(jì)算：T＋=47.5，T－=7.5，因此

T=7.5查表16：

N=10時(shí)(差數(shù)為0不計(jì))，T0.05=8，差異顯著差數(shù)5024280416143等級(jí)72.55.52.595.518104添符號(hào)+++–++–++–練習(xí)某年級(jí)隨機(jī)抽取英語成績相當(dāng)?shù)?名男生和8名女生分別進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練，訓(xùn)練后的成績?nèi)缦卤硭?，該方法?duì)男女生效果相同么？匹配組女生男生1141221310311104121251513610127131181514N=7T＋=23.5，T－=4.5，因此

T=4.5查表16：

N=7時(shí)(差數(shù)為0不計(jì))，T0.05=2，差異不顯著（2）．大樣本情況(N＞25)當(dāng)N>25時(shí)，等級(jí)和的分布接近于正態(tài)分布，因此有例：32人的射擊小組經(jīng)過三天集中訓(xùn)練，訓(xùn)練后與訓(xùn)練前測(cè)驗(yàn)成績見下表。問三天的集中訓(xùn)練有無顯著效果？集訓(xùn)前后成績計(jì)算表序號(hào)前測(cè)后測(cè)序號(hào)前測(cè)后測(cè)序號(hào)前測(cè)后測(cè)序號(hào)前測(cè)后測(cè)

142409606417504425203623835104739182526266042353561112151963592751444494112323020453728282352421136561213932293430654601448582248533062687433415545223665631606085140166258245754324945計(jì)算Ｔ+＝356.5

Ｔ-＝139.5

因此,Ｔ＝139.5，N＝31符號(hào)檢驗(yàn)、符號(hào)等級(jí)檢驗(yàn)法（WilcoxonSigned–Ranktest），針對(duì)的是相關(guān)樣本。如果樣本的數(shù)據(jù)不能滿足參數(shù)檢驗(yàn)中相關(guān)樣本t檢驗(yàn)的要求，可以用這兩種方法進(jìn)行差異檢驗(yàn)，但檢驗(yàn)精度比參數(shù)檢驗(yàn)要差。小結(jié)三、等級(jí)方差分析

方差分析前提條件：“總體正態(tài)”、“方差齊性”、“獨(dú)立性”數(shù)據(jù)類型：連續(xù)型測(cè)量數(shù)據(jù)等級(jí)方差分析克-瓦氏單向等級(jí)方差分析弗里德曼雙向等級(jí)方差分析

1．克-瓦氏單向等級(jí)方差分析又稱為克-瓦氏Ｈ檢驗(yàn)法（Kruskal–WallisH）用于對(duì)多組獨(dú)立樣本進(jìn)行分析，對(duì)應(yīng)于參數(shù)檢驗(yàn)法中的完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析。

例：三個(gè)小組圖畫成績見下表，問三組成績是否有顯著差異？

三個(gè)小組圖畫成績計(jì)算表序號(hào)原始分?jǐn)?shù)甲乙丙162458527760793687882454567657062合計(jì)Ｎ＝5＋5＋4＝14基本分析過程：

將多組樣本數(shù)據(jù)合在一起編秩次（從小到大賦予等級(jí)）計(jì)算各組樣本的等級(jí)和Ｒi代入統(tǒng)計(jì)量公式計(jì)算Ｈ查統(tǒng)計(jì)表17做出統(tǒng)計(jì)結(jié)論

統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式為公式中，N為各組頻數(shù)總和，ni為各組樣本容量，

Ri為各組數(shù)據(jù)秩次和。

統(tǒng)計(jì)決斷方法

⑴．樣本容量較小或組數(shù)較少情況當(dāng)各組的容量n≤5，樣本組數(shù)k=3，可查Ｈ檢驗(yàn)表，根據(jù)相應(yīng)的樣本容量找出概率值。（p≤0.05時(shí)差異顯著）例：三個(gè)小組圖畫成績見下表，問三組成績是否有顯著差異？

三個(gè)小組圖畫成績計(jì)算表等級(jí)分?jǐn)?shù)甲乙丙5.5114104127111323985.5R1=32.5R2=24.5R3=48序號(hào)原始分?jǐn)?shù)甲乙丙162458527760793687882454567657062合計(jì)Ｎ＝5＋5＋4＝14計(jì)算根據(jù)k＝3，n1＝5，n2＝5，n3＝4

查表判斷⑵．樣本容量較大或組數(shù)較多情況

當(dāng)各組容量n＞5，或者樣本組數(shù)k＞3時(shí)，查自由度df＝k－1的χ2分布表，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)決斷。2．弗里德曼雙向等級(jí)方差分析

弗里德曼雙向等級(jí)方差分析（Friedmantest）用于多組相關(guān)樣本，是重復(fù)測(cè)量實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的非參數(shù)檢驗(yàn)?；痉治鲞^程：

將每名被試（每一區(qū)組）的K個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列