信息光學(xué)計算

1.采用單位振幅的單色平面波垂直照明具有下述透過率函數(shù)的孔徑:求菲涅耳衍射圖樣在孔徑軸上的強度分布。解：(1)設(shè)入射光場為U0(x0，y0)，由題意，知U0(x0，y0)=1。圓形孔徑的透射率函數(shù)為：t(x0，y0)=。。。則孔徑平面透射光場分布為：U(x0，y0)=t(x0，y0)=。。。由菲涅耳衍射公式可得衍射光場為：令：x=y=0時，得到衍射圖樣在軸上的復(fù)振幅為：將積分換用極坐標系作運算，得軸上復(fù)振幅分布為：則孔徑軸上強度分布為：由上式可知，圓孔菲涅耳衍射圖樣其中心光強沿孔徑軸是明暗交替變換的，而且：當，即時，I(0,0)=0,為極小值；當，即時，I(0,0)=4,為極小值。2.余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過率為：t(x)=a+bcos(2πx/d)，式中，d為光柵的周期，a>

b>0。觀察平面與光柵相距z。當z分別取下述值時，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強度分布。式中：zT=2d2/λ為泰伯距離。（1）z=zT=2d2/λ（2）z=zT/2=d2/λ解：光柵與相距為z的觀察平面上的光場分布，這是一個典型的菲涅耳衍射的問題。可以在頻域來求解這個問題。當單色平面波垂直照明光柵時，光柵透射光場為：U(x0)=At(x0)=A[a+bcos(2πx0/d)]，式中：A為平面波振幅。該透射光場對應(yīng)的空間頻譜為：

，根據(jù)菲涅耳衍射的傳遞函數(shù)式：可得到觀察平面上的光場的頻譜為：下面分兩種情況進行討論：(1)：

當z=zT=2d2/λ時，e-iπλz/d2=1，則有：對上式作傅里葉逆變換，可得到觀察平面上的光場復(fù)振幅分布為：強度分布為：從上式可以看出，強度分布與光柵透射場分布相同。(2)當z=zT/2=d2/λ時，

e-iπλz/d2=-1，則有：對上式作傅里葉逆變換，可得到觀察平面上的光場復(fù)振幅分布為：強度分布為：強度分布與光柵透射場分布相比，像產(chǎn)生π相移。3.環(huán)形孔徑的外徑為2a，內(nèi)徑為2εa(0<ε<1)。其透射率可以表示為：用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，求距離為z的觀察屏上夫瑯禾費衍射圖樣的強度分布。解：采用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，則孔徑平面的透射光場為：可以進一步表示為兩個圓域函數(shù)的差值，即：其傅里葉-貝塞爾變換式為：式中：ρ=r/λz。把上式代入夫瑯禾費衍射公式，則得到孔徑的夫瑯禾費衍射光場分布為：這樣，可得到圓環(huán)夫瑯禾費衍射的強度分布為：4.線光柵的縫寬為a,光柵常數(shù)為d,光柵整體孔徑是邊長L的正方形。試對下述條件，分別確定a和d之間的關(guān)系：(1)光柵的夫瑯禾費衍射圖樣中缺少偶數(shù)級。(2)光柵的夫瑯禾費衍射圖樣中第三級為極小。解：許多等寬度的狹縫等間隔地平行排列，是最簡單的透射型振幅光柵，稱為線光柵。先不考慮光柵的有限大小，認為光柵是由無窮多個平行狹縫構(gòu)成的。每條狹縫的寬度均為a，相鄰縫中心距，即光柵常柵為d，d>a。光柵透過率可以表示為一維卷積形式：采用單位振幅的單色平面波垂直照射衍光柵，則透射光場等于光柵的復(fù)振幅透過率:U(x0,y0)=t(x0,y0)，其對應(yīng)的傅里葉變換式為：把上式代入夫瑯禾費衍射公式，得到夫瑯禾費衍射圖樣的復(fù)振幅分布為：強度分布為：上式就是光柵的夫瑯禾費衍射圖樣。當單縫衍射的零點位置與某些衍射級重合時，這些衍射級就會消失。(1)若夫瑯禾費衍射圖樣中缺少偶數(shù)級(見左下圖)，則要求：2n/d=n/a(n=1,2,...)，即d=2a(2)若夫瑯禾費衍射圖樣中第三級極小(見右下圖)，則要求3/d=1/a，即d=3a5.在透明玻璃板上有大量(N)無規(guī)則分布的不透明小圓顆粒,它們的半徑都是a。采用單位振幅的單色平面波垂直照明,求相距為z的觀察平面上的夫瑯禾費衍射圖樣的強度分布。解：有N個無規(guī)則分布的不透明圓顆粒的透明玻璃板與這些不透明圓顆粒位置有N個透明圓孔的不透明玻璃板是互補屏。因此，可通過求解N個無規(guī)則透明圓孔的不透明玻璃板的衍射圖樣強度分布間接求解。有N個無規(guī)則透明圓孔的不透明玻璃的復(fù)振幅透過率函數(shù)可以表示為：式中xn’,yn’是各個小圓孔的中心位置。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，玻璃板透射的光場分布為：U(x0，y0)=t(x0，y0)=...對上式作傅里葉變換，有：將上式代入夫瑯禾費衍射公式，則得到觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣的復(fù)振幅分布為：強度分布為：因為N個孔徑無規(guī)則排列，所以有：這樣，強度分布最終簡化為：所以，N個無規(guī)則分布的小孔，其衍射圖樣簡單的就是單個小孔衍射強度的N倍。N個無規(guī)則分布的不透明圓顆粒的透明玻璃板的透過率表示為[1-t(x0,y0)]，其傅里葉譜為：根據(jù)巴比涅原理，衍射圖樣的強度分布除中心有一個亮點

