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第三節(jié)盡可能地描述函數(shù)曲線:判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,尋找特殊點—極值及拐點,曲線的凸性與漸近線機動目錄上頁下頁返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用
第三章一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.
設(shè)函數(shù)則在I
內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:
無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I
內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I
內(nèi)可導(dǎo),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證畢機動目錄上頁下頁返回結(jié)束幾何上解釋:
1.導(dǎo)數(shù)大于零:切線斜率大于0,單調(diào)增
2.導(dǎo)數(shù)小于零:切線斜率小于0,單調(diào)減回憶:函數(shù)曲線在局部看成斜率為f’(x)的直線。例1.
確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,
則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束y在y在二、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時,(1)則稱為的極大值點
,稱為函數(shù)的極大值
;(2)則稱為的極小值點
,稱為函數(shù)的極小值
.極大點與極小點統(tǒng)稱為極值點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點令得不可導(dǎo)點:3)列表判別是極大點,其極大值為是極小點,其極小值為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點或端點處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點——導(dǎo)數(shù)為
0
或不存在的點:(2)
最大值最小值機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:
當(dāng)在上單調(diào)時,最值必在端點處達(dá)到.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:
顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義.
對于可導(dǎo)單調(diào)函數(shù),對應(yīng)的函數(shù)曲線(1)往上凸:位于該曲線上任一點切線的下方。該曲線被稱為上凸曲線,對應(yīng)的函數(shù)稱為上凸函數(shù)。(2)往下凸:位于該曲線上任一點切線的下方。該曲線被稱為下凸曲線,對應(yīng)的函數(shù)稱為下凸函數(shù)。
函數(shù)曲線上凸與下凸的分界點稱為拐點
.三、曲線的凸性與拐點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理3.(凸性判定法)(1)在
I內(nèi)則在I
內(nèi)是下凸的;(2)在
I內(nèi)則在
I
內(nèi)是上凸的.“證”:從前面圖像可觀察到:下凸:曲線切線斜率越來越大,即導(dǎo)函數(shù)單增;二階導(dǎo)數(shù)>0.上凸:曲線切線斜率越來越小,即導(dǎo)函數(shù)單減;二階導(dǎo)數(shù)<0.
嚴(yán)格證明見P71定理3.13:利用一階泰勒公式(P71定理3.12)可得。
機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)例4.判斷曲線的凸性.解:故曲線在上是向上凸的.說明:1)若在某點二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:則曲線的凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.例5.求曲線的凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標(biāo)令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)
及均為拐點.下凸下凸上凸機動目錄上頁下頁返回結(jié)束點M
與某一直線L的距離趨于0,四、曲線的漸近線定義.
若曲線
C上的點M
沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點時,則稱直線L為曲線C
的漸近線.或為“縱坐標(biāo)差”機動目錄上頁下頁返回結(jié)束只講:
水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例6.
求曲線的漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束五、函數(shù)圖形的描繪步驟:1.確定函數(shù)的定義域,期性;2.求并求出及3.根據(jù)第二步判別增減及上下凸區(qū)間4.求水平和垂直漸近線;5.在坐標(biāo)上描出這些特殊點,再依據(jù)上面其他三個步驟逐段描繪函數(shù)圖形.為0和不存在的點,以及對應(yīng)的極值和拐點(統(tǒng)稱特殊點);并考察其對稱性及周機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.
描繪的圖形.解:1)定義域為無對稱性及周期性.2)3)(極大)(拐點)(極小)4)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.描繪方程的圖形.解:1)定義域為2)求特殊點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3)判別曲線形態(tài)(極大)(極小)4)求漸近線為垂直漸近線無定義機動目錄上頁下頁返回結(jié)束5)繪圖(極大)(極小)綠色斜漸近線不用畫?。?!垂直漸近線特殊點
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