第三章 工程經(jīng)濟(jì) 含時(shí)間因素的貨幣等值計(jì)算 同濟(jì)大學(xué)

第三章含時(shí)間因素的貨幣等值計(jì)算3.1貨幣的時(shí)間價(jià)值1、含義

指初始貨幣在生產(chǎn)與流通中與勞動(dòng)相結(jié)合，即作為資本或資金參與再生產(chǎn)和流通，隨著時(shí)間的推移會(huì)得到貨幣增值，用于投資就會(huì)帶來利潤；用于儲(chǔ)蓄會(huì)得到利息。2、原因（1）以貨幣表示的資源可以成為資本，存在投資的機(jī)會(huì)，從而產(chǎn)生對(duì)資本投入要素的回報(bào)。（2）消費(fèi)者都存在一種潛在的期望，要求現(xiàn)在消費(fèi)的節(jié)省以換回日后更多的消費(fèi)。3.1貨幣的時(shí)間價(jià)值原資金投資儲(chǔ)蓄新資金原資金貨幣的時(shí)間價(jià)值原資金閑置=+3.1貨幣的時(shí)間價(jià)值

資金的價(jià)值是時(shí)間的函數(shù)，隨時(shí)間的推移而增值，所增值部分的資金就是原有資金的時(shí)間價(jià)值。

影響資金時(shí)間價(jià)值的因素：1、資金的使用（占用）時(shí)間長短；2、資金數(shù)額的大??；3、資金投入或回收的（時(shí)間）特點(diǎn)；4、資金周轉(zhuǎn)速度的快慢。3.1貨幣的時(shí)間價(jià)值

通常用貨幣單位來計(jì)量工程技術(shù)方案的得失，我們在經(jīng)濟(jì)分析時(shí)就主要著眼于方案在整個(gè)壽命期內(nèi)的貨幣收入和支出的情況，這種貨幣的收入和支出稱之為現(xiàn)金流量(CashFlow)。年末A方案B方案0-10000-100001+7000+10002+5000+30003+3000+50004+1000+7000

有一個(gè)總公司面臨兩個(gè)投資方案A、B，壽命期都是4年，初始投資也相同，均為10000元。實(shí)現(xiàn)利潤的總數(shù)也相同，但每年數(shù)字不同，具體數(shù)據(jù)見表。如果其他條件都相同，我們應(yīng)該選用那個(gè)方案呢?3.1貨幣的時(shí)間價(jià)值300030003000方案D

3000300030006000

123456方案C01234560

30003000

兩個(gè)方案C和D，其他條件相同，僅現(xiàn)金流量不同。3.1貨幣的時(shí)間價(jià)值

貨幣的支出和收入的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)不僅與貨幣量的大小有關(guān)，而且與發(fā)生的時(shí)間有關(guān)。由于貨幣的時(shí)間價(jià)值的存在，使不同時(shí)間上發(fā)生的現(xiàn)金流量無法直接加以比較，這就使方案的經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)變得比較復(fù)雜了。3.1貨幣的時(shí)間價(jià)值

01234

01234

400方案F方案E

200200200

100

200200

300

300

400

從現(xiàn)金流量的絕對(duì)數(shù)看，方案E比方案F好；但從貨幣的時(shí)間價(jià)值看，方案F似乎有它的好處。如何比較這兩個(gè)方案的優(yōu)劣就構(gòu)成了本課程要討論的重要內(nèi)容。這種考慮了貨幣時(shí)間價(jià)值的經(jīng)濟(jì)分析方法，使方案的評(píng)價(jià)和選擇變得更現(xiàn)實(shí)和可靠。3.2利息公式（一）相關(guān)概念1、利息——一定數(shù)額貨幣經(jīng)過一定時(shí)間后資金的絕對(duì)增值，用“I”表示。廣義的利息信貸利息經(jīng)營利潤2、利率——利息遞增的比率，用“i”表示。每單位時(shí)間增加的利息

原金額（本金）×100%利率(i%)=

計(jì)息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、季度來計(jì)算，用“n”表示。3.2利息公式一）利息的種類1、單利計(jì)息1.單利——每期均按原始本金計(jì)息（利不生利）

