控制測(cè)量學(xué)課件第13講

控制測(cè)量學(xué)第13講，授課人：李玉寶

8.4高斯投影坐標(biāo)正反算公式將橢球面上元素投影到平面，涉及包括坐標(biāo)、方向、長(zhǎng)度三類(lèi)值的數(shù)學(xué)歸算問(wèn)題，本小節(jié)僅討論高斯投影中大地坐標(biāo)和高斯平面坐標(biāo)的相互換算問(wèn)題。其中將經(jīng)度、緯度值（L、B）轉(zhuǎn)換為高斯平面坐標(biāo)值（x、y）稱(chēng)為高斯投影正算，反之則稱(chēng)為高斯投影反算。8.4.1.高斯投影坐標(biāo)正算高斯投影正算是滿(mǎn)足正形投影條件及下列兩個(gè)條件的投影方法：（1）中央子午線(xiàn)投影后為直線(xiàn),這是對(duì)稱(chēng)于中央子午線(xiàn)的圖形,投影后圖形仍對(duì)稱(chēng)于X軸的基本條件;（2）中央子午線(xiàn)投影后長(zhǎng)度不變。8.4.1.高斯投影坐標(biāo)正算公式由于地球橢球是一旋轉(zhuǎn)橢球體，橢圓柱體與中央子午線(xiàn)相切，所以橢球面相對(duì)于橢圓柱體的空間位置在中央子午線(xiàn)兩側(cè)對(duì)稱(chēng)，即在橢球體上對(duì)稱(chēng)于中央子午線(xiàn)上的兩點(diǎn)，投影到高斯平面上后仍然對(duì)稱(chēng)于中央子午線(xiàn)的投影。換言之，當(dāng)B不變時(shí)，以－l代替l，x坐標(biāo)不變，而y坐標(biāo)絕對(duì)值不變而符號(hào)相反，即在公式：中，第一式是的偶函數(shù)，第二式是的奇函數(shù)。由于分帶投影，每帶內(nèi)對(duì)于中央子午線(xiàn)的經(jīng)差l是一小量，所以可將公式（8－41）展開(kāi)為l的冪級(jí)數(shù)，形式為：8.4.1.高斯投影坐標(biāo)正算公式式中mi是待定系數(shù)，但不是常系數(shù)，而是B（q）的函數(shù)。將(8-64)式分別對(duì)求q、l求偏導(dǎo)，并顧及柯西－黎曼條件（8－51）,就得到（8－65）式。(8-64)(8-65)8.4.1.高斯投影坐標(biāo)正算公式要使（8－65）式等號(hào)兩邊相等，充分必要條件是l同次冪的系數(shù)相等。為此就有：（8－66）由（8－66）式可見(jiàn)，要求出投影具體表達(dá)式（8－64）中的系數(shù)，關(guān)鍵在于求出，為此就首先要求出m0的表達(dá)式。8.4.1.高斯投影坐標(biāo)正算公式根據(jù)中央子午線(xiàn)投影后長(zhǎng)度不變的條件知道當(dāng)l=0時(shí)，x=m0=X，即中央子午線(xiàn)上某點(diǎn)的縱坐標(biāo)就等于從赤道量至該點(diǎn)的子午線(xiàn)弧長(zhǎng)。顧及dX=MdB、，于是得；按照（8－66）式逐次進(jìn)行，求出m2、m3，...等待定系數(shù)，再代回（8－64），整理就得到了高斯投影坐標(biāo)正算公式（8－73）。（8－68）高斯投影正算精密公式：0.001m8.4.1.高斯投影坐標(biāo)正算公式式中：(8-73)中央子午線(xiàn)中央子午線(xiàn)和赤道交點(diǎn)一般子午線(xiàn)赤道8.4.1.高斯投影坐標(biāo)正算公式根據(jù)公式（8－73）可以得出以下結(jié)論：平行圈8.4.2.高斯投影坐標(biāo)反算公式由高斯平面投影到橢球面，相應(yīng)的投影方程式為：

