微專題-圓錐曲線中的最值問題(解析版)

專題30錐曲線中的最值問題【考情分析】與圓錐曲線有關的最值和范圍問題，因其考查的知識容量大、分析能力要求高、區(qū)分度高而成為高考命題者青睞的一個熱點。江蘇高考試題結構平穩(wěn)，題量均勻.每份試卷解析幾何基本上是1道小題和1道大題，平均分值19分，實際情況與理論權重基本吻合；涉及知識點廣.雖然解析幾何的題量不多，分值僅占總分的13%，但涉及到的知識點分布較廣，覆蓋面較大；注重與其他內容的交匯。圓錐曲線中的最值問題，范圍問題都是考查學生綜合能力的載體.俗話說：他山之石可以攻玉.在研究這幾年外省新課程卷解析幾何試題時，就很有啟發(fā)性.比如2010年安徽卷理科19題，該題入題口寬，既可用傳統(tǒng)的聯(lián)立直線與曲線，從方程的角度解決，也可利用點在曲線上的本質，用整體運算、對稱運算的方法求解.再比如2011年上海卷理科23題，主要涉及到中學最常見的幾個軌跡，通過定義點到線段的距離這一新概念設置了三個問題，特別是第三問，呈現(xiàn)給學生三個選擇，學生可根據(jù)自已的實際情況選擇答題，當然不同層次的問題，評分也不一樣，體現(xiàn)讓不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展【備考策略】與圓錐曲線有關的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：結合定義利用圖形中幾何量之間的大小關系；不等式(組)求解法：利用題意結合圖形(如點在曲線內等)列出所討論的參數(shù)適合的不等式(組)，通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行巧妙的構思；【激活思維】x2 y2已知雙曲線一一S=1(a〉0,b〉0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60。的直線與雙曲a2b2線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是［2,+8)x2y2?是雙曲線云^―=1的右支上一點，M、N分別是圓(x+5"+y2=4和(x—5*+y2=1上916的點，則|PM—|PN|的最大值為乙TOC\o"1-5"\h\z… 一= 4拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是-已知拋物線y2=4x，過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x,y),B(x,y)兩點，則y2+y21 1 2 2 1 2的最小值是 32 . _已知點M(-2,0)，N(2,0)，動點P滿足條件IPMI-IPN1=2巨.記動點P的軌跡為W.uuoruuur(I)求W的方程;uuoruuur(II)若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求OA-OB的最小值.解：(I)依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，X2y2 ,所求方程為：3—^=1(x〉。)(II)當直線AB的斜率不存在時，設直線AB的方；程為x=x0,此時A(x0，Jx2—2)，B(x0，—Jx2—2)，OA-OB=2

當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+b,X2V2 -代入雙曲線方程—^―=1中，得：(1—k2)x2—2kbx—b2—2=0依題意可知方程1。有兩個不相等的正數(shù)根，設A(xi5yi),B(x2,y2),則A=4k2b2—4(1A=4k2b2—4(1—k2)?(—b2—2)>02kb八〈x+x= >01 2 1—k2b2+2八|X1X2=百>0uurtor又OA?OB=xix2+yiy2=xix2+(kx+b)解得|k|〉1,=(1+k2)xx+kbuuoruur綜上可知QA?OB的最小值為2(%+%)(kx2+b)22k2+2一, 4+b2= =2+ >2k2—1 k2—1【典型示例】求拋物線y=72上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值?分析一：設拋物線上任一點坐標為P(x0，-弋)，14x—3x2—813(x-3)2+204由點到直線的距離公式得p到直線的距離d(x0)二—一=一y——二＞3，TOC\o"1-5"\h\z4當%=3時’d(x0)取得最大值3，分析二：設拋物線上點P(七，-x0)到直線4x+3y-8=0距離最小，則過P且與拋物線相切的直線與4x+3y-8=0平行，4 2 2 4故y'(x0)=-2x0=-3，二x0=3，二P(3，—9)，，4、14x_+3x(-_)-81』9 4此時d=——3——5一9 =3，.分析三：設直線方程為4x+3y+C=0則當l與拋物線相切時l與4x+3y-8=0間的距離為所求最小，y=—x2 4得4x-3x2+C=0，AA=16+12C=0，Ac=-—，此時x+3y+C=0 34I—8—(——)1/, 3 4=5 —【分類解析】