設(shè)：I——利息

P——本金

n——計(jì)息期數(shù)

i——利率

F——本利和則有

例題1：假如以年利率6%借入資金1000元,共借4年,其償還的情況如下表年年初欠款年末應(yīng)付利息年末欠款年末償還110001000×0.06=6010600210601000×0.06=6011200311201000×0.06=6011800411801000×0.06=60124012402、復(fù)利計(jì)息

將本期的利息轉(zhuǎn)為下期的本金，下期將按本利和的總額計(jì)息，這種計(jì)息方式稱為復(fù)利（計(jì)息）——利滾利年份年初本金P當(dāng)年利息I年末本利和F

P(1+i)2…………P(1+i)n-1P(1+i)n

1

PP·iP(1+i)2P(1+i)P(1+i)·in－1P(1+i)n-2P(1+i)n-2·i

n

P(1+i)n-1P(1+i)n-1·iF=P(1+i)nI=F-P=P[(1+i)n-1]3.2利息公式

例題2：假如以年利率6%借入資金1000元,共借4年,其償還的情況如下表年初欠款年末應(yīng)付利息年末欠款年末償還1234年10001000×0.06=601060010601060×0.06=63.601123.6001123.601191.0201191.021262.481262.481123.60×0.06=67.421191.02×0.06=71.46例3-3復(fù)利的威力

1626年荷蘭東印度公司花了24美元從印第安人手中買下了曼哈頓島。而到2000年1月1日，曼哈頓島的價(jià)值已經(jīng)達(dá)到了約2.5萬億美元。這筆交易無疑很合算。但是，如果改變一下思路，東印度公司也許并沒有占到便宜。如果當(dāng)時(shí)的印第安人拿著這24美元去投資，分別按照8%的單利和復(fù)利利率計(jì)算，結(jié)果如下單利（美元）復(fù)利（萬億美元）到2000年，這24美元復(fù)利計(jì)息將變成約76萬億美元，幾乎是其2.5萬億美元價(jià)值的30倍。而按照單利計(jì)算這24美元僅變成742美元。3.2利息公式(二)等值的含義

貨幣等值(equivalence)是考慮了貨幣的時(shí)間價(jià)值的等值。貨幣的等值包括三個(gè)因素：（1）金額（2）金額發(fā)生的時(shí)間（3）利率3.2利息公式1、一次支付復(fù)利公式

F

——將來值(FutureValue/worth)；i

——利率(interestrate)；n

——計(jì)息期數(shù)(number)；P

——現(xiàn)在值(PresentValue/worth)；記為（F/P,i,n）,則有F=P(F/p,i,n)案例

（三）利息公式第一年年初第一年年末第二年年末第n年年末PP+Pi=P(1+i)P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2…………P(1+i)n1、一次支付復(fù)利公式

在第一年年初，以年利率6%投資1000元，則到第四年年末可得本利和若干？分析2、一次支付現(xiàn)值公式2、一次支付現(xiàn)值公式

為了在第四年年末得到1262.50元，按年利率6%計(jì)算，現(xiàn)在必須投資多少？分析3、等額支付系列復(fù)利公式3、等額支付系列復(fù)利公式3、等額支付系列復(fù)利公式

連續(xù)5年每年年末借款1000元，按年利率6%計(jì)算，第5年年末累積借款若干？分析4、等額支付系列積累基金公式4、等額支付系列積累基金公式

如果要在第5年年末得到資金1000元，按年利率6%計(jì)算，從現(xiàn)在起連續(xù)5年每年必須存儲(chǔ)若干？分析5、等額支付系列資金恢復(fù)公式5、等額支付系列資金恢復(fù)公式5、等額支付系列資金恢復(fù)公式

如果現(xiàn)在以年利率5%投資1000元，在今后的8年中，每年年末以相等的數(shù)額提取回收本利和，則每年年末可以等額提取若干？分析6、等額支付系列現(xiàn)值公式6、等額支付系列現(xiàn)值公式

按年利率6%計(jì)算，為了能夠在今后5年中每年年末得到100萬元的利潤，現(xiàn)在應(yīng)投資若干？分析7.均勻梯度系列公式7.均勻梯度系列公式A=A1+A2

