線性代數(shù)習題課1

第一章行列式主要內(nèi)容典型例題邵建峰劉彬等設(shè)計制作習題課I1.n階行列式的定義并且規(guī)定其值為：

1）當n=1時，D=叫做n階行列式（Determinant），2）當n2時，D=其中

為行列式D的元素

的為行列式D的元素

并稱

的

余子式，

代數(shù)余子式。

=2.n階行列式的性質(zhì)行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。

性質(zhì)1互換行列式中兩行(列)，行列式值變號。

性質(zhì)2行列式中的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式，即性質(zhì)3如果行列式中某行(列)的各元素都是兩數(shù)之和，則這個行列式等于兩個行列式之和。性質(zhì)4即把行列式的某一行(列)的元素的k(k∈R)倍加到另一行(列)上去，行列式的值不變。

性質(zhì)5

即×K行列式的某一行(列)的元素與另一行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，性質(zhì)6即3.行列式的展開其中對行列式的列來說也有同樣的性質(zhì)。4克萊姆(Cramer)法則定理1

（克萊姆法則）

如果線性方程組的系數(shù)行列式，則方程組有唯一解……推論齊次線性方程組有非零解的充分必要條件：其系數(shù)行列式

。一、計算（證明）行列式二、克萊姆法則及其應(yīng)用典型例題１.用定義計算例1

用行列式定義計算一、計算（證明）行列式若用行列式定義計算展開該行列式，則其每一項為都由來自于不同行、不同列的5個元素的乘積。而該行列式中，只有兩行與兩列的元素不是零，所以展開式的每一項至少包含有一個零元素，從而行列式的值等于零。解若將函數(shù)定義式中的4階行列式按行列式定已知4次多項式函數(shù)

試求多項式函數(shù)中項的系數(shù)；

例2解

義展開，則第一行第一個元素的代數(shù)余子式是的三次式，而且這個代數(shù)余子式的展開式中而行列式第一行第二個元素的代數(shù)余子式?jīng)]有的二次項；代數(shù)余子式中顯然均不含項。所以多項式函數(shù)中項的系數(shù)是–1。

是的二次式，項的系數(shù)為-1；又行列式第一行的其它兩個元素（為常數(shù)）的２.利用行列式性質(zhì)與相關(guān)結(jié)論例3計算

對這個行列式，我們下面將用多種不同的方法來計算它的值。再將上述行列式第一列的-a2到-an倍加到從第2列到第n列的各列上去，有解法一（相加法）注意到行列式各行所有元素之和是相等的，我們首先把原行列式的所有各列加到第一列上去，并提取公因式，即有這樣就化成了上三角行列式。易得第2列到第n列每一列的1倍都加到第一列上去，就有解法二（相減法）我們再將原行列式的第一行的-1倍加到其它各行上去，即有這樣就化成了爪型行列式。再將上述行列式從結(jié)論相同。并將它按行列式性質(zhì)4進行分解，可得下列遞推式解法三（分解與遞推法）我們把原行列式的作如下變形反復(fù)使用這個遞推式，就有用所增加的第一行的-1倍加到其它各行，有解法四（加邊法）我們再將原行列式增加1行1列，得當m=0時，顯然行列式D=0；而當m≠0時，再這樣同樣就化成了爪型行列式。加到第一列上去，就有將上述行列式從第二列到第n列每一列的倍都也得到相同的結(jié)論。本題利用行列式的性質(zhì)，采用1）相加法；2）相減法；3）分解與遞推法；4）加邊法。等等將原行列式化為了上三角行列式或爪型行列式，然后再通過適當變形去計算行列式的值。雖然問題本身相對比較簡單，但這些求行列式值的方法是常用的，因而值得去研究它。評注：

例4計算解把行列式的各行加到第一行上去，并提取出公因式，則有再將第二列、第三列、第四列減去第一列，有按第1行展開，得把上面右端行列式第2行加到第1行，再從第1行中提取公因子，得再將第二列減去第一列，得于是本題是利用行列式的性質(zhì)，將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低

1階。如此，直到行列式能直接計算出來為止。這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用。此外，如果你了解Matlab編程計算的方法，求解本題則非常簡便。評注：例5證明２.用數(shù)學歸納法證明證對階數(shù)n用數(shù)學歸納法。因為于是對階數(shù)n=1，2的行列式結(jié)論成立；現(xiàn)在假設(shè)對小于n階的行列式結(jié)論成立。下面證明對n階的行列式結(jié)論也成立。事實上，將原行列式按第n行展開，則有由歸納法假設(shè)所以綜上，結(jié)論得證。

例6設(shè)已知n行列式求第一行各元素的代數(shù)余子式之和，即3.其它方法解作下列n行列式則由行列式定義，第一行各元素的代數(shù)余子式之和，即把行列式第二列的-1/2倍，…，第n列的-1/n倍統(tǒng)統(tǒng)加到第一列上去，即得克萊姆法則最直接的是解決方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等、且系數(shù)行列式不等于零的線性方程組的求解問題，實際上克萊姆法則應(yīng)用更廣泛。二、克萊姆法則例7

求三次多項式

使得，，，，并作出其圖形。解這樣的問題我們一般稱之為多項式插值與

這是一個關(guān)于4個未知量的線性方程