實變函數(shù)第一章2

第一節(jié)外測度第二章測度理論1.引言

其中積分與分割、介點集的取法無關(guān)幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1xi(1)Riemann積分回顧（分割定義域）新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）yiyi-1用mEi

表示Ei

的“長度”問題：如何把長度,面積,體積推廣?圓的面積內(nèi)接正n邊形的面積（內(nèi)填）內(nèi)接外切外切正n邊形的面積（外包）達布上和與下和Riemann積分xi-1xi達布下和的極限下積分（內(nèi)填）xi-1xi達布上和的極限上積分（外包）Jordan測度Jordan外測度（外包）Jordan可測Jordan內(nèi)測度（內(nèi)填）例：設(shè)E為[0,1]中的有理數(shù)全體，則E不Jordan可測由于任一覆蓋[0,1]中的有理數(shù)全體的有限開覆蓋也一定能覆蓋除有限個點外的[0,1]，從而由于無理數(shù)在[0,1]中稠密，故任一開區(qū)間都不可能含在E內(nèi)，從而所以，即E不Jordan可測([

())(

)(

(

)

]

)０１

([

]

)-ε０１1+ε2Lebesgue外測度(外包)為E的Lebesgue外測度。定義：，稱非負(fù)廣義實數(shù)與Jordan外測度比較：下確界：即：用一開區(qū)間列“近似”替換集合E例設(shè)E是[0,1]中的全體有理數(shù)，試證明E的外測度為0

證明：由于E為可數(shù)集，再由ε的任意性知()

2.平面上的x軸的外測度為0思考：１.設(shè)E是平面上的有理點全體，則E的外測度為0思考：3.我們知道有理數(shù)與無理數(shù)在[0,1]上都稠密，問證明中

的開區(qū)間列是否覆蓋了區(qū)間[0,1]由無理數(shù)集在[0,1]上稠密可知上面敘述的錯誤出在取，因為i的取定依賴于δ()

思考：4.對Jordan外測度，我們用有限個開區(qū)間覆蓋[0,1]中的

有理數(shù)全體，則這有限個開區(qū)間也覆蓋[0,1]

（除有限個點外）注：對可數(shù)個開區(qū)間不一定有從左到右的一個排列（如Ｃantor集的余集的構(gòu)成區(qū)間）([

())(

)(

(

)

]

)０１注：對有限個開區(qū)間一定有從左到右的一個排列5.對Lebesgue外測度，我們用可數(shù)個開區(qū)間覆蓋[0,1]中的有理數(shù)全體，是否這可數(shù)個開區(qū)間也覆蓋[0,1]（除可數(shù)個點外）（2）Lebesgue外測度的性質(zhì)(b)的證明:能覆蓋B的開區(qū)間列也一定能覆蓋A，從而能覆蓋B的開區(qū)間列比能覆蓋A的開區(qū)間列要少，相應(yīng)的下確界反而大。（b）單調(diào)性：（a）非負(fù)性：，當(dāng)E為空集時，（C）次可數(shù)可加性證明：對任意的ε>0,由外測度的定義知，對每個An都有一列開區(qū)間（即用一開區(qū)間{Inm}列近似替換An）注：一般證明都是從大的一邊開始，因為外測度的定義用的是下確界由的ε任意性，即得注：外測度的次可數(shù)可加性的等號即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可測集），但有:當(dāng)區(qū)間Ii的直徑很小時候，區(qū)間Ii不可能同時含有A，B中的點從而把區(qū)間列Ii分成兩部分，一部分含有A中的點，一部分含有B中的點。若d(A,B)>0,則例證明參見教材p-56思考：書本中的證明用有限開覆蓋定理的目的何在？此例說明Lebesgue外測度某種程度是區(qū)間長度概念的推廣對任意區(qū)間，有例：Cantor集的外測度為0。注：稱外測度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數(shù)并仍為零集證明：令第n次等分后留下的閉區(qū)間為第二節(jié)可測集合第二章測度理論Lebesgue外測度(外包)次可數(shù)可加性(即使Ａn兩兩不交)即：用一開區(qū)間列“近似”替換集合E1.可測集的定義注：Lebesgue開始也是利用外測度與內(nèi)測度相等定義可測集，但此方法對處理問題很不方便，故我們采用上述方法。EEcT∩ET∩Ec（Caratheodory條件），則稱E為Lebesgue可測集，此時E的外測度稱為E的測度，記作例：零集E必為可測集即E為可測集。2.Lebesgue可測集的性質(zhì)證明：(充分性）(必要性)令（a）集合E可測（即）即可測集類關(guān)于差，余，有限交和可數(shù)交，有限并和可數(shù)并，以及極限運算封閉；（b）若A,B,Ai