注：如支付系列為均勻減少，則有A=A1－A27.均勻梯度系列公式等額支付系列復(fù)利公式7.均勻梯度系列公式等額支付系列積累基金公式例

假定某人第一年末把1000元存入銀行，以后9年每年遞增存款200元。如年利率為8%，若這筆存款折算成10年的年末等額支付系列，相當(dāng)于每年存入多少？解

每年應(yīng)存入1744元。

7.均勻梯度系列公式8.運(yùn)用利息公式應(yīng)注意的問題

（1）為了實(shí)施方案的初始投資，假定發(fā)生在方案的壽命期初。（2）方案實(shí)施過程中的經(jīng)常性支出，假定發(fā)生在計(jì)息期（年）末。（3）本年的年末即是下一年的年初。（4）P是在當(dāng)前年度開始時(shí)發(fā)生。（5）F是在當(dāng)前以后的第n年年末發(fā)生。（6）A是在考察期間各年年末發(fā)生。當(dāng)問題包括P和A時(shí)，系列的第一個(gè)A是在P發(fā)生一年后的年末發(fā)生；當(dāng)問題包括F和A時(shí)，系列的最后一個(gè)A是和F同時(shí)發(fā)生。（7）均勻梯度系列中，第一個(gè)G發(fā)生在系列的第二年年末。8.運(yùn)用利息公式應(yīng)注意的問題

(四)名義利率和有效利率1、離散式復(fù)利按期（年、季、月和日）計(jì)息的方法

如果名義利率為r，一年中計(jì)息n次，每次計(jì)息的利率為r/n，根據(jù)一次支付復(fù)利系數(shù)公式，

年末本利和為：

F=P[1+r/n]n

一年末的利息為：

P[1+r/n]n

－P

按定義，利息與本金之比為利率，則年有效利率i為：

例3-6：現(xiàn)投資1000元，時(shí)間為10年，年利率為8%，每季度計(jì)息一次，求10年末的將來值。

F=？1000…012340季度每季度的有效利率為8%÷4=2%，用年實(shí)際利率求解:年有效利率i為：i=（1+2%）4－1=8.2432%F=1000（F/P，8.2432%，10）=2208（元）用季度利率求解:F=1000（F/P，2%，40）=1000×2.2080=2208（元）解：例:某企業(yè)向銀行借款1000元,年利率為4%,如按季度計(jì)息,則第3年應(yīng)償還本利和累計(jì)為()元。

A.1125B.1120C.1127D.1172F=1000(F/P,1%,4×3)=1000(F/P,1%,12)=1127元答案:C

F=？1000…012312季度解:例:已知某項(xiàng)目的計(jì)息期為月,月利率為8‰,則項(xiàng)目的年名義利率為()。

A.8%B.8‰C.9.6%D.9.6‰解:（年）名義利率=每一計(jì)息期的有效利率×一年中計(jì)息期數(shù)

所以r=12×8‰=96‰=9.6%答案:C2、連續(xù)式復(fù)利名義利率和有效利率下表給出了名義利率為12%分別按不同計(jì)息期計(jì)算的實(shí)際利率：復(fù)利周期每年計(jì)息數(shù)期各期實(shí)際利率實(shí)際年利率一年半年一季一月一周一天連續(xù)1241252365∞12.0000%6.0000%3.0000%1.0000%0.23077%0.0329%0.000012.0000%12.3600%12.5509%12.6825%12.7341%12.7475%12.7497%將年名義利率化為年有效利率，再比較1計(jì)息期為一年的等值計(jì)算從利息表上查到，當(dāng)n=9，1.750落在6%和7%之間。6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839從用直線內(nèi)插法可得相同有效利率名義利率直接計(jì)算例：當(dāng)利率為多大時(shí)，現(xiàn)在的300元等值于第9年年末的525元？解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750

