2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步1.4兩條直線的交點(diǎn)學(xué)案2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1。4兩條直線的交點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。會(huì)用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).2。會(huì)用方程組解的個(gè)數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系.3。會(huì)用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法解決直線過定點(diǎn)、三條直線交于一點(diǎn)等問題．知識(shí)點(diǎn)直線的交點(diǎn)思考1直線上的點(diǎn)與其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么樣的關(guān)系？思考2已知兩條直線l1與l2相交，如何用代數(shù)方法求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)？思考3由兩直線方程組成的方程組解的情況與兩條直線的位置關(guān)系有何對(duì)應(yīng)關(guān)系？梳理（1)兩直線的交點(diǎn)幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點(diǎn)AA（a，b）直線l1l1：A1x＋B1y＋C1＝0點(diǎn)A在直線l1上直線l1與l2的交點(diǎn)是A(2）兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，，A2x＋B2y＋C2＝0）)的解一組無數(shù)組直線l1與l2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)零個(gè)直線l1與l2的位置關(guān)系重合類型一求兩條直線的交點(diǎn)例1分別判斷下列直線是否相交，若相交，求出它們的交點(diǎn)．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；（3）l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.反思與感悟兩條直線相交的判定方法方法一聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交方法二兩直線斜率都存在且斜率不相等方法三兩直線的斜率一個(gè)存在，另一個(gè)不存在特別提醒：在判定兩直線是否相交時(shí),要特別注意斜率不存在的情況．跟蹤訓(xùn)練1（1）已知兩條直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交點(diǎn)在y＝－x上，那么k的值是()A．－4 B．3C．3或－4 D．±4(2)已知直線5x＋4y＝2a＋1與直線2x＋3y＝a的交點(diǎn)位于第四象限，則a的取值范圍是________．類型二求過兩條直線交點(diǎn)的直線方程例2求過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程．引申探究本例中若將“平行”改為“垂直”,又如何求解．反思與感悟求過兩條直線交點(diǎn)的直線方程，一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．也可用過兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0(不包括l2的方程）,再根據(jù)其他條件求出待定系數(shù),寫出直線方程．跟蹤訓(xùn)練2直線l經(jīng)過原點(diǎn)，且經(jīng)過另兩條直線2x＋3y＋8＝0,x－y－1＝0的交點(diǎn)，則直線l的方程為(）A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0類型三直線過定點(diǎn)問題例3無論a，b為何值，直線(2a＋b）x＋(a＋b)y＋a－b＝0經(jīng)過定點(diǎn)（）A．（3,－2) B．（－2，3)C．(－2，－3) D．（－3，－2)反思與感悟恒過定點(diǎn)問題的三種解法(1)直接法：將已知直線的方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式、斜截式或截距式方程,進(jìn)而得出定點(diǎn)．（2)任意法：任取直線系中的兩條直線，所有直線的交點(diǎn)即為這兩條直線的交點(diǎn)，也就是所有直線都過的定點(diǎn)．(3)方程法：將已知的方程整理成關(guān)于參數(shù)的方程．由于直線恒過定點(diǎn)，則關(guān)于參數(shù)的方程應(yīng)有無窮多解，進(jìn)而求出定點(diǎn)．形如A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的直線一定過定點(diǎn)，且定點(diǎn)為直線A1x＋B1y＋C1＝0和直線A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練3求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線（2m－1）x＋（m＋3)y－（m－11）＝0都經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．1．直線ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一點(diǎn)，則a的值為（）A．1B．－1C．2D．－22．經(jīng)過兩條直線3x＋4y－5＝0和3x－4y－13＝0的交點(diǎn)，且斜率為2的直線方程是(）A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－7＝0C．2x＋y＋7＝0 D．2x－y＋7＝03．經(jīng)過直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點(diǎn),且垂直于直線x－2y＝0的直線方程是(）A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝04．如圖，兩直線交點(diǎn)B的坐標(biāo)可以看作二元一次方程組________的解．5．