第8講 IIR濾波器設計

無限沖擊響應濾波器IIR設計IIR數(shù)字濾波器在很多領域中都有著廣闊的應用。與FIR數(shù)字濾波器相比，IIR數(shù)字濾波器可以用較低的階數(shù)獲得較高的選擇性，而且所用存儲單元少。經(jīng)濟效率高。但相位非線性，且選擇性越好，相位非線性越嚴重。IIR濾波器的設計方法有：脈沖響應不變法，雙線性變換法、MATLAB求系數(shù)法。IIR數(shù)字濾波器的結構任意階的IIR濾波器可通過數(shù)學分解,表示為：其中為如下的二階形式：一般有N≥M，稱N為濾波器的階數(shù)這樣就可以將任意階的IIR濾波器通過若干二階網(wǎng)絡(也稱為濾波器的二階基本節(jié))級聯(lián)起來構成,其結構如圖1所示。其中,代表第i級的二階網(wǎng)絡。對于每一個二階基本節(jié),可以轉置直接II型結構加以實現(xiàn),如圖2所示。

其線性常系數(shù)差分方程為：采用這種級聯(lián)結構實現(xiàn)IIR濾波器的優(yōu)點是每一個基本節(jié)只是關系到濾波器的某一對極點和一對零點,調整系數(shù)a0i、a1i、a2i,只單獨地調整了濾波器第i對零點而不影響其他任何零、極點。同樣,調整b1i、b2i系數(shù)、也只單獨調整了第i對極點。因此,這種結構便于準確地實現(xiàn)濾波器的零、極點,也便于調整濾波器的頻率響應性能。這種結構的另一個優(yōu)點是存儲單元需要較少,在硬件實現(xiàn)時,可以用一個二階節(jié)進行時分復用,從而降低對FPGA硬件資源的要求。IIR數(shù)字濾波器的設計IIR數(shù)字濾波器的設計實際上是求解濾波器的系數(shù)ak和bk。利用MATLAB信號處理工具箱中的濾波器設計和分析工具(FDATool)可以很方便地設計出符合應用要求的未經(jīng)量化的IIR濾波器。示例：IIR低通濾波器設計要求：低通巴特奧斯濾波器在其通帶邊緣1kHz處的增益為-3dB，12kHz處的阻帶衰減為30dB，采樣頻率為25kHz。

用MATLAB的FDATools求取濾波器系數(shù)，步驟:1)雙擊Launchpad窗口中的FilterDesignToolbox項中的FilterDesign&AnalysisTool(FDATool)2)在DesignFilter選項卡中選擇FilterType類型為Lowpass3)在DesignMethod里選擇IIR(Butterworth)4)在FilterOrder中選擇Minimumorder即最小的階數(shù)5)Frequencyspecifications里的Units選擇為Hz，輸入Fs(采樣頻率)：25000，F(xiàn)pass(通帶截止頻率)：1000，F(xiàn)stop(阻帶截止頻率):12000

注意：如果要輸入的是歸一化頻率（2πf/fs），則選擇Units為Normalized(0to1)6)輸入Apass(通帶增益):-3,Astop(阻帶增益)：307)設計好各參數(shù)后，點擊最下面的按鈕DesignFilter，生成濾波器及系數(shù)8)查看系數(shù)：菜單Analysis->FilterCoefficitions

得到的濾波器系數(shù)為Numerator:(分子多項式系數(shù))0.33460.3346Denominator:(分母多項式系數(shù))1.0（注意:該項為a0,實際運算時用不著）

-0.3308還可以直接用MATLAB的命令輸入方法求系數(shù)：如本文采用巴特沃斯濾波器，故需要在工具箱中調用的兩個函數(shù)buttord和butter的調用格式為：

[N，Wc]=buttord(wp，ws，Rp，As)

[b，a]=butter(N，Wc)

其中N為濾波器階數(shù)：wp和ws分別為通帶截止頻率矢量和阻帶截止頻率矢量，單位為π，一般需要模擬頻率指標對采樣頻率的一半作歸一化；Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減，單位dB；wc為3dB邊緣頻率矢量；b和a即為IIR公式中的系數(shù)矢量。

自行根據(jù)以上IIR數(shù)字濾波器設計方法，基于MATLAB設計一個IIR帶通濾波器，其中帶通的中心頻率為ωp0=0.5π，;通帶截止頻率ωp1=0.4π,ωp2=0.6π;通帶最大衰減αp=3dB;阻帶最小衰減αs=15dB;阻帶截止頻率ωs2=0.3π,ωs2=0.7π

