拉普拉斯變換2.1

2.1拉普拉斯變換的概念

由上章可知，需進(jìn)行傅氏變換的函數(shù)應(yīng)滿足傅氏積分存在定理的兩個(gè)條件，即(1)在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件；(2)在無(wú)限區(qū)間上絕對(duì)可積．而傅氏變換存在兩個(gè)缺點(diǎn)．缺點(diǎn)1：條件(2)過(guò)強(qiáng)．在實(shí)際應(yīng)用中，許多函數(shù)不能滿足條件(2)．

[案例]單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等，雖滿足狄利克雷條件，但非絕對(duì)可積．因此，對(duì)這些函數(shù)就不能進(jìn)行古典意義下的傅氏變換．盡管在上一節(jié)里，通過(guò)引入δ函數(shù)，在廣義下對(duì)非絕對(duì)可積函數(shù)進(jìn)行了傅氏變換，但δ函數(shù)使用很不方便.2.1.1拉普拉斯積分1.拉普拉斯積分

缺點(diǎn)2：進(jìn)行傅氏變換的函數(shù)須在上有定義．

[案例]在物理、無(wú)線電技術(shù)、機(jī)械工程等實(shí)際應(yīng)用中，許多以時(shí)間t為自變量的函數(shù)在t＜0時(shí)是無(wú)意義的或者是無(wú)需考慮的.因此，對(duì)這些函數(shù)也不能進(jìn)行傅氏變換．

由此可見(jiàn)，傅氏變換的應(yīng)用范圍受到了極大的限制，必須對(duì)傅里葉變換進(jìn)行改造．

基本想法使得函數(shù)在t<

0的部分補(bǔ)零(或者充零)；使得函數(shù)在t>

0的部分盡快地衰減下來(lái)。(1)將函數(shù)乘以一個(gè)單位階躍函數(shù)

，(2)將函數(shù)再乘上一個(gè)衰減指數(shù)函數(shù)

，這樣，就有希望使得函數(shù)滿足

Fourier變換的條件，從而對(duì)它進(jìn)行

Fourier

變換。如何對(duì)

Fourier

變換進(jìn)行改造？

將上式中的記為

s，就得到了一種新的積分：實(shí)施結(jié)果拉普拉斯積分復(fù)頻函數(shù)復(fù)頻率

可以預(yù)見(jiàn)，上述積分是收斂的。例2.1求單位階躍函數(shù)的拉普拉斯積分解積分在b→+∞時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)Re(s)>0才有極限，因此例2.2

求的拉普拉斯積分根據(jù)定義解（其中α為任意復(fù)數(shù)）例2.3

求正弦函數(shù)

的復(fù)頻函數(shù)

解

定理2.1

若函數(shù)f(t)滿足:2.拉普拉斯積分存在定理1,在t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)2,當(dāng)t時(shí),

f(t)的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<則f(t)的拉普拉斯積分在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的積分在Re(s)c1>c上絕對(duì)收斂而且一致收斂,并且在Re(s)>c的半平面內(nèi),

F(s)為解析函數(shù).2.拉普拉斯積分存在定理則象函數(shù)在半平面上一定存在且解析。(1)在任何有限區(qū)間上分段連續(xù)；(2)具有有限的增長(zhǎng)性，即存在常數(shù)

c

及，使得，設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)，滿足：定理(其中，c

稱為函數(shù)的“增長(zhǎng)”指數(shù))。證明(略)

兩點(diǎn)說(shuō)明(1)像函數(shù)的存在域一般是一個(gè)右半平面

,即只要復(fù)數(shù)s的實(shí)部足夠大就可以了。只有在非常必要時(shí)才特別注明。因此在進(jìn)行Laplace變換時(shí)，常常略去存在域，即函數(shù)等價(jià)于函數(shù)(2)在

Laplace

變換中的函數(shù)一般均約定在t<0時(shí)為零，比如定義2.1

設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)有定義，且廣義積分?jǐn)?shù)為s的函數(shù)在s的某一區(qū)域內(nèi)收斂，則由此積分確定的參

(2-3)叫做函數(shù)的拉普拉斯變換，記作

函數(shù)

叫做變換的像原函數(shù)．2.1.2拉普拉斯變換函數(shù)F(s)也可叫做的像函數(shù)．例2.4求函數(shù)的拉普拉斯積分解

例2.5

求函數(shù)的拉普拉斯變換因?yàn)?/p>

解（其中k為任意復(fù)數(shù)）所以

采用同樣的方法我們可得由前面的例題，我們可得拉普拉斯變換公式：(G函數(shù)簡(jiǎn)介)

例2.6

求狄立克雷函數(shù)

的拉氏變換。

在具體求解運(yùn)算之前，先把拉普拉斯變換中積分下限的問(wèn)題加以澄清。

若函數(shù)f(t)滿足拉普拉斯積分存在定理，在t=0處有界，此時(shí)積分中的下限取0+或0-不會(huì)影響其結(jié)果，但當(dāng)f(t)在t=0處為δ函數(shù)，或包含了δ函數(shù)時(shí)，拉氏積分的下限就必須明確指出是0+還是0-，因?yàn)榉Q為0+系統(tǒng)，在電路上0+表示換路后的初始時(shí)刻；解稱為0-系統(tǒng)，在電路上0-表示換路后的初始時(shí)刻；可以證明，當(dāng)f(t)在t=0附近有界時(shí)，則即當(dāng)f(t)在t=0處包含一個(gè)δ函數(shù)時(shí)即

為此，將進(jìn)行拉氏變換的函數(shù)f(t)，當(dāng)t≥0時(shí)的定義擴(kuò)大到當(dāng)t>0及t=0的任意一個(gè)領(lǐng)域。這樣拉氏變換的定義應(yīng)為為書寫方便，該定義仍寫為原來(lái)的形式。即同理

解

先對(duì)作拉氏變換的拉氏變換為用羅必達(dá)法則計(jì)算此極限，得所以

方法2：同理

例2.7

求函數(shù)的拉普拉斯變換解δ函數(shù)的篩選性質(zhì)G-

函數(shù)

(

gamma函數(shù))

簡(jiǎn)介附：G-

函數(shù)定義為定義性質(zhì)證明特別地，當(dāng)m

為正整數(shù)時(shí)，有(返回)關(guān)于含沖激函數(shù)的

Laplace

變換問(wèn)題附：

當(dāng)函數(shù)在附近有界時(shí)，的取值將不會(huì)影響其

Laplace

變換的結(jié)果。對(duì)積分下限分別取和可得到下面兩種形式的

L