不論m為何實(shí)數(shù)，直線(m－1）x＋(2m－1)y＝m－5恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)是________________．1。與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程為Ax＋By＋D＝0（D≠C)．與直線y＝kx＋b平行的直線系方程為y＝kx＋m（m≠b)．2．過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程：過兩條直線l1:A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0（λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2）＝0（m2＋n2≠0),是過直線l1與l2交點(diǎn)的所有直線方程．答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考1直線上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足直線方程，也就是說直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是其方程的解．反之直線的方程的每一個(gè)解都表示直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)．思考2只需寫出這兩條直線方程,然后聯(lián)立求解．思考3(1）若方程組無解,則l1∥l2；(2）若方程組有且只有一個(gè)解，則l1與l2相交；（3）若方程組有無數(shù)解，則l1與l2重合．梳理(1)A1a＋B1b＋C1＝0eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，，A2a＋B2b＋C2＝0))（2)無解無數(shù)個(gè)相交平行題型探究例1解(1)解方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x－y－7＝0，，3x＋2y－7＝0，）)得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3，,y＝－1。))因此直線l1和l2相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，－1）．（2)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－6y＋4＝0,，4x－12y＋8＝0））有無數(shù)個(gè)解，表明直線l1和l2重合．(3)方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（4x＋2y＋4＝0，,2x＋y－3＝0)）無解，表明直線l1和l2沒有公共點(diǎn)，故l1∥l2。跟蹤訓(xùn)練1(1）C(2)(－eq\f（3,2),2)例2解方法一解方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，，x＋y＋2＝0，)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－\f（3，5)，,y＝－\f(7，5）,)）所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（－eq\f（3,5），－eq\f（7，5））．又所求直線與直線3x＋y－1＝0平行，所以所求直線的斜率為－3.故所求直線方程為y＋eq\f(7，5)＝－3（x＋eq\f(3,5)）,即15x＋5y＋16＝0。方法二設(shè)所求直線方程為(2x－3y－3）＋λ(x＋y＋2）＝0，即（2＋λ)x＋（λ－3)y＋（2λ－3)＝0。（＊）由于所求直線與直線3x＋y－1＝0平行，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋λ×1－λ－3×3＝0，,2＋λ×－1－2λ－3×3≠0，)）得λ＝eq\f（11，2）。代入（*）式，得(2＋eq\f（11,2）)x＋(eq\f（11,2）－3)y＋(2×eq\f（11，2)－3)＝0,即15x＋5y＋16＝0.引申探究解設(shè)所求直線方程為（2x－3y－3）＋λ·（x＋y＋2)＝0，即（2＋λ)x＋(λ－3）y＋（2λ－3）＝0,由于所求直線與直線3x＋y－1＝0垂直，則3(2＋λ）＋（λ－3）×1＝0，得λ＝－eq\f（3,4)，所以所求直線方程為5x－15y－18＝0。跟蹤訓(xùn)練2B例3B［原直線方程可化為a（2x＋y＋1)＋b(x＋y－1）＝0，令eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋y＋1＝0，，x＋y－1＝0,))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2,，y＝3,)）所以直線經(jīng)過定點(diǎn)（－2,3）．故選B。]跟蹤訓(xùn)練3解方法一對(duì)于方程(2m－1）x＋（m＋3）y－(m－11）＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－3y－11＝0，，x＋4y＋10＝0，））得兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，－3）．將點(diǎn)(2，－3)代入方程左邊,得（2m－1）×2＋(m＋3）×（－3)－(m－11）＝0.這表明不論m取什么實(shí)數(shù),所給直線均經(jīng)過定點(diǎn)（2，－3）．方法二將已知方程（2m－1)x＋(m＋3）y－(m－11）＝0整理為（2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11）＝0.由于m取值的任意性，有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－1＝0，，－x＋3y＋11＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，，y＝－3.)）所以不論m取什么實(shí)數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點(diǎn)(2，－3)．當(dāng)堂訓(xùn)練1．B2.B3。A4。eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3))5．（9，－4)解析方法一取m＝1，得直線y＝－4.取m＝eq\f（1,2)，得直線x＝9.故兩直線的交點(diǎn)為（9，－4）．將x＝9，y＝－4代入方程，左邊＝(m－1）·9－4·（2m－1)＝m－5＝右邊，故直線恒過點(diǎn)(9，－4)．方法二直線方程可變形為（x＋2y－1）m－（