數(shù)字信號處理詳解

第2章時域離散信號和時域離散系統(tǒng)2.1引言2.2連續(xù)時間信號的取樣及取樣定理2.3離散時間信號的表示及運(yùn)算規(guī)則2.4離散時間線性非時變系統(tǒng)與差分方程2.5離散時間信號和系統(tǒng)的頻域分析2.1引言

數(shù)字信號處理系統(tǒng)的分析方法是先對取樣信號及系統(tǒng)進(jìn)行分析，然后再對幅度上量化及實現(xiàn)過程中有限字長所造成的影響進(jìn)行考慮，因此，離散時間信號和系統(tǒng)理論是數(shù)字信號處理的理論基礎(chǔ)。

本章作為全書的基礎(chǔ)，主要學(xué)習(xí)一維離散時間信號的表示方法、線性時不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性，以及離散時間系統(tǒng)的時域和頻域分析方法。2.2連續(xù)時間信號的取樣及取樣定理

在緒論中已介紹了數(shù)字信號處理技術(shù)相對于模擬信號處理技術(shù)的許多優(yōu)點(diǎn)，因此人們往往希望將模擬信號經(jīng)過采樣和量化編碼形成數(shù)字信號，再采用數(shù)字信號處理技術(shù)進(jìn)行處理；處理完畢，如果需要，再轉(zhuǎn)換成模擬信號，這種處理方法稱為模擬信號數(shù)字處理方法。其原理框圖如圖1所示。本節(jié)主要介紹采樣定理和采樣恢復(fù)。圖1模擬信號數(shù)字處理框圖

對模擬信號進(jìn)行采樣可以看作一個模擬信號通過一個電子開關(guān)S。設(shè)電子開關(guān)每隔周期T合上一次，每次合上的時間為τ<<T，在電子開關(guān)輸出端得到其采樣信號。一、信號的取樣

令代表輸入的連續(xù)時間信號，是幅度為1重復(fù)周期為T寬度為τ的周期取樣脈沖，則取樣信號可表示為：圖2對模擬信號進(jìn)行采樣

上式中δ(t)是單位沖激信號，在上式中只有當(dāng)t=nT時，才可能有非零值，因此寫成下式：

(2-3)(2-4)(2-2)理想沖激取樣信號二、取樣定理

對連續(xù)時間信號取樣所得的離散時間信號能否代表并恢復(fù)成原始信號？如能恢復(fù)，應(yīng)具備那些條件？

我們知道在傅里葉變換中，兩信號在時域相乘的傅里葉變換等于兩個信號分別的傅里葉變換的卷積，按照(2-4)式，推導(dǎo)如下：

按照(2-2)式，可用傅里葉級數(shù)展開：

Ωs=2π/T，稱為采樣角頻率，單位是弧度/秒，(2-5)(2-9)設(shè)xa(t)是帶限信號，最高截止頻率為Ωc，其頻譜Xa(jΩ)如圖3(a)所示。一個連續(xù)時間信號經(jīng)過理想取樣后頻譜發(fā)生了兩個變化：1、幅度乘以1/T2、出現(xiàn)了以為中心的和形狀完全一樣的頻譜，即頻譜產(chǎn)生了周期延拓結(jié)論：時域的取樣，形成頻域的周期函數(shù)。11/T1/T（1）采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜以Ωs為周期，進(jìn)行周期性延拓而成的。（2）頻譜幅度是原信號頻譜幅度的1/T倍。（3）若信號的最高頻率則延拓分量產(chǎn)生頻譜混疊奈奎斯特抽樣定理要想抽樣后能夠不失真地還原出原信號，則抽樣頻率必須大于兩倍信號譜的最高頻率:一般?。豪硐肴有盘柸?、折疊頻率與奈奎斯特頻率折疊頻率的定義：系統(tǒng)所能通過的信號頻譜分量中的最高頻率奈奎斯特頻率的定義：信號中最高頻率四、信號的恢復(fù)(2-10)