例1:已知橢圓w+M=1，A（4,0）,B（2,2）是橢圓內的兩點，P是橢圓上任一點，求：（1）求51PAI+IPBI的最小值；（2）求IPAI+IPBI的最小值和最大值4分析：（1）A為橢圓的右焦點。作PQ±右準線于點Q，則由橢圓的第二定義IPA=e=5,IPQI???5IPAI+IPBI=IPQI+IPBI,4顯然點P應是過B向右準線作垂線與橢圓的交點，最小17~4（2）由橢圓的第一定義，設C為橢圓的左焦點，則IPAI=2a-1PCI:.IPAI+1PBI=IPAI=2a-1PCI=10+(IPBI-1PCI)，根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊，當P運動到與B、C成一條直線時，便可取得最大和最小值。當P到P〃位置時，IPBI-1PCI=IBCI，IPAI+1PBI有最大值，最大值為10+IBCI=10+2偵'10；當P到P'位置時，IPBI—IPCI=—IBCI，IPAI+IPBI有最小值，最小值為10-1BCI=10-2而.（數(shù)形結合思想、橢圓定義、最值問題的結合）變式：點A（3,2）為定點，點F是拋物線y2=4x的焦點，點P在拋物線y2=4x上移動，若|PA|+|PF|取得最小值，求點P的坐標。解：拋物線y2=4x的準線方程為x=-i，設P到準線的距離為d，則|PA|+|PF|=|PA|+d。要使|PA|+|PF取得最小值，由圖3可知過A點的直線與準線垂直時，|PA|+|PF取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）。例2:已知橢圓的中心在0,右焦點為F，右準線為L，若在L上存在點M，使線段OM的垂直平分線經(jīng)過點F，求橢圓的離心率e的取值范圍？解：如果注意到形助數(shù)的特點，借助平面幾何知識的最值構建使問題簡單化，由于線段0M的垂直平分線經(jīng)過點F，則MF=OF=c,利用平面幾何折線段大于或等于直線段（中心到準線之間的距a2 、-v'2離），則有2c巳..e，c2..?橢圓的離心率。的取值范圍橢圓的離心率。的取值范圍為X2V2變式1:已知雙曲線^^-b-=1,(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,點？在雙曲線的右支上，且|PF11=4|PF2|,求此雙曲線的離心率。的最大值？1 2 5解：雙曲線的離心率。的最大值為日X2V2變式2:已知橢圓方程為云+b-=1，(0<a<b)的左、右焦點分別為F「F2，點P在為橢圓上的任意一點，且|PF11=4|PF2|,求此橢圓的離心率。的最小值？3解：橢圓的離心率。的最小值為§TOC\o"1-5"\h\zX2 ,例3:已知P點在圓X2+(y-2)2=1上移動，Q點在橢圓虧+V2=1上移動，試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當PQ通過圓心。時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|OQ|的最大值.設Q(x，y)，g|OQ|2=X2+(y-4)2①因。在橢圓上，則X2=9(1-y2) ② J 1￥_將②代入①得|O]Q|2=9(1-y2)+(y-4)2=-8y+-+271 I 27因為Q在橢圓上移動，所以-1<ye故當y=1時，OQ=點2 1max此時|尸。|=3J3+1【點晴】fa與圓有關的最值問題往往與圓心有關；2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。變式1:設P是橢圓一+y2=1(a>1)短軸的一個端點，Q為橢圓上的一個動點,a2求|PQ|的最大值.解法1:依題意可設P(0,1),Q(x,y),貝UPQ|=<x2+(y-1)2.又因為Q在橢圓上，所以X2=a2(1-y2).IPQ12=a2(1-y2)+y2—2y+1=(1-a2)y2—2y+1+a2

