新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題10 含參函數(shù)的極值、最值討論 (教師版)_第1頁(yè)
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．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－ax＋a(a∈R)．(1)若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)在x＝x1和x＝x2處取得極值，且x2≥eq\r(e)x1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求f(x2)－f(x1)的最大值．6．解析(1)∵f′(x)＝eq\f(1,x)＋x－a(x＞0)，又f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴恒有f′(x)≥0，即eq\f(1,x)＋x－a≥0恒成立，∴a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))min，而x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”，∴a≤2．即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，a的取值范圍是(－∞，2]．(2)∵f(x)在x＝x1和x＝x2處取得極值，且f′(x)＝eq\f(1,x)＋x－a＝eq\f(x2－ax＋1,x)(x＞0)，∴x1，x2是方程x2－ax＋1＝0的兩個(gè)實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝a，x1x2＝1，∴f(x2)－f(x1)＝lneq\f(x2,x1)＋eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))－a(x2－x1)＝lneq\f(x2,x1)－eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))＝lneq\f(x2,x1)－eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))eq\f(1,x1x2)＝lneq\f(x2,x1)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1)－\f(x1,x2)))，設(shè)t＝eq\f(x2,x1)(t≥eq\r(e))，令h(t)＝lnt－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,t)))(t≥eq\r(e))，則h′(t)＝eq\f(1,t)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,t2)))＝－eq\f((t－1)2,2t2)＜0，∴h(t)在[eq\r(e)，＋∞)上是減函數(shù)，∴h(t)≤h(eq\r(e))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\r(e)＋\f(\r(e),e)))，故f(x2)－f(x1)的最大值為eq\f(

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