圖4采樣恢復(fù)五、取樣內(nèi)插公式

下面由(2-10)式表示的低通濾波器的傳輸函數(shù)H(jΩ)推導(dǎo)其單位沖激響應(yīng)h(t)：

因為Ωs=2πfs=2π/T，因此h(t)也可以用下式表示：(2-13)

根據(jù)卷積公式可求得理想取樣信號通過低通濾波器的輸出為：(2-14)(2-15)內(nèi)插公式2-3離散時間信號的表示及運(yùn)算規(guī)則

對模擬信號xa(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到這里n取整數(shù)。為簡化，采樣間隔可以不寫，形成x(n)信號，稱為序列。

需要說明的是，這里n取整數(shù)，非整數(shù)時無定義，另外，在數(shù)值上它等于信號的采樣值，即

x(n)=xa(nT)，-∞＜n＜∞一、序列的表示法：二、序列的運(yùn)算在數(shù)字信號處理中，序列有下面幾種運(yùn)算，它們是乘法、加減法、移位、翻轉(zhuǎn)及尺度變換。

1.乘法和加減法序列之間的乘法和加減法，是指它的同序號的序列值逐項對應(yīng)相乘和相加減。

2.序列的標(biāo)乘序列的標(biāo)乘表示序列x的每個取樣值同乘以數(shù)A，即：

y(n)=Ax(n)3.序列的延時（移位）：序列x(n)，當(dāng)m>0時x(n-m)：延時/右移m位x(n+m)：超前/左移m位4.分支運(yùn)算：一個信號同時加到系統(tǒng)中兩個或更多點(diǎn)的過程。三、常用的典型序列

1.單位采樣序列單位采樣序列也可以稱為單位脈沖序列，特點(diǎn)是僅在n=0時取值為1，其它均為零。它類似于模擬信號和系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0時，取值無窮大，t≠0時取值為零，對時間t的積分為1。單位采樣序列和單位沖激信號如圖所示。

圖單位采樣序列和單位沖激信號(a)單位采樣序列；(b)單位沖激信號

2.單位階躍序列u(n)

單位階躍序列如圖所示。它類似于模擬信號中的單位階躍函數(shù)u(t)。δ(n)與u(n)之間的關(guān)系如下式所示：

δ(n)=u(n)-u(n-1)

3.矩形序列RN(n)1,0≤n≤N-10，其它n

上式中N稱為矩形序列的長度。當(dāng)N=4時，R4(n)的波形如圖所示。矩形序列可用單位階躍序列表示，如下式：RN(n)=

4.正弦序列

式中ω稱為正弦序列的數(shù)字域頻率，它表示序列變化的速率，或者說表示相鄰兩個序列值之間變化的弧度數(shù)。如果正弦序列是由模擬信號xa(t)采樣得到的，那么

xa(t)=sin(Ωt)xa(t)|t=nT=sin(ΩnT)x(n)=sin(ωn)數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關(guān)系為

ω=ΩT(2-18)

5.實指數(shù)序列

x(n)=anu(n)，a為實數(shù)如果|a|<1，x(n)的幅度隨n的增大而減小，稱x(n)為收斂序列；如|a|>1，則稱為發(fā)散序列。其波形如圖所示。

6.復(fù)指數(shù)序列

x(n)=e(σ+jω0)n

式中ω0為數(shù)字域頻率，設(shè)σ=0，用實部虛部表示如下式：

x(n)=eσncos(ω0n)+jeσnsin(ω0n)

四、序列的周期性任何離散時間信號總可以分為周期信號和非周期信號，如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：

x(n)=x(n+N),-∞<n<∞

則稱序列x(n)為周期性序列，周期為N，注意N要取整數(shù)。如果x1(n)的周期為N1，x2(n)的周期為N2，則x(n)=x1(n)+x2(n)的周期為：

以上介紹了幾種常用的典型序列，對于任意序列，常用單位采樣序列的移位加權(quán)和表示，即(2-19)式中δ(n-m)=1,n=m0，n≠m五、用加權(quán)延時單位取樣序列的線性組合表示任意序列