外，其余部分強度分布應(yīng)該與上式所表達的I(x,y)相同。6.一個衍射屏具有下述圓對稱的復(fù)振幅透過率函數(shù)(見下圖)(1)這個屏的作用類似于透鏡，為什么？(2)給出此屏的焦距表達式？(3)這種屏作成像元件它會受到什么性質(zhì)的限制(特別對于多色物體成像)？解：(1)此衍射屏的復(fù)振幅透過率如圖所示，可把它表示為如下直角坐標形式：式中，中括號內(nèi)的第一項僅僅是使直接透射光振幅衰減，其他兩項指數(shù)項與透鏡相位變換因子：比較，形式相同。當用平面波垂直照射(2)把衍射屏復(fù)振幅透過率中的復(fù)指數(shù)項與透鏡的相位變換因子相比較，便得相應(yīng)的焦距，即對于項，令a=k/(2f1)，則有f1=k/2a=π/λa>0，焦距為正，相當于會聚透鏡。對于項，令a=-k/(2f2)，則有f2=-k/2a=-π/λa<0，焦距為負，相當于發(fā)散透鏡。對于1/2項，平行光直接透過，僅振幅衰減，相當于一個振幅衰減片，可視為f3=∞。(3)由于該衍射屏有三重焦距,當用作成像裝置時,便可以對同一物體形成三個像。例如對無窮遠的點光源,將分別在屏的兩側(cè)對稱位置形成實像和虛像,而另一個像在無窮遠(直接透射光)。如下圖所示。當觀察者觀察其中一個像時，會同時看到另外的離焦像，無法分離開。若用接收屏來接收，則在任何一個像面上都會有離焦像形成的背景干擾。此外，對于多色物體來說，嚴重的色差也是一個重要的限制，因為焦距都與波長成反比。若用白光作光源，則在像面上可看到嚴重的色散現(xiàn)象。如取：λred=690nm，λblue=469nm，則有：這樣大的色差是無法用作成像裝置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到非常嚴重的色散現(xiàn)象。這種衍射屏實際就是同軸形式的點源全息圖。時，這兩項的作用是分別產(chǎn)生會聚球面波和發(fā)散球面波。因此在成像性質(zhì)和傅里葉變換性質(zhì)上該衍射屏都類似于透鏡。因子表明該屏具有半徑為l的圓形孔徑。7.圖3所示相干成像系統(tǒng)中，物體的復(fù)振幅透過率為:為了使像面能得到它的像，問(1)