(FDATool或者直接命令輸入)脈沖相應不變法設計和雙線性變換法求解濾波器的系數(shù)和

，它是數(shù)學上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準則）去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。1.用脈沖相應不變法設計IIR數(shù)字濾波器利用模擬濾波器來設計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應不變法是從濾波器的脈沖響應出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應ha(t)，即將ha(t)進行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足h(n)=ha(nT)式中,T是采樣周期。如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用采樣序列的Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關系得

(1-1)則可看出，脈沖響應不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面，這個從s到z的變換z=esT是從S平面變換到Z平面的標準變換關系式。由（1-1）式，數(shù)字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關系為

(1-2)這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內時，即

(1-3)才能使數(shù)字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應，而不產(chǎn)生混疊失真，即

|ω|<π(1-4)但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應的混疊失真，如圖所示。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。對某一模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)進行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應各周期延拓分量之間相距更遠，因而可減小頻率響應的混疊效應。脈沖響應不變法優(yōu)缺點：從以上討論可以看出，脈沖響應不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間呈線性關系ω=ΩT。因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。脈沖響應不變法的最大缺點是有頻率響應的混疊效應。所以，脈沖響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應不變法轉換為數(shù)字濾波器。當然這樣會進一步增加設計復雜性和濾波器的階數(shù)。2.用雙線性變換法設計IIR數(shù)字濾波器脈沖響應不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真。這是因為從S平面到Ｚ平面是多值的映射關系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-π/T～π/T之間，再用z=esT轉換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-π/T～π/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關系如圖1-3所示。

為了將S平面的整個虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的-π/T到π/T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn)（1-5）式中,T仍是采樣間隔。當Ω1由-π/T經(jīng)過0變化到π/T時，Ω由-∞經(jīng)過0變化到+∞，也即映射了整個jΩ軸。將式（1-5）寫成將此關系解析延拓到整個S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，則得再將S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面

z=es1T從而得到S平面和Z平面的單值映射關系為：（1-6）

（1-7）式（1-6）與式（1-7）是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（1-5）與式（1-6）的雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。首先,把z=ejω，可得（1-8）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=σ+jΩ代入式（1-8），得因此由此看出，當σ<0時，|z|<1；當σ>0時，|z|>1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。

雙線性變換法優(yōu)缺點雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應關系。S平面整個jΩ軸單值地對應于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關系。這個關系如式（1-8）所示，重寫如下：上式表明，S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關系，如圖所示。由圖看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關系接近于線性關系；但當Ω進一步增加時，ω增長得越來越慢，最后當Ω→∞時，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關系而得到的，如式（1-8）及圖1-4所示。由于這種頻率之間的非線性變換關系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖1-5所示對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。IIR濾波器和FIR濾波器的比較1、濾波器特性方面：(1)IIR濾波器可以通過調整另、極點位置實現(xiàn)較陡峭的幅頻特性。所以一般逼近函數(shù)階數(shù)較低，但難以實現(xiàn)線性相位特性。

FIR濾波器極點在z=0，無法調整。實現(xiàn)同樣的特性需要較高的階數(shù)。容易實現(xiàn)線性相位特性。(2)IIR濾波器用以逼近比較有規(guī)則的特性。對于復雜特性，難以確定逼近函數(shù)。

FIR濾波器可用分段積分或特性樣本點來逼近復雜特性。(3)IIR濾波器時延較小，特別是采取并聯(lián)實現(xiàn)方案時，容易滿足實時系統(tǒng)要求。

FIR濾波器時延為NT，一般比較大。主要用于非實時系統(tǒng)。(4)對系數(shù)誤差的靈敏度（由于系數(shù)誤差引起系統(tǒng)特性變化，或不穩(wěn)定），IIR濾波器較高，特別當極點位置靠近單位圓時。對計算中的有限字長效應敏感。

FIR不會產(chǎn)生穩(wěn)定問題。2、在實現(xiàn)方法上：(1)IIR濾波器用遞歸算法、有反饋系統(tǒng)實現(xiàn),有積累誤差產(chǎn)生。

FIR濾波器用非遞歸算法、無反饋系統(tǒng)實現(xiàn)，沒有積累誤差。(2)IIR濾波器用差分方程實現(xiàn)（可以用低階差分方程級聯(lián)或并聯(lián)實現(xiàn)）。

FIR濾波器為有限沖擊響應，可以用直接卷積實現(xiàn)；也可以用FF