這種任意序列的表示方法，在信號分析中是一個很有用的公式。例如：x(n)的波形如圖所示，可以用(2-19)式表示成：

x(n)=-2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+1.5δ(n-2)-δ(n-4)+2δ(n-5)+δ(n-6)六、序列的能量序列的能量定義為序列各取樣值的平方和，即2-4離散時間線性非時變系統(tǒng)與差分方程一、離散時間線性非時變系統(tǒng)及卷積運(yùn)算離散時間系統(tǒng)設(shè)離散時間系統(tǒng)的輸入為x(n)，經(jīng)過規(guī)定的運(yùn)算，系統(tǒng)輸出序列用y(n)表示。設(shè)運(yùn)算關(guān)系用T［·］表示，輸出與輸入之間關(guān)系用下式表示：

y(n)=T［x(n)］其框圖如圖所示。線性系統(tǒng)滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。

設(shè)x1(n)和x2(n)分別作為系統(tǒng)的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即

y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］那么線性系統(tǒng)一定滿足下面兩個公式：

T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］

=ay1(n)+by2(n)(2-20)說明兩個序列分別乘以一因子相加后進(jìn)行變換，等于分別變換后乘以相應(yīng)因子的和

。即滿足比例性和疊加性。

例y(n)=ax(n)+b(a和b是常數(shù))，所代表的系統(tǒng)是否是線性系統(tǒng)？解：y1(n)=T［x1(n)］=ax1(n)+by2(n)=T［x2(n)］=ax2(n)+by(n)=T［x1(n)+x2(n)］=ax1(n)+ax2(n)+by1(n)+y2(n)=ax1(n)+ax2(n)+2by(n)≠y1(n)+y2(n)

因此，該系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。時不變系統(tǒng)如果系統(tǒng)對輸入信號的運(yùn)算關(guān)系T［·］在整個運(yùn)算過程中不隨時間變化，或者說系統(tǒng)對于輸入信號的響應(yīng)與信號加于系統(tǒng)的時間無關(guān)，則這種系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)，用公式表示如下：若y(n)=T［x(n)］則y(n-k)=T［x(n-k)］

例檢查y(n)=ax(n)+b代表的系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)，上式中a和b是常數(shù)。解y(n)=ax(n)+by(n-n0)=ax(n-n0)+by(n-n0)=T［x(n-n0)］因此該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。

單位取樣響應(yīng)設(shè)系統(tǒng)的輸入x(n)=δ(n)，系統(tǒng)輸出y(n)的初始狀態(tài)為零，定義這種條件下系統(tǒng)輸出稱為系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，用h(n)表示。用公式表示為

h(n)=T［δ(n)］

h(n)和模擬系統(tǒng)中的h(t)單位沖激響應(yīng)相類似，都代表系統(tǒng)的時域特征。

線性時不變系統(tǒng)：

h(n-k)=T［δ(n-k)］

根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)又根據(jù)時不變性質(zhì)

設(shè)系統(tǒng)的輸入用x(n)表示，按照(2-19)式表示成單位采樣序列移位加權(quán)和為(2-23)線性時不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)的線性卷積系統(tǒng)輸出與單位取樣響應(yīng)的關(guān)系：三、系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性

因果性：物理可實現(xiàn)性

如果系統(tǒng)n時刻的輸出，只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而和n時刻以后的輸入序列無關(guān)，則稱該系統(tǒng)具有因果性質(zhì)，或稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。線性時不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足下式：

h(n)=0，n<0(2-25)

穩(wěn)定性：所謂穩(wěn)定系統(tǒng)，是指系統(tǒng)有界輸入，系統(tǒng)輸出也是有界的。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)絕對可和，用公式表示為(2-24)結(jié)論：因果穩(wěn)定的LSI系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)是因果的，且是絕對可和的，即：

例設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)=anu(n)，式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解由于n<0時，h(n)=0，所以系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。只有當(dāng)|a|<1時

因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是|a|<1；否則，|a|≥1時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。四、離散時間系統(tǒng)的輸入輸出描述法——

