2021-2022學年湖北省襄陽市高一年級下冊學期5月月考數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年湖北省襄陽市第五中學高一下學期5月月考數(shù)學試題一、單選題1．復數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)模的定義計算，并化簡得到，再根據(jù)虛部的定義作出判定.【詳解】∵，∴的虛部為，故選：A.2．設是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.其中正確命題的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】對于①，，則的位置關系無法確定，故錯誤；對于②,因為，所以過直線作平面與平面相交于直線，則c，因為,,，故②正確；對于③，由兩個平面平行的性質可知正確；故本題正確答案為3．已知向量，，且在上的投影為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)在上的投影為可求得，再根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式求得答案．【詳解】由題意得：在上的投影，即，故，故選：B4．在棱長為2的正方體中，是棱的中點，過，，作正方體的截面，則這個截面的面積為A． B． C． D．【答案】C【分析】設的中點為，則，連接，則梯形就是過，，正方體的截面，其面積為，故選C.5．如圖，已知是棱長為2的正方體，E為的中點，F(xiàn)為上一點，則三棱錐的體積是（

）A．6 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用等體積法求解三棱錐的體積作答.【詳解】在正方體中，棱長為2，E為的中點，則，F(xiàn)為上一點，而平面，平面，則點F到平面的距離為長，所以三棱錐的體積.故選：B6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．B．不等式的解集為，C．函數(shù)的一個單調遞減區(qū)間為D．若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后所得圖象對應的函數(shù)記為，則是奇函數(shù)【答案】D【分析】通過最高點得到的值，通過周期求出的值，通過五點法求出的值，得到函數(shù)的解析式，通過三角函數(shù)的性質逐一判斷即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，，．結合五點法作圖，可得，，，故A錯誤；不等式，即，，求得，故不等式的解集為，，故B錯誤；當時，，沒有單調性，故C錯誤；將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后所得圖象對應的函數(shù)記為，則是奇函數(shù)，故D正確．故選：D.7．在四棱錐中，底面為正方形，且平面，，則直線與直線所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接交于點，取的中點，易得，從而直線與直線所成角，即為（或其補角），然后分別在和中，求得AE和OE，然后在中，利用余弦定理求解.【詳解】解：如圖所示：連接交于點，取的中點，連接，．不妨設．因為四邊形是正方形，所以是的中點，又是的中點，所以．所以直線與直線所成角，即為（或其補角）．因為平面，又，平面，所以，．在中，，，，所以；在中，，，，所以，所以；在中，，，，所以，即直線與直線所成角的余弦值是．故選：A．8．在銳角△ABC中，，，則△ABC的周長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用面積公式和余弦定理可得，然后根據(jù)正弦定理及三角變換可得，再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到的范圍，轉化為三角函數(shù)求取值范圍的問題.【詳解】∵，∴，∴，即，為銳角，∴，又，由正弦定理可得，所以，其中，，因為為銳角三角形，所以，所以，又，∴，故的周長的取值范圍是．故選：C.二、多選題9．在四個正方體中，，，均為所在棱的中點，過點，，作正方體的截面，則在各個正方體中，直線與平面垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】選項A，B，C，根據(jù)，，均為所在棱的中點，由平面的基本性質得到，，，，，六點共面，然后由正方體的結構特征，直線與平面垂直，且平面與平面重合判斷；選項D，根據(jù)不為直角判斷.【詳解】如圖所示：在正方體中，設點，，均為所在棱的中點，則有，，，，，六點共面.由題易知直線，與平面垂直，選項A，B，C中的平面與平面重合，滿足題意；對于選項D，由于，分別為棱，的中點，所以，故為異面直線，所成的角且，即不為直角，故與不垂直，故與平面不垂直，故選：ABC.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定以及平面的基本性質，還考查了空間想象和分析問題的能力，屬于中檔題.10．在中，，，分別為，，的對邊，下列敘述正確的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若為銳角三角形，則C．若，則為鈍角三角形D．若，則【答案】BCD【分析】由正弦定理得到，求得或，可判定A不正確；由銳角三角形，得到，結合正弦函數(shù)的單調性，可判定B正確；由，得到中一定有一個小于0成立，可判定C正確；由正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡得到，可判定D正確.【詳解】對于A中，由，可得，即，因為，可得或，即或，所以為等腰或直角三角形，所以A不正確；對于B中，由為銳角三角形，可得，則，因為，可得，又因為函數(shù)在上為單調遞增函數(shù)，所以，所以B正確；對于C中，因為，由，可得中一定有一個小于0成立，不妨設，可得，所以為鈍角三角形，所以C正確；對于D中，因為，由正弦定理可得，因為，可得，所以，可得，因為，可得，所以，即，所以，所以D正確.故選：BCD.11．設函數(shù)．已知在上有且僅有3個零點，則下列四個說法正確的是（

）A．的取值范圍是B．在上單調遞增C．在上存在，，滿足D．在上有且僅有1個最大值【答案】AC【分析】利用正弦函數(shù)的性質及條件可得，即，然后結合三角函數(shù)的圖象和性質逐項判斷即得.【詳解】∵在上有且僅有3個零點，由，得，∴，即，故A正確；由，此時，，所以在上不單調遞增，故B錯誤；由上知在能取到最大值和最小值，所以存在，，滿足，故C正確；由上可知，時，，由，可得，所以在上可能有2個最大值，故D錯誤.故選：AC.12．如圖，已知棱長為1的正方體中，下列命題正確的是（