與高斯正算一樣，除正形投影條件外，對(duì)投影函數(shù)設(shè)置以下兩個(gè)條件：（1）x軸投影后成為中央子午線(xiàn)，也是投影的對(duì)稱(chēng)軸。（2）x軸上的長(zhǎng)度投影后保持不變。（8－74）8.4.2.高斯投影坐標(biāo)反算公式由于采用分帶投影，投影區(qū)域不大，y值相對(duì)于橢球半徑而言是一小量，因而可以將大地坐標(biāo)（q，l）展開(kāi)成y的冪級(jí)數(shù)。由于是對(duì)稱(chēng)投影，在此冪級(jí)數(shù)中，q必是y的偶函數(shù)；l必是y的奇函數(shù)。因此應(yīng)有下列級(jí)數(shù)形式：

式中ni是待定系數(shù)，和高斯投影正算一樣，ni不是常系數(shù),而是x坐標(biāo)的函數(shù)。(8-76)8.4.2.高斯投影坐標(biāo)反算公式將(8-76)式分別對(duì)x和y求偏導(dǎo)數(shù)（ni是x的函數(shù)），同正算公式一樣，根據(jù)柯西－黎曼條件，并顧及根據(jù)等式兩端y同次冪系數(shù)相等，求得系數(shù)ni的表達(dá)式。8.4.2.高斯投影坐標(biāo)反算公式根據(jù)條件：x軸上的長(zhǎng)度投影后保持不變，利用特殊點(diǎn)（x,0)得：

（是底點(diǎn)緯度）8.4.2.高斯投影坐標(biāo)反算公式依次求出系數(shù)ni

代入（8－76），并且以X代替x，并加注下標(biāo)f表示系數(shù)是底點(diǎn)緯度的函數(shù)，得到高斯投影反算公式：（8－87）8.4.2.高斯投影坐標(biāo)正反算公式的幾何解釋1.正算時(shí)已知（B，l）求（x，y），由于l不大，求x的公式可表示為：式中X是過(guò)點(diǎn)的平行圈在中央子午線(xiàn)上的交點(diǎn)到赤道的弧長(zhǎng)。（圖8－14）8.4.2.高斯投影坐標(biāo)正反算公式的幾何解釋2.反算時(shí)已知（x，y）求（B，l），分帶投影y不大，所以有：式中Bf

是圖（8－15）中p點(diǎn)在x軸上的垂足的緯度值，稱(chēng)為底點(diǎn)緯度。(由圖可見(jiàn)，B小于Bf，所以式中取負(fù)號(hào)，教材圖中P點(diǎn)底點(diǎn)緯度Bf沒(méi)有加下標(biāo)f)。f8.4.2.高斯投影坐標(biāo)反算公式的幾何解釋由此可見(jiàn)，正算公式

可以看作是在中央子午線(xiàn)上點(diǎn)展開(kāi)為l的冪級(jí)數(shù)，而反算公式

是在中央子午線(xiàn)上點(diǎn)