線性常系數(shù)差分方程

描述一個系統(tǒng)，可以不管系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)如何，將系統(tǒng)看成一個黑盒子，只描述或者研究系統(tǒng)輸出和輸入之間的關(guān)系，這種方法稱為輸入輸出描述法。對于模擬系統(tǒng)，我們知道由微分方程描述系統(tǒng)輸出輸入之間的關(guān)系。對于離散時間系統(tǒng)，則用差分方程描述或研究輸出輸入之間的關(guān)系。對于線性時不變系統(tǒng)，經(jīng)常用的是線性常系數(shù)差分方程，本節(jié)主要介紹這類差分方程及其解法。一階后向差分：一階前項差分：二階差分：K階差分：差分：線性常系數(shù)差分方程一個N階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：其中：或?qū)懗桑翰罘址匠滔到y(tǒng)結(jié)構(gòu)Z-1ax(n)y(n)b線性常系數(shù)差分方程的求解已知系統(tǒng)的輸入序列，通過求解差分方程可以求出系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)。求解差分方程的基本方法有以下三種：

(1)經(jīng)典解法：

(2)遞推解法：逐次代入求解，概念清楚，比較簡便，

適用于計算機(jī)，缺點(diǎn)是不易得出通式解答

(3)變換域方法：Z變換法全響應(yīng)＝齊次解＋特解＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)求解過程比較復(fù)雜例1：已知常系數(shù)線性差分方程 若邊界條件 求其單位抽樣響應(yīng)。因果系統(tǒng)，a<1時，穩(wěn)定例2：已知常系數(shù)線性差分方程同上例 若邊界條件 求其單位抽樣響應(yīng)。非因果系統(tǒng)，a>1時穩(wěn)定

一些關(guān)于差分方程的結(jié)論：一個差分方程不能唯一確定一個系統(tǒng)常系數(shù)線性差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性移不變的不一定是因果的不一定是穩(wěn)定的時域分析方法

單位取樣響應(yīng)

差分方程變換域分析方法：

連續(xù)時間信號與系統(tǒng)

Fourier變換

Laplace變換 離散時間信號與系統(tǒng)

Fourier變換

z變換2-5時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析一、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)，當(dāng)輸入是復(fù)指數(shù)序列時，其穩(wěn)態(tài)輸出仍是同類型的指數(shù)序列，其頻率與輸入頻率相同，其幅度和相位取決于系統(tǒng)，即一、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定）：由系統(tǒng)的差分方程：得出：描述了系統(tǒng)對不同頻率的復(fù)指數(shù)序列的傳輸能力二、系統(tǒng)頻率響應(yīng)的兩個性質(zhì)：是的連續(xù)函數(shù)是的周期函數(shù)，且周期為三、系統(tǒng)頻率響應(yīng)與單位取樣響應(yīng)的關(guān)系令：離散時間線性非時變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)的傅里葉變換四、序列的頻域表示法定義(2-40)

為序列x(n)的傅里葉變換。FT成立的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對可和的條件，即滿足下式：

為求FT的反變換，用ejωn乘(2-40)式兩邊，并在-π~π內(nèi)對ω進(jìn)行積分，得到式中因此

(2-41)

五、輸出序列與輸入序列的FT之間的關(guān)系：離散時間線性非時變系統(tǒng)的輸入序列為x(n)，輸出為y(n)，則：一、Z變換的定義序列x(n)的Z變換定義為(2-51)

式中z是一個以實部為橫坐標(biāo)，虛部位縱坐標(biāo)的復(fù)平面上的復(fù)變量。注意在定義中，對n求和是在±∞之間求和，可以稱為雙邊Z變換。

2-7Z變換

例：

使(2-54)式成立，Z變量取值的域稱為收斂域。一般收斂域用環(huán)狀域表示二、Z變換的收斂域：收斂域的定義：

(2-51)式Z變換存在的條件是等號右邊級數(shù)收斂，要求級數(shù)絕對可和，即(2-54)圖2-28Z變換的收斂域

常用的Z變換是一個有理函數(shù)，用兩個多項式之比表示分子多項式P(z)的根是X(z)的零點(diǎn)，分母多項式Q(z)的根是X(z)的極點(diǎn)。在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。