計(jì)算表明，當(dāng)利率為6.41%時(shí)，現(xiàn)在的300元等值于第9年年末的525元。

例：當(dāng)利率為8%時(shí)，從現(xiàn)在起連續(xù)6年的年末等額支付為多少時(shí)與第6年年末的10000等值？

A=F（A/F,8%,6）=10000×0.1363=1363(元/年)計(jì)算表明，當(dāng)利率為8%時(shí)，從現(xiàn)在起連續(xù)6年1363元的年末等額支付與第6年年末的10000等值。解：100000123456年i=8%0123456年A=？i=8%例：當(dāng)利率為10%時(shí)，從現(xiàn)在起連續(xù)5年的年末等額支付為600元，問與其等值的第0年的現(xiàn)值為多大？解：

P=A(P/A,10%,5)=2774.59元

計(jì)算表明，當(dāng)利率為10%時(shí)，從現(xiàn)在起連續(xù)5年的600元年末等額支付與第0年的現(xiàn)值2274.50元是等值的。2計(jì)息期短于一年的等值計(jì)算

（1）計(jì)息期和支付期相同例：年利率為12%，每半年計(jì)息一次，從現(xiàn)在起，連續(xù)3年，每半年為100元的等額支付，問與其等值的第0年的現(xiàn)值為多大？

解：每計(jì)息期的利率

（每半年一期）n=(3年)×(每年2期)=6期P=A（P/A，6%，6）=100×4.9173=491.73元計(jì)算表明，按年利率12%，每半年計(jì)息一次計(jì)算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3年每半年支付100元的等額支付與第0年的現(xiàn)值491.73元的現(xiàn)值是等值的。

（1）計(jì)息期和支付期相同2.計(jì)息期短于支付期例：按年利率為12%，每季度計(jì)息一次計(jì)算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3年的等額年末支付借款為1000元，問與其等值的第3年年末的借款金額為多大？

0123456789101112季度F=？100010001000式中，r=12%，n=4，i=12%÷4=3%。

239F=？季度

0123456789101112經(jīng)轉(zhuǎn)變后計(jì)息期與支付期重合（單位：元）F=A（F/A，3%，12）=239×14.192=3392元第三種方法：將名義利率轉(zhuǎn)化為年有效利率，以一年為基礎(chǔ)進(jìn)行計(jì)算。年有效利率是由此可得

F／A，12．55%，3F=1000(3．3923)=3392元通過三種方法計(jì)算表明，按年利率12%，每季度計(jì)息一次，從現(xiàn)在起連續(xù)三年的1000元等額年末借款與第三年年末的3392元等值。

假定現(xiàn)金流量是：第6年年末支付300元，第9，10，11，12年年末各支付60元，第13年年末支付210元，第15，16，17年年末各支付80元。如按年利率5%計(jì)息，與此等值的現(xiàn)金流量的現(xiàn)值P為多少？解先把所有的支付畫出現(xiàn)金流量圖（圖3-13）圖3-13

現(xiàn)金流量圖（單位：元）3.3等值計(jì)算實(shí)例

然后根據(jù)現(xiàn)金流量圖利用公式進(jìn)行計(jì)算：

P/F，5%，6P/A，5%，4P/F，5%，8P/F，5%，13P=300（0.7462）+60（3.5456）（0.6768）+210（0.5303）

F/A，5%，3P/F，5%，17+80（3.153）（0.4363）

=589.27（元）這個(gè)現(xiàn)金流量，按年利率5%計(jì)息，與其等值的現(xiàn)值為589.27元。3.3等值計(jì)算實(shí)例例3-15求每半年向銀行借1400元，連續(xù)借10年的等額支付系列的等值將來值。利息分別按：（a）年利率12%，每半年計(jì)息一次；（b）年利率為12%，每季度計(jì)息一次兩種情況計(jì)息。解兩種計(jì)息情況的將來值（a）計(jì)息期等于支付期

F/A，6%，20

F=1400（36.7856）=51500元（b）計(jì)息期短于支付期

A/F，3%，2F/A，3%，40

F=1400（0.4926）（75.4013）=52000元3.3等值計(jì)算實(shí)例某人購買一套住房總價(jià)150萬，其中申請(qǐng)70%

期限為20年、年利率為5%的商業(yè)抵押貸款，約定按月等額還款。每月要還多少？這種貸款的年有效利率是多少？解貸款總額P=150×70%=105萬元，每月還款額為即每月要還款近7000元。

這種還款方式下，年實(shí)際有效利率為

3.3等值計(jì)算實(shí)例