展開(kāi)為y的冪級(jí)數(shù)。通過(guò)對(duì)正算公式（8－42）的分析，有下列結(jié)論：（1）l為常數(shù)時(shí)，隨著B(niǎo)增加，x加大，y減?。挥捎赾osB是偶函數(shù)，所以除中央子午線(xiàn)外，其余子午線(xiàn)投影后，均向中央子午線(xiàn)彎曲，并向兩極收斂，同時(shí)還以中央子午線(xiàn)和赤道為對(duì)稱(chēng)軸。8.4.2.高斯投影坐標(biāo)反算公式的幾何解釋?zhuān)?）B為常數(shù)時(shí)，隨著l的增加，x和y值都增加。所以在橢球面上對(duì)稱(chēng)于赤道的緯圈，投影后仍為對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)，并且與子午線(xiàn)投影曲線(xiàn)互相垂直，凹向兩極。（3）距中央子午線(xiàn)越遠(yuǎn)的子午線(xiàn)，投影后彎曲越厲害，長(zhǎng)度變形越大。8.5高斯投影坐標(biāo)的實(shí)用公式及算例8.5.1、適于查表的高斯坐標(biāo)計(jì)算實(shí)用公式及算例（略）8.5.2、適于電算的高斯坐標(biāo)計(jì)算實(shí)用公式及算例1、正算：克氏橢球參數(shù)公式是（8－100），國(guó)際橢球參數(shù)公式是（8－102）。2、反算：克氏橢球參數(shù)公式是（8－105），國(guó)際橢球參數(shù)公式是（8－106）。（8－100）和（8－105）均是代入具體橢球參數(shù)的公式。現(xiàn)在計(jì)算可以采用不涉及具體橢球參數(shù)的正反算公式，如前面介紹過(guò)的（8－73）和（8－87），在計(jì)算其中的N、η參數(shù)時(shí)，再代入采用的橢球參數(shù)。8.6平面子午線(xiàn)收斂角公式三四等及其以下等級(jí)平面控制網(wǎng)不在橢球面上計(jì)算,而是將觀測(cè)值和大地方位角投影到高斯平面上,在高斯平面上完成平差計(jì)算.將橢球面上的大地方位角轉(zhuǎn)換為高斯平面上的坐標(biāo)方位角需要計(jì)算子午線(xiàn)收斂角。更常見(jiàn)的做法將橢球面上控制點(diǎn)（B.L)投影到高斯平面上，按平面坐標(biāo)反算坐標(biāo)方位角。但是如果遇到起算點(diǎn)是一個(gè)已知大地點(diǎn)，一個(gè)已知大地方位角，除了要將已知點(diǎn)投影到高斯平面上，還要通過(guò)計(jì)算子午線(xiàn)收斂角γ和方向改正值δ（后一小節(jié)介紹），按下式將大地方位角轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)方位角：8.6平面子午線(xiàn)收斂角公式8.6.1平面子午線(xiàn)收斂角的定義平行圈子午線(xiàn)如圖8－17所示，過(guò)p點(diǎn)的子午線(xiàn)在高斯平面上的投影與坐標(biāo)北方向之間的夾角，就是子午線(xiàn)收斂角，通常用γ表示。根據(jù)正形投影的特性，也等于平行圈在高斯平面上投影與橫軸y的夾角。圖8－17p8.6平面子午線(xiàn)收斂角公式8.6.2公式推導(dǎo)平面子午線(xiàn)收斂角是坐標(biāo)的函數(shù)，所以既可由大地坐標(biāo)（L，B）計(jì)算，也可由平面坐標(biāo)（x，y）計(jì)算，下面分別求其計(jì)算公式。1.由大地坐標(biāo)計(jì)算的公式：根據(jù)（圖8－17）及一階導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以寫(xiě)出：而在平行圈上B＝常數(shù)，于是對(duì)求全微分有：（8－108）8.6平面子午線(xiàn)收斂角公式根據(jù)高斯投影正算公式（8－73）求得和的具體表達(dá)式，代回（8－108）后經(jīng)整理，最終得到根據(jù)大地坐標(biāo)計(jì)算子午線(xiàn)收斂角的公式（8－112）。根據(jù)公式（8－112），可以得到如下結(jié)論：①.γ是l的奇函數(shù)，而且l越大，γ越大（因?yàn)閘越大，大地方位角的基準(zhǔn)線(xiàn)－經(jīng)線(xiàn)投影描寫(xiě)形越彎曲，與中央子午線(xiàn)夾角越大）。②.γ有正負(fù)，當(dāng)點(diǎn)p在中央子午線(xiàn)以東時(shí)為正，反之為負(fù)。③.當(dāng)l不變時(shí)，γ隨緯度增大而增大（因?yàn)榻?jīng)線(xiàn)向兩極收斂，緯度加大，收斂角加大）。8.6平面子午線(xiàn)收斂角公式2.由平面坐標(biāo)x，y計(jì)算平面子午線(xiàn)收斂角的公式利用高斯投影反算公式（8－87）中以平面坐標(biāo)表達(dá)l的關(guān)系式，并導(dǎo)出以底點(diǎn)緯度表達(dá)sinB、cosB的函數(shù)式，代入大地坐標(biāo)計(jì)算子午線(xiàn)收斂角的公式（8－112），就得到平面坐標(biāo)x，y計(jì)算平面子午線(xiàn)收斂角的公式（8－114）。8.6平面子午線(xiàn)收斂角公式以Bf表示sinB的方法是:將(8-103)式中（Bf-B）的表達(dá)式代入只取主項(xiàng),并顧及

