2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.3.1變量間的相關(guān)關(guān)系2.3.2兩個(gè)變量的線性相關(guān)學(xué)案3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2．3。1變量間的相關(guān)關(guān)系2．3.2兩個(gè)變量的線性相關(guān)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．理解兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的概念．2．會(huì)作散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系．3．會(huì)求回歸直線方程．［知識(shí)鏈接］1．已知直線y＝kx＋b，當(dāng)k＞0時(shí)，隨著x的逐漸增大，y值逐漸增大；2．已知直線y＝2x＋1過點(diǎn)A(2,y0），則y0＝5.3．為了反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度，常用的量是標(biāo)準(zhǔn)差，它是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離．［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］1．相關(guān)關(guān)系變量與變量之間的關(guān)系常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系，另一類是變量間確實(shí)存在的關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機(jī)性的．也就是，自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．2．散點(diǎn)圖將樣本中n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)（i＝1，2，…,n)描在平面直角坐標(biāo)系中，以表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖．3．正相關(guān)、負(fù)相關(guān)(1）正相關(guān):如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，即一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也近似的由小變大，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們稱為正相關(guān)．(2)負(fù)相關(guān)：如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布的位置是從左上角到右下角的區(qū)域，即一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值近似的由大變小，對(duì)于變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們稱為負(fù)相關(guān)．4．回歸直線的方程（1)回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程：＝x＋對(duì)應(yīng)的方程叫回歸直線的方程，簡(jiǎn)稱回歸方程．(3）回歸方程的求解過程要點(diǎn)一變量間相關(guān)關(guān)系的判斷例1在下列兩個(gè)變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系?(1)正方形邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系；（2）作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；（3)人的身高與年齡之間的關(guān)系;（4）降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系．答案(2）（4）解兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系與帶有隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系．(1）正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系．（2）作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系,但是具有相關(guān)性,因而是相關(guān)關(guān)系．(3)人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到一定時(shí)期身高就不發(fā)生明顯變化了,因而他們不具備相關(guān)關(guān)系．(4）降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系．規(guī)律方法函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．跟蹤演練1下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系，哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系（)A．正方體的棱長(zhǎng)和體積B．圓半徑和圓的面積C．正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和D．人的年齡和身高答案D解析A、B、C都是函數(shù)關(guān)系，對(duì)于A，V＝a3；對(duì)于B，S＝πr2；對(duì)于C,g(n）＝(n－2)π.而對(duì)于年齡確定的不同的人可以有不同的身高,∴選D.要點(diǎn)二散點(diǎn)圖例2(1）如圖是兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系？(2)有個(gè)男孩的年齡與身高的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下。年齡（歲)123456身高(cm）788798108115120畫出散點(diǎn)圖，并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系?如果有相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？解（1）不具有相關(guān)關(guān)系，因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖散亂地分布在坐標(biāo)平面內(nèi)，不呈線形．（2）散點(diǎn)圖是分析變量相關(guān)關(guān)系的重要工具．作出散點(diǎn)圖如圖：由圖可見，具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)．規(guī)律方法1。判斷兩個(gè)變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡(jiǎn)便方法就是繪制散點(diǎn)圖，如果圖上發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近,那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的,注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響．2．畫散點(diǎn)圖時(shí)應(yīng)注意合理選擇單位長(zhǎng)度,避免圖形過大或偏小，或者是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真,導(dǎo)致得出錯(cuò)誤結(jié)論．