可測，則下述集合也可測

注:上式由前面可測集的等價刻畫立刻可得若Ai兩兩不交，則（測度的可數(shù)可加性）若A,B可測，則有可減性可測集類關(guān)于差，余，有限交和可數(shù)交，有限并和可數(shù)并，以及極限運算封閉；也可測。若可測已證明，則易知易知Ac可測證明：由可測集的定義：(1)(2)(3)(4)ＴBA下面證明若A,B可測，

則可測下面證明若Ai兩兩不交，則例：設(shè)[0,1]中可測集A1,A2,…,An滿足條件

則必有正測度。注：左邊的極限是集列極限，而右邊的極限是數(shù)列極限，

(b)中的條件不可少(a)若An是遞增的可測集列，則(b)若An

是遞減的可測集列且如An=(n,+∞)（

n單調(diào)可測集列的性質(zhì)注：若An是遞減集列，若An是遞增集列，第三節(jié)開集的可測性第二章測度理論注：開集、閉集既是型集也是型集；

有理數(shù)集是型集，但不是型集；

無理數(shù)集是型集，但不是型集。有理數(shù)集可看成可數(shù)個單點集的并，而單點集是閉集；通過取余型集與型集相互轉(zhuǎn)化（并與交，開集與閉集互換）例區(qū)間是可測集，且注：零集、區(qū)間、開集、閉集、型集（可數(shù)個開集的交）、型集（可數(shù)個閉集的并）、Borel型集（粗略說：從開集出發(fā)通過取余，取交或并（有限個或可數(shù)個）運算得到）都是可測集。證明見書本p662.可測集與開集、閉集的關(guān)系即：可測集與開集、閉集只相差一小測度集（可測集“差不多”就是開集或閉集），從而可測集基本上是至多可數(shù)個開區(qū)間的并。證明：若(1)已證明，由Ec可測可知取F=Gc，則F為閉集(1).若E可測，則

證明:(1)當(dāng)mE<+∞時，由外測度定義知從而（這里用到mE<+∞）對每個Ei應(yīng)用上述結(jié)果(2)當(dāng)mE=+∞時，這時將E分解成可數(shù)個互不相交的可測集的并：例證明：對任意的1/n，例：設(shè)E為[0,1]中的有理數(shù)全體，試各寫出一個與E只相差一小測度集的開集和閉集。例：設(shè)E*為[0,1]中的無理數(shù)全體，試各寫出一個與E*只相差一小測度集的開集和閉集。

開集:(0,1)

閉集：開集：閉集：空集3.可測集與集和集的關(guān)系

可測集可由型集去掉一零集，或型集添上一零集得到。(2).若E可測，則存在型集H,使(1).若E可測，則存在型集O,使(1).若E可測，則存在型集O,使(2).若E可測，則存在型集H,使證明：若(1)已證明，由Ec可測可知取H=Oc，則H為型集，且(1).若E可測，則存在型集O,使證明：對任意的1/n，

例：例：設(shè)E*為[0,1]中的無理數(shù)全體，試各寫出一個與E*只相差一零測度集的型集或型集。設(shè)E為