,就得:同理:8.6平面子午線(xiàn)收斂角公式將l和cosB,sinB的表達(dá)式代入（8－112）式，就得到以平面坐表示的子午線(xiàn)收斂角計(jì)算公式（8－114）。應(yīng)用公式(8-114)一般是將坐標(biāo)方位角換算為大地方位角,計(jì)算時(shí)要根據(jù)x坐標(biāo)計(jì)算底點(diǎn)緯度Bf,然后結(jié)合橢球參數(shù)計(jì)算N、M、t、η等參數(shù)，才能計(jì)算γ。所以若是用于將大地方位角轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)方位角，還是公式（8－108）更方便些。8.6.3實(shí)用公式及其算例分電算和查表計(jì)算兩類(lèi)，查表計(jì)算現(xiàn)在已經(jīng)很少應(yīng)用了，電算公式和上一小節(jié)介紹的公式，就編程來(lái)說(shuō)也沒(méi)有什么特別之處。（8－114）8.7方向改化公式大地線(xiàn)投影到平面后是一曲線(xiàn)，為利用平面公式平差計(jì)算，要用兩點(diǎn)間連線(xiàn)代替曲線(xiàn)，為此引起的方向值變化就稱(chēng)為“方向改化”。8.7.1、方向改化近似公式的推導(dǎo)圖8－18如圖（8－18），假設(shè)地球?yàn)橐粓A球，在球面中央子午線(xiàn)東側(cè)有一大地線(xiàn)A、B，它在高斯平面上的投影是a、b。過(guò)點(diǎn)A、B，在球面上分別作兩個(gè)大圓弧與中央子午線(xiàn)正交于D、E，弧線(xiàn)在投影面上投影分別是ad和be。8.7方向改化公式可以證明，ad、be都是垂直于軸的直線(xiàn)。大圓弧是過(guò)球心的平面與球面所截得弧線(xiàn)，垂直于中央子午線(xiàn)的大圓弧，并不是平行圈，大圓弧上點(diǎn)緯度不相等.圖8－188.7.1、方向改化近似公式的推導(dǎo)球面四邊形A、B、E、D投影到高斯平面后，除描寫(xiě)形ab是曲線(xiàn)外都是直線(xiàn)。高斯投影是等角投影，所以球面上和平面上兩個(gè)四邊形內(nèi)角和應(yīng)相等，設(shè)方向改正分別為和，則有等式，從中可得：。式中ε是球面角超，計(jì)算公式為。8.7.1、方向改化近似公式的推導(dǎo)球面角超是球面多邊形內(nèi)角和大于對(duì)應(yīng)平面直線(xiàn)邊多邊形內(nèi)角和的數(shù)值，式中p是球面多邊形面積。實(shí)際上由于ε是一個(gè)小量，因此對(duì)p的計(jì)算精度要求不高，可以用平面投影圖形面積代替，因而最后得到方向改化計(jì)算公式：（8－139）（8－139）計(jì)算精度達(dá)0.1秒，可用于三四等三角導(dǎo)線(xiàn)測(cè)量改正。計(jì)算用到的平面坐標(biāo)，可采用近似坐標(biāo)。

8.7方向改化公式方向改化的量級(jí)可見(jiàn)92頁(yè)表8－5。由表可見(jiàn)，兩點(diǎn)距離較近或者兩點(diǎn)距中央子午線(xiàn)較近時(shí)，改化值數(shù)值很小。8.7.2方向改化較精密公式的推導(dǎo)精密公式精確到0.01－0.001秒,用于一二等三角、導(dǎo)線(xiàn)測(cè)量方向值改化。在工程測(cè)量中一般邊長(zhǎng)較短，或者采用獨(dú)立中央子午線(xiàn)ym值很小，所以大多數(shù)情況向不需要做方向改化，即使要也只需要用近似公式計(jì)算即可。

