泊松與拉普拉斯方程

2.3.1電位函數(shù)

一、電位函數(shù)與電位差

電位函數(shù)1)電位函數(shù)為電場(chǎng)的輔助函數(shù)，是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)；2)“－”表示電場(chǎng)指向電位減小最快的方向；3)在直角坐標(biāo)系中引入電位函數(shù)：可由一標(biāo)量函數(shù)表示。關(guān)于電位函數(shù)的討論

電位差反映了電場(chǎng)空間中不同位置處電位的變化量。

電位差的計(jì)算：

電位差（電壓）意義：A、B兩點(diǎn)間的電位差等于將單位點(diǎn)電荷從B點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)過(guò)程中電場(chǎng)力所作的功。兩點(diǎn)間電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無(wú)關(guān)關(guān)于電位差的說(shuō)明電場(chǎng)空間中兩點(diǎn)間電位差為：空間中任意點(diǎn)間的電位為：

電位參考點(diǎn)顯然，電位函數(shù)不是唯一確定的，可以加上任意一個(gè)常數(shù)仍表示同一個(gè)電場(chǎng)，即為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，必須選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零電位確定值(電位差)兩點(diǎn)間電位差有定值1)應(yīng)使電位表達(dá)式有意義2)應(yīng)使電位表達(dá)式最簡(jiǎn)單3)同一個(gè)問(wèn)題只能有一個(gè)參考點(diǎn)4)電位參考點(diǎn)電位一般為0；選擇電位參考點(diǎn)的原則:二、電位函數(shù)的求解

點(diǎn)電荷的電位選取Q點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則若電位參考點(diǎn)Q在無(wú)窮遠(yuǎn)處，即則：點(diǎn)電荷在空間中產(chǎn)生的電位

說(shuō)明：若電荷分布在有限區(qū)域，一般選擇無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電位參考點(diǎn)體電荷：面電荷：線電荷：式中：說(shuō)明：若參考點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處，則c=0。引入電位函數(shù)的意義：簡(jiǎn)化電場(chǎng)的求解！在某些情況下，直接求解電場(chǎng)強(qiáng)度很困難，但求解電位函數(shù)則相對(duì)簡(jiǎn)單，因此可以通過(guò)先求電位函數(shù)，再關(guān)系得到電場(chǎng)解。

分布電荷體系在空間中產(chǎn)生的電位電勢(shì)(電位）的計(jì)算方法:1)利用點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式和疊加原理2)根據(jù)已知的場(chǎng)強(qiáng)分布,按定義來(lái)計(jì)算電勢(shì)的計(jì)算例題例1.均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢(shì)例2.均勻帶電球面的電勢(shì)例3.均勻帶電球體的電勢(shì)例4.電偶極子的電勢(shì)ydlRxorxP例1.半徑為R的均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢(shì)分布。帶電量為q,p點(diǎn)離圓心距離為x.而電荷元?jiǎng)t電荷線密度其在p點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為則例2.半徑為R的均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢(shì)分布。解：以O(shè)為圓心，取半徑為L(zhǎng)L+dL的薄圓環(huán)，到P點(diǎn)距離P點(diǎn)電勢(shì)：OLdLpxR帶電dq=ds=?2L?dL由高斯定理知，電場(chǎng)分布為R解：例3.求一均勻帶電球面內(nèi)外的電勢(shì)分布。P.

1.當(dāng)r<R時(shí)

3.電勢(shì)分布

2.當(dāng)r>R時(shí)r.Pr電勢(shì)分布曲線場(chǎng)強(qiáng)分布曲線EVRRrrOO結(jié)論：均勻帶電球面，球內(nèi)的電勢(shì)等于球表面的電勢(shì)，球外的電勢(shì)等效于將電荷集中于球心的點(diǎn)電荷的電勢(shì)。由高斯定理知，電場(chǎng)分布為R解：例4.求一均勻帶電球體內(nèi)外的電勢(shì)分布。P.

1.當(dāng)r<R時(shí)

3.電勢(shì)分布

2.當(dāng)r>R時(shí)r.Pr例5.求一均勻帶電同心球面的電勢(shì)分布。半徑為R1和R2,所帶電荷為q1和q2。oR2R1q1q2ⅠⅡⅢ解：均勻帶電球面的電勢(shì)分布

無(wú)限長(zhǎng)線電荷的電位電位參考點(diǎn)不能位于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，否則表達(dá)式無(wú)意義。選擇有限遠(yuǎn)點(diǎn)Q作為參考點(diǎn)。根據(jù)表達(dá)式最簡(jiǎn)單原則，選取r=1柱面為電位參考面，即得：無(wú)限長(zhǎng)線電流在空間中產(chǎn)生的電位

2.3.2泊松方程拉普拉斯方程

柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下的拉普拉斯運(yùn)算見附錄。

標(biāo)量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算在直角坐標(biāo)系中：

矢量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算在直角坐標(biāo)系中：對(duì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度求散度的運(yùn)算稱為拉普拉斯運(yùn)算。記作：式中：稱為拉普拉斯算符。在圓柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：一、靜電場(chǎng)電位方程的建立即：電位的泊松方程在無(wú)源區(qū)域，電位的拉普拉斯方程二、電位方程的應(yīng)用可用于求解靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。

例.同軸傳輸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑外導(dǎo)體半徑已知內(nèi)導(dǎo)體的電位為U0，外導(dǎo)體接地。試求同軸傳輸線內(nèi)的電位和電場(chǎng)分布。解：線內(nèi)電位滿足拉普拉斯方程且邊界條件：根據(jù)方程有：積分后有：加入邊界條件：于是：1、場(chǎng)源積分法積分困難，對(duì)大多數(shù)問(wèn)題不能得出解析解。2、應(yīng)用高斯定理求解只能應(yīng)用于電荷成對(duì)稱分布的問(wèn)題。3、間接求解法先求解空間電位分布，再求解空間電場(chǎng)。在實(shí)際工程應(yīng)用中，間接求解法應(yīng)用最為廣泛，適用于邊值問(wèn)題的求解。小結(jié)：求空間電場(chǎng)分布的方法電偶極子是一種非常重要的物理模型電偶極矩（電矩）(方向由負(fù)電荷指向正電荷)偶極子電介質(zhì)(中性分子)就可以作一個(gè)電偶極子等效。此即電介質(zhì)的電偶極子模型。1、電偶極子中垂線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。二、電偶極子激發(fā)的靜電場(chǎng)2、電偶極子延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解（1）r電偶極矩（電矩）++用矢量形式