=(1-ai)(y )2 +1+。2.1—CL11—。2因為IyIW1,a〉1,時，IPQ|取最大值“2e1a2-1若a〈也,則當y=—1時，|PQ|取最大值2.解法2:設P(0,1),Q(acosO,sinO),則\PQ12=cos2。+(sin0-1)2(1—。2)sin20—2sin0+。\PQ12=cos2。+(sin0-1)2(1—。2)sin20—2sin0+。2+111

(1-<22)(sin0 )2 +。2+1.1—CL21—[2注意到Isin0|W1,變式2:已知△OFQ的面積為2扼,OFFQ=m（1）^<6<m<4>/6,求ZOFQ正切值的取值范圍;'〉、以熠仲解法1相同?（2）設以。為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q（如圖）,turV6\OF\=c,m=(--—1)C2土4uuu\OQ\取得最小值時，求此雙曲線的方程。?tfr(1^ZOFQ=0IOFI?IFQIcos(7i-9)=m rr<iairtur ntan0= -?lOFMFQIsinO=2^ mQy[6<m<4a/6-4<tan0<-1(2)設所求的雙曲線方程為Y2v2 umr__2_=l(6Z>0,Z?>0),e(x,y),貝1]尸@=3-c,y)。2力2 1 1 11tur - M...七=±——1ciuir.?.S =-\OF\-\y1=2<6,△OFQ2 1turtur uiraur又,/OF-FQ-m,OF?FQ-(c,0)?(尤一c,y)=(尤-c)-c=(-^-1)C2iii 4絲+竺KC2x=c,/.IOQ1=Jx2+* g當且僅當c=4時，l。GI最小，此時Q的坐標是（JRw''6）或（屈-扃6 6-1.「云一丘na2+b2=16a2=4b6 6-1.「云一丘na2+b2=16a2=4b2=12, .尤2y2所求方程為廠12=1-【精要歸納】圓錐曲線的最值問題，常用以下方法解決：當題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結合法解；范圍實質為一個不等式關系，如何構建這種不等關系？例2中可以利用方程和垂直平分線性質構建。利用題設和平面幾何知識的最值構建不等式往往使問題簡單化，回味本題的探究過程，認識解析幾何中“形助數(shù)”簡化運算的途徑。.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。??????????????????????.利用代數(shù)基本不等式，結合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。【課后訓練】1?已知P是橢圓丁+y2=1在第一象限內的點，A(2,0)，B(0，1)，O為原點，求四邊形4OAPB的面積的最大值，一， 一…一尤2 y2 一、.2.給定點A(-2,2)，已知B是橢圓*+三=1上的動點，F(xiàn)是右焦點，2516當\A^+3|BF|取得最小值時，則B點的坐標為3.拋物線y2=2x上到直線x-y+3=0距離最短的點的坐標為(—1)x2y24.如圖，已知A、B是橢圓7+9=1的兩個頂點，16 9C、D是橢圓上兩點，且分別在AB兩側，則四邊形ABCD面積的最大值是12J2一一x2y2 ,5.如圖所示，設點F，%是耳+板=1的兩個焦點，過F的直線與橢圓相交于A、B兩點，林F1AB的面積的最大值，并求出此時直線的方程。'vFAB'vFFA^FFB1 1，2 12A(x1，y1)BE，y2) ，則S =—|FFl?ly一y1=1y一yIVF1AB 212 1 2 1 2(Qc=1)設直線AB的方程為X=ky+1代入橢圓方程得小，? . -4k -4(2k2+3)y2+4ky―4=0ny+y=~~-,yy=~~-1 2 2k2+3 12 2k2+3

即1j-j1=坦52<：k2+1+寸k2<：k2+1+寸k2+1V腿/金3，2t+-（t>1）利用均值不等式不能區(qū)取“=”TOC\o"1-5"\h\zVFAB 11 2t+ tt?.?利用加=2,*（，21）的單調性易得在在=1時取最小值SVF^B在t=1即*=0時取最大值為433，此時直線AB的方程為x=16.P、Q、M、N四點都在橢圓x2j6.P、Q、M、N四點都在橢圓x2+土-=1上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點。已知PF與FQ共-— -— ——線，MF與FN共線，且PF-MF=0