）A．正方體外接球的半徑為B．點P在線段AB上運動，則四面體的體積不變C．與所有12條棱都相切的球的體積為D．M是正方體的內切球的球面上任意一點，則長的最小值是【答案】BC【分析】對于A，利用正方體的性質即得，對于B，判斷出四面體的高為1，底面積不變即得，對于C．先求出球的半徑，即可求體積，對于D．判斷出線段長度的最小值是到球心的距離減去內切球的半徑，直接求解即可.【詳解】對于A，由正方體的性質可知正方體外接球的直徑為其體對角線，故正方體外接球的半徑為，故A錯誤；對于B，點在線段上運動，則四面體的高為1，底面積不變，則體積不變，故B正確；對于C，與所有12條棱都相切的球的直徑等于面的對角線，則，，則球的體積，故C正確；對于D，正方體的內切球為正方體的中心，內切球的半徑為，可知線段長度的最小值是到球心的距離減去內切球的半徑，正方體的棱長為1，，到球心的距離為，所以的最小值是，故D錯誤.故選：BC．三、填空題13．若，則的最小值為__________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件兩次運用基本不等式即可求解.【詳解】，，當且僅當時，等號成立，所以當時，的最小值為.故答案為：.14．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為______．【答案】【分析】設球的半徑為，根據(jù)已知條件得出正方體上底面截球所得的截面圓的半徑，球心到截面圓圓心的距離，利用勾股定理即可求出球的半徑，再帶入球體積公式即可.【詳解】由題意得正方體上底面到水面的高為，設球體的半徑為，由題意如圖所示：三角形為直角三角形，為球與正方體的交點，則，，，所以：，解得，所以球的體積.故答案為：15．正四棱錐的底面邊長為1，側棱長為2，點，分別在和上，并且，平面，則線段的長為______．【答案】##【分析】連接并延長與交于點，連接，證明，根據(jù)比例關系得到，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：連接并延長與交于點，連接，為中點，連接，，故，，平面，平面平面，平面，故，故，，故，，，故.故答案為：16．銳角的內角所對邊分別是a，b，c且，，若A，B變化時，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍______．【答案】【分析】首先利用正弦定理得出角的關系，再結合銳角三角形得出角的范圍，最后根據(jù)存在最大值求出的取值范圍即可.【詳解】，，由正弦定理得：，即：，或（舍）是銳角三角形，，解得：（其中）使存在最大值，只需存在，滿足解得：.故答案為：.四、解答題17．已知梯形ABCD，按照斜二測畫法畫出它的直觀圖，如圖，其中，，．求：(1)梯形ABCD的面積；(2)梯形ABCD以BC為旋轉軸旋轉一周形成的幾何體的表面積和體積．【答案】(1)(2)，【分析】（1）將直觀圖還原為原圖形后利用公式可求其面積.（2）所得幾何體是圓柱與圓錐的組合體，利用公式可求其表面積和體積.【詳解】（1）直觀圖還原為原圖形，是直角梯形ABCD，如圖，其中，，，∴梯形ABCD的面積為.（2），直角梯形繞BC旋轉后形成的幾何體是圓柱與圓錐的組合體，其表面積，體積.18．已知.(1)求圖象的對稱軸方程；(2)若對任意的恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換整理得，結合正弦函數(shù)的對稱軸得求解；（2）代入整理，利用換元和參變分離得，即．【詳解】（1）即則∴圖象的對稱軸方程為．（2）∵，則令則∵，當且僅當即時等號成立∴19．如圖，三棱錐的底面是直角三角形，，，平面，是的中點．(1)若此三棱錐的體積為，求異面直線與所成角的大小．(2)若，①求點到平面的距離．②過點作平面與平面垂直，且和直線平行，求平面截三棱錐的截面的面積．【答案】(1)；(2)①；②.【分析】（1）根據(jù)三棱錐體積公式，結合異面直線所成角的定義、勾股定理進行求解即可；（2）①：根據(jù)三棱錐的體積性質，利用轉化法進行求解即可；②：根據(jù)三角形中位線定理，結合矩形的面積公式進行求解即可.【詳解】（1）由題意知：，解得，取中點，連接，，由是的中點可得，故或其補角即為異面直線與所成角．∵，平面，平面，故，，，，，，，，故為等邊三角形，，故異面直線與所成角的大小為．（2）①若，則，，，設點到平面的距離為，，即，所以，得；②分別取、、的中點、、，連接、、、，四邊形即為截面，因為、是、的中點，所以，因為的中點是，是的中點，所以，所以，因此四邊形是平行四邊形，因為中點是，是的中點，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以，所以四邊形為矩形，，，．20．已知，函數(shù)(1)當時，解不等式；(2)設，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得，求解即可；（2）根據(jù)題意得到，轉化為，設，轉化為，利用函數(shù)的單調性，求得其最值，即可求解.【詳解】（1）當時，，即，解得或.所以不等式的解為（2）由復合函數(shù)單調性知函數(shù)在上單調遞減，又函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，可得，即，即，所以，設，因為，則，可得，當時，，當時，可得，因為在區(qū)間為單調遞減函數(shù)，可得，所以，所以.故a的取值范圍為【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：①若在上恒成立，則；②若在上恒成立，則；③若在上有解，則；④若在上有解，則.21．如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練．已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角的大小．若，，，求的最大值．（仰角為直線AP與平面ABC所成角）【答案】.【分析】根據(jù)仰角的定義，作圖，利用圖中的幾何關系列出函數(shù)式，借助二次函數(shù)求解作答.【詳解】過點P做直線BC的垂線，垂直為D，如圖，則由仰角的定義得，由題意，設則，點D與B不重合時，在中，

，點D與B重合時，上式也成立，在中，

，當時，取最大值，綜上，的最大值為.22．已知正方體的棱長為3，，分別為棱，上的動點，．若直線與平面所成角為．(1)求二面角的平面角的大小．(2)求線段的長度．