8.8距離改化公式將橢球面上兩點(diǎn)間大地線(xiàn)長(zhǎng)S改化為高斯平面上投影點(diǎn)間的直線(xiàn)長(zhǎng)度D，需要加改正數(shù)⊿s，計(jì)算⊿s的公式就是距離改化公式。8.7.1.s與D的關(guān)系本節(jié)討論S投影后曲線(xiàn)s與直線(xiàn)的關(guān)系。根據(jù)圖8－22，可知兩者間微分關(guān)系式為：，因此：。式中v是一小角，最大不會(huì)超過(guò)方向改化δ，將cosv展開(kāi)為級(jí)數(shù)，取至2次項(xiàng)代入積分式，并以最大值δ代替v，就得（8－148）式。圖8－228.7.1.s與D的關(guān)系按最不利的條件δ＝40″，s=50km估算，可以得出結(jié)論：D、s之差不會(huì)超過(guò)1mm，所以大多數(shù)情況下，橢球面邊長(zhǎng)投影到高斯平面上時(shí)，可完全不顧及以弦線(xiàn)代替弧線(xiàn)的引起的距離差別。距離改化⊿s事實(shí)上就是大地線(xiàn)S投影到高斯平面上變?yōu)榍€(xiàn)s的改正量。(8-148)8.8距離改化公式8.8.2、長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形高斯投影的長(zhǎng)度比一般大于1（中央子午線(xiàn)上等于1），因此（m-1）是等于或大于0的值，稱(chēng)為長(zhǎng)度變形。高斯投影屬于正形投影，投影比只與位置有關(guān)，而與方向無(wú)關(guān)，所以m應(yīng)是位置的函數(shù)。1、以大地坐標(biāo)表示長(zhǎng)度比m的公式由長(zhǎng)度比定義式第2式(8-53),得到:(8-149)8.8.2、長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形由高斯投影正算公式(8-73)對(duì)l求偏導(dǎo)，代入（8－149）式，并整理就得到大地坐標(biāo)表示的公式：8.8.2、長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形2.以高斯平面坐標(biāo)表示長(zhǎng)度比m的公式僅取高斯投影正算公式（8－73）式中第二式的主項(xiàng)，得到

,代入（8－151），顧及到,就得到以高斯平面坐標(biāo)表示的投影比公式(8-156)(8-151)8.8距離改化公式幾點(diǎn)結(jié)論：（1）、長(zhǎng)度比是y坐標(biāo)的函數(shù)。（2）、中央子午線(xiàn)、縱坐標(biāo)軸上長(zhǎng)度比為1。（3）、除滿(mǎn)足條件（2）的情況外，橢球面上弧長(zhǎng)投影到高斯平面上后長(zhǎng)度加大。（4）、離中央子午線(xiàn)越長(zhǎng)，投影后變長(zhǎng)越多。99頁(yè)表8－7列出了不同的緯度和ym值，長(zhǎng)度比的值，從中可以了解長(zhǎng)度變形的具體量值。（8－156）8.8距離改化公式8.8.3.距離改化公式由于投影比是坐標(biāo)的函數(shù)，理論上1條邊中的各微分弧段的投影比是不同的。但對(duì)于距離不長(zhǎng)的一條邊而言，m在線(xiàn)段上變化很微小。若以D/S代替ds/dS，以端點(diǎn)坐標(biāo)平均值ym代替y,直接可得到：工程測(cè)量距離較短，此公式已有足夠的精度。(8-160)8.8.3.距離改化公式若要采用精確到0.001米的公式，則整個(gè)大地線(xiàn)弧段S上，投影比m不能視為常數(shù)，投影后曲線(xiàn)長(zhǎng)度（可視為直線(xiàn)D）：經(jīng)過(guò)變化整理，就達(dá)到精確到0.001米的改化公式：（8－164）8.9高斯投影坐標(biāo)的鄰帶換算由于為了限制長(zhǎng)度及面積變形，高斯投影采用分帶投影，較大的投影區(qū)域被分割成多個(gè)不同原點(diǎn)和坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系統(tǒng)。當(dāng)需要同時(shí)使用屬于不同投影帶的已知點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，就需要進(jìn)行高斯投影的鄰帶換算，將某一帶的坐標(biāo)改算到另一帶，或者將分屬兩帶的已知點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)改算為一個(gè)以新中央子午線(xiàn)為縱軸的坐標(biāo)系統(tǒng)。換代計(jì)算是分帶投影帶來(lái)的必然結(jié)果.也是測(cè)繪生產(chǎn)實(shí)踐中常遇到的問(wèn)題,是測(cè)繪專(zhuān)業(yè)技術(shù)人員必須熟練掌握的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ).8.9高斯投影坐標(biāo)的鄰帶換算8.8.1應(yīng)用應(yīng)用高斯正反算投影公式間接進(jìn)行換代計(jì)算這種方法是以大地坐標(biāo)為過(guò)渡坐標(biāo)，按下列程序進(jìn)行：這種方法利用電算程序進(jìn)行，理論嚴(yán)密、方便快捷，并且可以取任意經(jīng)度值為中央子午線(xiàn)值，是目前普遍采用的方法。在應(yīng)用高斯反算公式時(shí),要注意y坐標(biāo)必須是去掉帶號(hào)和500公里常數(shù)的坐標(biāo)值。有些成果資料可能省略了坐標(biāo)前幾位的大數(shù)，工程坐標(biāo)系統(tǒng)加常數(shù)不一定是500公里，或者采用任意中央子午線(xiàn)，如果這些數(shù)值都不清楚，會(huì)給換帶計(jì)算帶來(lái)困難。8.8.2.應(yīng)用換帶表進(jìn)行換帶計(jì)算在當(dāng)前普遍使用計(jì)算機(jī)程序計(jì)算的背景下，已經(jīng)較少使用.8.10通用橫軸墨卡托投影及高斯－克呂格投影簇概念8.10.1、通用橫軸墨卡托投影概念這種投影方法與高斯投影類(lèi)似，差別在于中央子午線(xiàn)上投影比m≠1，而是等于0.9996，,即通用橫軸墨卡托投影m0=0.9996X