若采用圓形光闌，其直徑應(yīng)大于多少？

(2)若采用矩形光闌，各邊邊長應(yīng)大于多少？解：物體的頻譜為：其頻譜如下圖所示。物體有三個頻譜分量，在譜面上的位置分別(0,0),(ζa,

ηb),(-ζa,-

ηb)。要使像面上得到物體的像，則必段要求這三個頻率分量都通過系統(tǒng)，即系統(tǒng)的截止頻率要都要大于這三個頻率分量中任何一個分量的頻率。(1)若采用圓形光闌，假設(shè)光闌直徑為D，系統(tǒng)的截止頻率為：

ζ0=D/(2λf)，根據(jù)上面的分析，要使像平面得到物體的像，必須要求即要注(2)若采用矩形光闌，假設(shè)其大小為a×b，則系統(tǒng)截止頻率為：

根據(jù)上面的分析，要使像平面得到物體的像，必須要求即要求8.一個非相干成像系統(tǒng),出瞳由兩個正方形孔構(gòu)成。如下圖所示，正方形孔的邊長a=1cm,兩孔中心距b=3cm。若光波波長λ=0.5μm，出瞳與像面距離di=10cm，求系統(tǒng)的OTF，畫出沿fx和fy軸的截面圖。解：假定這是一個衍射受限的非相干成像系統(tǒng)。根據(jù)OTF的幾何解釋,光學(xué)傳遞函數(shù)為：在ζ

軸上，ζ=0。左下圖表示中心在(0,λdiη/2)和(0,-λdiη/2)的兩個錯開的光瞳。重疊面積和總面積S0同時增加一倍，兩者比值保持不變。因而H(0,η)與單個正方形孔情況下沿ζ軸的OTF相同,即有H(0,η)=tri(η/2ζ0),式中:tri(η/2ζ0=a/λdi=[10/(100×0.5)]×103mm-1=200mm-1。其截面圖如右下圖所示。式中:S0是光瞳面積；S(ζ，η)是中心位于和的兩個平移光瞳的重疊面積。在ζ軸上，η=0，根據(jù)重疊情況的變換，可分為四個區(qū)間進行討論：(1)如左下圖所示，當時，此時重疊區(qū)面積與總面積的比值與單個孔的情況相同，因此(2)如右下圖所示，當，因為b=3，即時，兩個孔相互錯開，重疊面積為零，因此H(ζ，0)=0(3)如下圖所示，當或即

時，只有一個孔發(fā)生重疊，但總面積是兩個孔的面積，因此OTF的大小只是第一種情況的一半，即(4)如右下圖所示，當時，光瞳完全錯開,無重疊部分,即:其沿ζ軸的光學(xué)傳遞函數(shù)截面圖如下圖所示。9.下圖所示成像系統(tǒng),光闌為雙縫,縫寬為a,中心間隔為d,照明光波長為λ。求下述情況下系統(tǒng)的脈沖面積響應(yīng)和傳遞函數(shù),畫出它們的截面圖.(1)相干照明;(2)非相干照明。解：對于相干照明情況下，光瞳函數(shù)為：

相干傳遞函數(shù)為：對應(yīng)的相干脈沖響應(yīng)為：

脈沖響應(yīng)和傳遞函數(shù)的截面圖如下圖所示。對非相干照明，利用上面計算的結(jié)果，非相干脈沖響應(yīng)為：則非相干傳遞函數(shù)為：脈沖響應(yīng)和傳遞函數(shù)的截面圖如下圖所示。10.制作一全息圖,記錄時用的是氬離子激光器波長為488.0nm的光,而成像時則是用He-Ne激光器波長為632.8nm的光。(1)若zp=∞，zr=∞，z0=10cm,問像距zi是多