2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

東城區(qū)2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)高三數(shù)學(xué)2023.1本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，，則（A） （B）（C）（D）（2）在下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（A）（B）（C）（D）（3）在的展開(kāi)式中，若第3項(xiàng)的系數(shù)為10，則（A）（B）（C）（D）（4）在等比數(shù)列中，，，則（A） （B） （C） （D）北京中軸線是世界城市建設(shè)歷史上最杰出的城市設(shè)計(jì)范例之一.其中鐘鼓樓、萬(wàn)寧橋、景山、故宮、端門、天安門、外金水橋、天安門廣場(chǎng)及建筑群、正陽(yáng)門、中軸線南段道路遺存、永定門，依次是自北向南位列軸線中央相鄰的11個(gè)重要建筑及遺存.某同學(xué)欲從這11個(gè)重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽，則選取的3個(gè)中一定有故宮的概率為（A）（B）（C）（D）（6）在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊位于第一象限，且與單位圓交于點(diǎn)，軸，垂足為．若的面積為，則（A） （B） (C) （D）（7）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，其漸近線方程為，是上一點(diǎn)，且.若△的面積為，則的焦距為（A）（B）（C）（D）（8）在△中，“對(duì)于任意，”是“△為直角三角形”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（9）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在直線上，則當(dāng)變化時(shí)，直線的斜率的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（10）如圖，在正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的是①存在點(diǎn)，使得；②存在點(diǎn)，使得；③對(duì)于任意點(diǎn)，到的距離為定值；④對(duì)于任意點(diǎn)，△都不是銳角三角形.（A）①③（B）②③（C）②④（D）①④第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．（11）若復(fù)數(shù)滿足，則（12）已知函數(shù)，則；若將的圖象向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，則的一個(gè)對(duì)稱中心為.（13）經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小關(guān)系為.(用“”“”“”填寫）（14）設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)開(kāi)_________；若的最小值為1，則的取值范圍是___________.對(duì)于數(shù)列，令，給出下列四個(gè)結(jié)論：=1\*GB3①若，則；=2\*GB3②若，則；③存在各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列，使得對(duì)任意的都成立；④若對(duì)任意的，都有，則有.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（16）（本小題13分）如圖，在銳角△中，，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，且CD＝10.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求△的周長(zhǎng)．（17）（本小題15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，平面.（=1\*ROMANI）求證：為的中點(diǎn)；（=2\*ROMANII）再?gòu)臈l件=1\*GB3①、條件=2\*GB3②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件=1\*GB3①：；條件=2\*GB3②：.注：如果選擇條件=1\*GB3①和條件=2\*GB3②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（18）（本小題13分）“雙減”政策執(zhí)行以來(lái)，中學(xué)生有更多的時(shí)間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動(dòng).某校為了解學(xué)生課后活動(dòng)的情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)選取100人，統(tǒng)計(jì)了他們一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），分別位于區(qū)間[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19]，用頻率分布直方圖表示如下：假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生參加課后活動(dòng)的時(shí)間相互獨(dú)立.（Ⅰ）估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間[13,17)的概率；（Ⅱ）從全校學(xué)生中隨機(jī)選取3人，記ξ表示這3人一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間[15,17)的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）設(shè)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的估計(jì)值分別為a，b，c，請(qǐng)直接寫出這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.(樣本中同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代）（19）（本小題14分）已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，.若，，成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（20）（本小題15分）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求的極值；（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，曲線與曲線至多存在一個(gè)交點(diǎn).（21）（本小題15分）已知數(shù)列，滿足：，從中選取第項(xiàng)、第項(xiàng)、…、第項(xiàng)（），稱數(shù)列為的長(zhǎng)度為m的子列．記為所有子列的個(gè)數(shù).例如，其.（Ⅰ）設(shè)數(shù)列，寫出A的長(zhǎng)度為3的全部子列，并求；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列，，，判斷的大小，并說(shuō)明理由；（Ⅲ）對(duì)于給定的正整數(shù)，若數(shù)列滿足：，求的最小值.東城區(qū)2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2023.1一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A （2）C （3）B （4）D（5）D（6）D （7）C （8）A （9）B（10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12）（答案不唯一）（13）（14）（15）=1\*GB3①=2\*GB3②④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：又因?yàn)樵阡J角△ABC中，，所以．……6分（Ⅱ）因?yàn)椋?在△中，由余弦定理得所以△的周長(zhǎng)為．………13分（17）（共15分）解：（=1\*ROMANI）在△中，過(guò)點(diǎn)作//交于點(diǎn)，連接.因?yàn)?/，所以//，所以，，，四點(diǎn)共面.因?yàn)?/平面，平面，平面平面，所以//所以四邊形是平行四邊形.所以所以為的中點(diǎn).………………6分（=2\*ROMANII）選條件=1\*GB3①：.因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所?又，，所以平面.所以.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的正方形，，則，，，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則.于是.設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角為的正弦值為.…………15分選條件=2\*GB3②：.如圖，連接.因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的正方形，所以，.因?yàn)?，，所?所以.因?yàn)?，，所以平面所?以下同選條件=1\*GB3①.…15分（18）（共13分）解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，可得學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間[13,17)的頻率為，因此估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間[13,17)的概率為．…3分（Ⅱ）從全校學(xué)生中隨機(jī)選取1人，其一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間[15,17)的概率為．因此ξ．則的分布列為：0123．…10分（Ⅲ）c<b<a．…13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）由題設(shè)，解得所以橢圓的方程為.…5分（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，則有．由，，成等差數(shù)列，得即由，則.又在橢圓上，有，故，因?yàn)?，所?即，所以所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.…14分（共15分）解：（Ⅰ）因?yàn)樗?所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.…4分（Ⅱ）令，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在時(shí)取得極小值.所以函數(shù)的極小值為，不存在極大值.…9分（Ⅲ）令，其定義域?yàn)?令，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，取得極小值.，因?yàn)?，所以，，所?因此，當(dāng)時(shí)，，所以，，即，，曲線與曲線無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以存在且僅存在一個(gè)，使得，對(duì)且，都有，即.所以當(dāng)時(shí)，曲線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；故當(dāng)時(shí)，曲線與曲線至多存在一個(gè)交點(diǎn).…15分（共15分）解：（Ⅰ）由的定義以及，可得：A的長(zhǎng)度為3的子列為：，的長(zhǎng)度為的子列有個(gè)，的長(zhǎng)度為的子列有個(gè)，所以.…5分（Ⅱ）理由如下：若是的一個(gè)子列，則為的一個(gè)子列.若與是的兩個(gè)不同子列，則與也是的兩個(gè)不同子列.所以.同理，所以.同理所以有…10分