，正算公式各系數(shù)均由此導(dǎo)出，所以對(duì)比高斯投影和通用橫軸墨卡托投影公式就知道，通用橫軸墨卡托投影式(8-200)就是高斯投影式(8-73)等號(hào)右邊通乘了0.9996而已。由于中央子午線(xiàn)上投影比小于1，而同高斯投影一樣，隨著離中央子午線(xiàn)距離加大，投影后距離變長(zhǎng)，所以中央子午線(xiàn)兩側(cè)必各有一條線(xiàn)上長(zhǎng)度變形為0，這條線(xiàn)稱(chēng)做割線(xiàn)。作為分界線(xiàn)，兩條割線(xiàn)以?xún)?nèi)變形為負(fù)，割線(xiàn)以外變形為正。通用橫軸墨卡托投影直角坐標(biāo)和高斯投影相同,并且和高斯投影坐標(biāo)有簡(jiǎn)單的換算關(guān)系8.10通用橫軸墨卡托投影及高斯－克呂格投影簇概念8.10.2、高斯投影簇的概念將高斯投影中央子午線(xiàn)上的長(zhǎng)度比不再設(shè)為1,而是表示為緯度B函數(shù)m=f(B)，則隨著函數(shù)值的不同，投影取得多種形式。由于其基本方法與高斯投影類(lèi)似，所以稱(chēng)之為高斯投影簇。高斯投影簇公式推導(dǎo)與高斯投影公式推導(dǎo)相同，只是長(zhǎng)度比在中央子午線(xiàn)上改為，代入的具體表達(dá)式，即得到相應(yīng)的投影公式（正算，反算公式推導(dǎo)類(lèi)似）。8.10通用橫軸墨卡托投影及高斯－克呂格投影簇概念8.10.2、高斯投影簇的概念假如設(shè)中央子午線(xiàn)上投影比，其中q,k是常系數(shù)，即推導(dǎo)投影公式時(shí),.那么當(dāng)q=0時(shí)，投影就是高斯投影；設(shè)q=0.0004，k=0，投影就是通用橫軸墨卡托投影。由此可見(jiàn)，取不同的q，k值，可確定不同的投影方案，在高斯投影簇中包含無(wú)窮多種投影方法。8.11蘭勃脫投影概述蘭勃脫投影是正形、正軸、圓錐投影，圓錐軸與旋轉(zhuǎn)軸一致，圓錐面與橢球的一條緯線(xiàn)相切。蘭勃脫投影變形與經(jīng)度無(wú)關(guān)，而與緯度有關(guān)，所以這是一種適合南北狹窄、東西延伸的國(guó)家或地區(qū)使用的投影方法，是我國(guó)解放前采用的投影方法。蘭勃脫投影變形隨緯差（與相切緯線(xiàn)－標(biāo)準(zhǔn)緯線(xiàn)的緯度差）增大而迅速增加。為控制變形，蘭勃脫投影采用按緯度分帶。8.12工程測(cè)量投影面與投影帶選擇的概念8.12.1.工程測(cè)量中投影面與投影帶選擇的基本出發(fā)點(diǎn)1、歸算、投影變形的基本概念投影面與投影帶的選擇，主要是解決長(zhǎng)度變形的問(wèn)題。而長(zhǎng)度變形發(fā)生在歸算和投影過(guò)程中。（1）實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)歸算到橢球面的變形：8.12工程測(cè)量投影面與投影帶選擇的概念設(shè)長(zhǎng)度歸算變形為△s1

