圓形跑道問題,趕火車的策略,奔波問題-答案

數(shù)學(xué)建模行程問題有關(guān)交通的數(shù)學(xué)模型行程問題一、圓形跑道問題二、趕火車的策略三、奔波問題甲，乙兩人分別從直徑AB兩端沿圓形跑道同時(shí)相向起跑，第一次相遇時(shí)離A點(diǎn)50米，第二次相遇時(shí)離B點(diǎn)50米，求跑道總長。（假設(shè)甲，乙兩人在圓形跑道上始終做勻速運(yùn)動）另外：1.能否確定第三次、第四次、…、第n次兩人相遇的地點(diǎn)嗎？2.這樣跑下去，甲乙兩人會在A處或B處相遇嗎？一、圓形跑道問題…今有12名旅客要趕往40千米遠(yuǎn)的一個(gè)火車站去乘火車，離開車時(shí)間只有3個(gè)小時(shí)了，他們步行的速度為每小時(shí)4千米，靠走路是來不及了。唯一可以利用的交通工具是一輛小汽車，但這輛小汽車連司機(jī)在內(nèi)最多只能乘坐5人，汽車的速度為每小時(shí)60千米。問這12名旅客能趕上火車嗎？二、趕火車的策略

用汽車來回送這12名旅客要分3趟，總路程為所需的時(shí)間為因此，單靠汽車來回接送旅客是無法讓12名旅客全部趕上火車的。如果在汽車來回接送前一趟旅客的同時(shí)，讓其他旅客先步行，則可以節(jié)省一點(diǎn)時(shí)間。以下為具體計(jì)算過程：方案2勉強(qiáng)趕到的方案方案1不能趕到的方案第一趟，設(shè)汽車來回共用了和其他旅客的總路程為一個(gè)來回，所以解得

此時(shí)，剩下的8名旅客與車站的距離為第二趟，設(shè)汽車來回共用了小時(shí)，那么解得

此時(shí)剩下的4名旅客與車站的距離為小時(shí)，這時(shí)汽車第三趟，汽車用了因此，總共需用時(shí)間約為用這種方法，在最后4名旅客趕到火車站時(shí)離開車還有9分鐘，從理論上說，可以趕得上。但是，我們在計(jì)算時(shí)忽略了旅客上下車以及汽車掉頭等所用的時(shí)間。因此，趕上火車是很勉強(qiáng)的。方案3最快的方案。先讓汽車把4名旅客送到中途某處，再讓這4名旅客步行（此時(shí)其他8名旅客也在步行）；接著汽車回來再送4名旅客（剩下的4名旅客繼續(xù)步行），追上前面的4名旅客后也讓他們下車一起步行了最后回來接剩下的4名旅客到火車站。為了省時(shí)，必須適當(dāng)選取第一批旅客的下車地點(diǎn)，使得送最后一批旅客的汽車與前面8名旅客同事到達(dá)火車站。在整個(gè)過程中，每名旅客不是在乘車就是在步行，沒有一名旅客是在原地浪費(fèi)時(shí)間，所以，這是一種最快到達(dá)火車站的方案。解法1，設(shè)汽車送第一批旅客行駛他們下車步行，此時(shí)其他旅客步行了千米后讓它們之間相差了于步行旅客的速度都一樣，所以兩批步行旅客之回行駛兩趟，每來回一趟所用的時(shí)間為由于汽車來回兩趟所用的時(shí)間恰好是第一批旅客千米的時(shí)間，故千米。在以后的時(shí)間里，由間始終相差千米。而汽車要在這段距離間來步行解得所需的總時(shí)間為這說明，這個(gè)方案可以擠出大約28分鐘的空余時(shí)間，足以彌補(bǔ)我們在計(jì)算時(shí)所忽略的一些時(shí)間。因此，這12名旅客可以趕上火車。解法2設(shè)每組旅客坐車時(shí)間為小時(shí)，則步行時(shí)間小時(shí)。每個(gè)空車回程所用時(shí)間為而汽車共行駛了3個(gè)去程和2個(gè)回程，且汽車所用的總時(shí)間與每一組旅客所用的總時(shí)間相等，即解得