序列特性與收斂域序列的特性決定其Z變換收斂域。

1.有限長序列：序列x(n)滿足下式：

x(n)n1≤n≤n2x(n)=0其它其Z變換為：有限項求和(1)(2)(3)2.右邊序列

例求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域解：在收斂域中必須滿足，因此收斂域為|z|>|a|。

3.左序列

例求x(n)=-anu(-n-1)的Z變換及其收斂域。

X(z)存在要求|a-1z|<1，即收斂域為|z|<|a|4、雙邊序列例x(n)=a|n|，a為實數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。

解：

第一部分收斂域為|az|<1，得|z|<|a|-1，第二部分收斂域為|az-1|<1，得到|z|>|a|。如果|a|<1，兩部分的公共收斂域為|a|<|z|<|a|-1。如果|a|≥1，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。當(dāng)0<a<1時，其Z變換如下式：

表2-1常見序列Z變換給定z變換X(z)不能唯一地確定一個序列，只有同時給出收斂域才能唯一確定。X(z)在收斂域內(nèi)解析，不能有極點(diǎn)，故：右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點(diǎn)所在圓之外左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點(diǎn)所在圓之內(nèi)序列的z變換：連續(xù)時間信號的Laplace變換：連續(xù)時間信號的Fourier變換：2-8Laplace變換、Fourier變換、z變換間關(guān)系一、序列的z變換與Laplace變換的關(guān)系理想抽樣信號：

其Laplace變換：其z變換：比較理想抽樣信號的Laplace變換：得：z平面：

（極坐標(biāo)）即：是復(fù)平面s平面到z平面的映射：

(直角坐標(biāo)）s平面：單位圓外部r>1右半平面σ>0單位圓內(nèi)部r<1左半平面σ<0單位圓r=1虛軸σ=0Z平面S平面s平面到z平面的映射是多值映射。輻射線ω=Ω0T平行直線Ω

=Ω0正實軸ω=0實軸Ω

=0Z平面S平面Ω:Ω:ω:ω:二、序列的z變換與傅立葉變換的關(guān)系序列x(n)的z變換是序列x(n)乘以指數(shù)序列后的傅立葉變換序列的Fourier變換

＝單位圓上序列的z變換三、序列的傅立葉變換與拉氏變換的關(guān)系Fourier變換是Laplace變換在虛軸上的特例。即:s=j?2-12系統(tǒng)函數(shù)

一、系統(tǒng)函數(shù)H(z)的定義：一個離散時間線性非時變系統(tǒng)可用它的單位抽樣響應(yīng)h(n)來表示：它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：單位圓上的系統(tǒng)函數(shù),單位抽樣響應(yīng)h(n)的Fourier變換它表征系統(tǒng)的頻率特性。

二、系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系：離散時間線性非時變系統(tǒng)的常系數(shù)差分方程一般形式為：設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，可直接對(2-109)式兩端取z變換：因此系統(tǒng)函數(shù)為：(2-111)(2-109)三、系統(tǒng)函數(shù)的收斂域穩(wěn)定系統(tǒng)：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)絕對可和，即而h(n)的z變換的Roc：

穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的Roc須包含單位圓，即頻率響應(yīng)存在且連續(xù)三、系統(tǒng)函數(shù)的收斂域因果系統(tǒng)：因果(可實現(xiàn))系統(tǒng)其單位脈響應(yīng)h(n)一定滿足當(dāng)n<0時，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含∞點(diǎn)，即∞點(diǎn)不是極點(diǎn)，極點(diǎn)分布在某個圓的圓內(nèi)，收斂域在某個圓外。即三、系統(tǒng)函數(shù)的收斂域因果穩(wěn)定系統(tǒng)：如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含∞點(diǎn)和單位圓，那么收斂域可