跟蹤演練2對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi，yi)(i＝1，2，…，10）,得散點(diǎn)圖①;對(duì)變量u,v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi）(i＝1,2,…，10)，得散點(diǎn)圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(）A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān),u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān),u與v負(fù)相關(guān)答案C要點(diǎn)三求線性回歸方程例3有一個(gè)同學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：攝氏溫度/℃－504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654(1)畫出散點(diǎn)圖；(2）從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；(3）求回歸方程；（4）如果某天的氣溫是2℃,預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù)．解（1）散點(diǎn)圖如圖所示:（2)從上圖看到，各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少．(3）從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近,因此,可用公式求出回歸方程的系數(shù)．利用計(jì)算器容易求得回歸方程eq\o（y,\s\up6（^））＝－2.352x＋147.767.（4)當(dāng)x＝2時(shí),eq\o（y，\s\up6(^））＝143.063.因此,某天的氣溫為2℃時(shí)，這天大約可以賣出143杯熱飲．規(guī)律方法1.求線性回歸方程的步驟（1）列表xi,yi，xiyi。(2）計(jì)算eq\x\to(x)，eq\x\to(y），eq\i\su(i＝1,n，x）eq\o\al（2,i），eq\i\su（i＝1，n,y)eq\o\al（2,i),eq\i\su（i＝1，n，x）iyi.(3）代入公式計(jì)算eq\o(b,\s\up6（^）)，eq\o（a，\s\up6(^））的值．(4)寫出回歸方程eq\o（y,\s\up6(^））＝eq\o（a,\s\up6（^))＋eq\o(b，\s\up6(^))x.2．求回歸直線方程的適用條件兩個(gè)變量具有線性相關(guān)性，若題目沒有說(shuō)明相關(guān)性，則必須對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)性判斷．跟蹤演練32014年元旦前夕,某市統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)了該市2013年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表:年收入x(萬(wàn)元）24466677810年飲食支出y（萬(wàn)元）0.91。41。62。02。11。91.82。12.22。3(1）如果已知y與x是線性相關(guān)的，求回歸方程;（2）若某家庭年收入為9萬(wàn)元，預(yù)測(cè)其年飲食支出．（參考數(shù)據(jù)：eq\i\su（i＝1,10,x）iyi＝117.7，eq\i\su（i＝1，10，x）eq\o\al(2，i）＝406)解(1）依題意可計(jì)算得:eq\x\to(x）＝6，eq\x\to（y）＝1.83，eq\x\to（x）2＝36，eq\x\to(x)eq\x\to（y）＝10.98,又∵eq\i\su（i＝1,10,x）iyi＝117。7,eq\i\su(i＝1,10，x）eq\o\al(2,i）＝406,∴b＝eq\f(\i\su（i＝1，10，x）iyi－10\x\to(x)\x\to(y)，\i\su(i＝1,10,x)\o\al（2，i）－10\x\to(x)2）≈0。17,a＝eq\x\to（y）－beq\x\to（x)＝0。81,∴eq\o(y,\s\up6(^）)＝0.17x＋0。81.∴所求的回歸方程為eq\o（y，\s\up6(^))＝0.17x＋0。81.（2)當(dāng)x＝9時(shí)，eq\o(y,\s\up6（^））＝0.17×9＋0。81＝2。34（萬(wàn)元)．可估計(jì)大多數(shù)年收入為9萬(wàn)元的家庭每年飲食支出約為2.34萬(wàn)元。1．下列說(shuō)法正確的是()A．任何兩個(gè)變量之間都有相關(guān)關(guān)系B．根據(jù)身高和體重的相關(guān)關(guān)系可以確定身高對(duì)應(yīng)的體重值C．相關(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系D．以上答案都不對(duì)答案C解析變量之間的相關(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系，它也能反映變量之間的某種依賴關(guān)系．利用相關(guān)關(guān)系可以估計(jì)某些相關(guān)數(shù)據(jù),但是不能確定準(zhǔn)確的數(shù)值．2．某商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是(）A。eq\o（y，\s\up6(^)）＝－10x＋200B。eq\o(y,\s\up6（^)）＝10x＋200C.eq\o（y，\s\up6（^)）＝－10x－200D.eq\o（y,\s\up6(^))＝10x－200答案A解析∵y與x負(fù)相關(guān)，∴排除B、D，又∵C項(xiàng)中x>0時(shí),eq\o(y,\s\up6(^))〈0不合題意，∴C錯(cuò)．3．設(shè)有一個(gè)回歸方程為eq\o(y,\s\up6（^)）＝－1.5x＋2，則變量x增加一個(gè)單位時(shí)（)A．y平均增加1.5個(gè)單位 B．y平均增加2個(gè)單位C．y平均減少1.5個(gè)單位 D．y平均減少2個(gè)單位答案C解析∵兩個(gè)變量線性負(fù)相關(guān),∴變量x增加一個(gè)單位，y平均減少1。5個(gè)單位．4．(2013·濱州高一檢測(cè)）設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg）與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o（y，\s\up6（^）)＝0。85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是(）A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（eq\x\to(x），eq\x\to（y）)C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0。85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg答案D解析當(dāng)x＝170時(shí)，eq\o（y，\s\up6(^）)＝0。85×170－85.71＝58。79,體重的估計(jì)值為58。79kg.5．正常情況下，年齡在18歲到38歲的人，體重y（kg）對(duì)身高x（cm）的回歸方程為eq\o(y，\s\up6(^)）＝0.72x－58.2，張紅同學(xué)(20歲）身高178cm，她的體重應(yīng)該在________kg左右．答案69.96解析用回歸方程對(duì)身高為178cm的人的體重進(jìn)行預(yù)測(cè)，當(dāng)x＝178時(shí)，eq\o(y,\s\up6（^)）＝0。72×178－58。2＝69.96（kg）．1．判斷變量之間有無(wú)相關(guān)關(guān)系，一種簡(jiǎn)便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖．根據(jù)散點(diǎn)圖,可以很容易看出兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系,是不是線性相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．2．求回歸直線方程時(shí)應(yīng)注意的問題（1）知道x與y呈線性相關(guān)關(guān)系,無(wú)需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，如果兩個(gè)變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō)，它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回歸方程也是毫無(wú)意義的,而且用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的量也是不可信的．(2)用公式計(jì)算eq\o（a，\s\up6(^）），eq\o(b,\s\up6（^））的值時(shí)，要先算出eq\o(b，\s\up6（^)），然后才能算出eq\o(a，\s\up6(^)）.3