為由此可知，步行時(shí)間為所以，這12名旅客全部趕到火車站的時(shí)間是：兩兄妹分別在離家2千米和1千米且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時(shí)放學(xué)后分別以4千米/小時(shí)和2千米/小時(shí)的速度步行回家，一小狗以6千米/小時(shí)的速度從哥哥處奔向妹妹，又從妹妹處奔向哥哥，如此往返直至回家中，問小狗奔波了多少路程？三、奔波問題有關(guān)交通的數(shù)學(xué)模型一、交通信號燈的管理二、交通路口的紅綠燈模型問題背景:溫州七中高一段學(xué)生到人民路城開天橋下的十字路口，希望通過對十字路口紅綠燈開設(shè)時(shí)間及車流量調(diào)查，來粗略研究一下有關(guān)交通的數(shù)學(xué)模型。為此，先讓學(xué)生分組去觀察，把得到的數(shù)據(jù)取平均，得到了下面一組數(shù)據(jù)：東西方向綠燈即南北方向紅燈的時(shí)間為49秒；南北方向綠燈即東西方向紅燈的時(shí)間為39秒，所以紅綠燈變換一個(gè)周期的時(shí)間為88秒。在紅綠燈變換的一個(gè)周期內(nèi)，相應(yīng)的車流量：東西方向平均為30輛，南北方向平均為24輛。這組數(shù)據(jù)說明了什么問題呢？在紅綠燈變換的一個(gè)周期時(shí)間T內(nèi)，從東西方向到達(dá)十字路口的車輛為H，從南北方向到達(dá)十字路口的車輛數(shù)為V,問如何確定十字路口某個(gè)方向紅燈與綠燈點(diǎn)亮的時(shí)間更合理？一、交通信號燈的管理(1)黃燈時(shí)間忽略不計(jì)；只考慮機(jī)動車，不考慮人流量及非機(jī)動車輛；只考慮東西、南北方向，不考慮拐彎的情況。(2)車流量均勻。(3)一個(gè)周期內(nèi)，東西向綠燈，南北向紅燈時(shí)間相等；東西向與南北向周期相同。分析：這里所謂的合理，就是從整體上看，在紅綠燈變換的一個(gè)周期內(nèi)，車輛在此路口的滯留總時(shí)間最少。模型假設(shè)(1)黃燈時(shí)間忽略不計(jì)；只考慮機(jī)動車，不考慮人流量及非機(jī)動車輛；只考慮東西、南北方向，不考慮拐彎的情況。(2)車流量均勻。(3)一個(gè)周期內(nèi)，東西向綠燈，南北向紅燈時(shí)間相等；東西向與南北向周期相同。建立模型

設(shè)東西方向綠燈時(shí)間（即南北方向紅燈時(shí)間）為t秒，則東西方向紅燈時(shí)間（即南北方向綠燈時(shí)間）為（T-t）秒。設(shè)一個(gè)周期內(nèi)車輛在此路口的滯留總時(shí)間為y秒。根據(jù)假設(shè)，一個(gè)周期內(nèi)車輛在此路口的滯留總時(shí)間y分成兩部分，一部分是南北方向車輛在此路口，另一部分是東西方向車輛在此下面計(jì)算南北方向車輛在此路口滯留的時(shí)間滯留的時(shí)間路口滯留的時(shí)間

在一個(gè)周期中，從南北方向到達(dá)路口的車輛數(shù)為V，該周期中你那北方向亮紅燈的比率是t/T，需停車等待的車輛數(shù)是這些車輛等待時(shí)間最由此可知，南北方向車輛在此路口滯留的短為0（剛停下，紅燈就轉(zhuǎn)換為綠燈），最長為t（到達(dá)路口時(shí)，綠燈剛轉(zhuǎn)換為紅燈），由假設(shè)（2）“車流量均勻”可知，他們的平均等待時(shí)間是時(shí)間為同理，東西方向車輛在此路口滯留的時(shí)間為所以模型求解是關(guān)于t的二次函數(shù)，容易求得當(dāng)時(shí)，y取得最小值。函數(shù)取

“問題背景”中調(diào)查的數(shù)據(jù)，即則