，將長(zhǎng)度歸算公式只取一次項(xiàng)可得：，相對(duì)變形。式中R是歸算方向法截弧曲率半徑，Hm是歸算邊兩端平均大地高。由于Hm值相對(duì)于R較小，R可直接取概值6370km。另外從公式中可見(jiàn)歸算變形使距離縮短，縮短量與Hm成正比，若不同邊間高差相對(duì)平均高程較小，則各邊歸算變形是近似成比例的，這是綜合控制歸算投影變形的基礎(chǔ)。設(shè)橢球面邊長(zhǎng)為S0,則8.12.1.工程測(cè)量中投影面與投影帶選擇的基本出發(fā)點(diǎn)（2）將橢球面上邊長(zhǎng)投影到高斯平面上的變形：設(shè)長(zhǎng)度變形量為△S2

，則從中可見(jiàn)，除ym=0即中央子午線(xiàn)上外，變形值△S2恒為正，就是長(zhǎng)度在投影后變長(zhǎng)，并且離子午線(xiàn)越遠(yuǎn)，變形越大。投影變形與ym的平方成正比，各投影變變形不成比例。但若投影區(qū)域很小，東西兩端y坐標(biāo)差相對(duì)于投影區(qū)域平距y坐標(biāo)是一個(gè)小量的話(huà)，投影變形同樣是近似成比例的，這也是綜合控制歸算投影變形的基礎(chǔ)。8.12.1.工程測(cè)量中投影面與投影帶選擇的基本出發(fā)點(diǎn)2、有關(guān)工程測(cè)量平面控制網(wǎng)的精度要求的概念工程測(cè)量為滿(mǎn)足施工測(cè)量的精度，要求實(shí)地測(cè)量的水平邊長(zhǎng)應(yīng)與坐標(biāo)反算的邊長(zhǎng)盡可能相等。一般的說(shuō)，歸算、投影變形引起的長(zhǎng)度變形應(yīng)小于施工放樣容許誤差的2分之1，若取長(zhǎng)度放樣相對(duì)誤差為1／5000－1／20000，則歸算、投影變形引起的相對(duì)誤差應(yīng)為1／1000－1／40000，即歸算、投影每公里長(zhǎng)度改正數(shù)不能大于1.0cm-2.5cm。8.12.1.工程測(cè)量中投影面與投影帶選擇的基本出發(fā)點(diǎn)3、工程測(cè)量投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點(diǎn)：（1）、當(dāng)歸算、投影變形能滿(mǎn)足工程測(cè)量的精度要求時(shí)，工程控制網(wǎng)應(yīng)采用國(guó)家統(tǒng)一的基準(zhǔn)面和投影中央子午線(xiàn)。（2）、當(dāng)采用國(guó)家大地網(wǎng)的橢球面和投影帶不能滿(mǎn)足工程測(cè)量精度要求時(shí)，可選用獨(dú)立歸算面和任意經(jīng)線(xiàn)作為中央子午線(xiàn)。主要的做法有以下3種：3、工程測(cè)量投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點(diǎn)：（a）、通過(guò)改變Hm，即取代替Hm，使式△S1＋△S2≈0。即通過(guò)歸算變形△S1抵償投影變形△S2。式