專題4-灰色聚類評估

專題4：灰色聚類評估南京航空航天大學灰色系統(tǒng)研究所2010,南京問題什么是灰色聚類?為什么要提出灰色聚類模型?灰色聚類評估的主要研究內(nèi)容有哪些?灰色聚類有哪些最新進展?與其他評估模型相比有何不同?引言

灰色聚類是根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)矩陣或灰數(shù)的白化權(quán)函數(shù)將一些觀測指標或觀測對象劃分成若干個可定義類別的方法。一個聚類可以看作是屬于同一類的觀測對象的集合。按聚類對象劃分，灰色聚類可分為灰色關(guān)聯(lián)聚類和灰色白化權(quán)函數(shù)聚類。

灰色關(guān)聯(lián)聚類主要用于同類因素的歸并，以使復雜系統(tǒng)簡化。通過灰色關(guān)聯(lián)聚類，我們可以檢查許多因素中是否有若干個因素大體上屬于同一類，使我們能用這些因素的綜合平均指標或其中的某一個因素來代表這若干個因素而使信息不受嚴重損失。

灰色白化權(quán)函數(shù)聚類主要用于檢查觀測對象是否屬于事先設定的不同類別，以便區(qū)別對待。本章結(jié)構(gòu)第一節(jié)灰色關(guān)聯(lián)聚類第二節(jié)灰色變權(quán)聚類第三節(jié)灰色定權(quán)聚類第四節(jié)基于三角白化權(quán)函數(shù)的灰色評估第一節(jié)灰色關(guān)聯(lián)聚類

定義4.1.1設有個觀測對象，每個對象觀測個特征數(shù)據(jù)，得到序列如下：對所有的計算出與的灰色絕對關(guān)聯(lián)度，得上三角矩陣

其中稱矩陣為特征變量關(guān)聯(lián)矩陣。

取定臨界值，一般要求，當時，則視與為同類特征。第一節(jié)灰色關(guān)聯(lián)聚類

定義4.1.2

特征變量在臨界值下的分類稱為特征變量的灰色關(guān)聯(lián)聚類?？筛鶕?jù)實際問題的需要確定，越接近于1，分類越細，每一組分中的變量相對地越少；越小，分類越粗，這時每一組分中的變量相對地越多。第一節(jié)灰色關(guān)聯(lián)聚類

例4.1.1某公司進行市場營銷主管崗位招聘,應聘者云集,招聘小組根據(jù)這一崗位的特征,提出從以下方面進行評價

(1)申請書印象(2)學術(shù)能力(3)討人喜歡(4)自信程度(5)精明

(6)誠實(7)推銷能力(8)經(jīng)驗(9)積極性(10)抱負

(11)外貌(12)理解能力(13)潛力(14)交際能力(15)適應能力面試官認為評價指標太多,而且有內(nèi)容有重疊,希望將評價指標進行刪減.因此對這些指標進行打分,以確定具有代表性的指標,既簡化評價過程,又不降低質(zhì)量.具體打分指標見表4.1.1第一節(jié)灰色關(guān)聯(lián)聚類

對所有計算出與的灰色絕對關(guān)聯(lián)度，得上三角矩陣第一節(jié)灰色關(guān)聯(lián)聚類第一節(jié)灰色關(guān)聯(lián)聚類

令，我們從第一行開始進行檢查，挑出大于0.80的，有從而可知:應與、、在同一類中；與在同一類中；、與在同一類中；、、與在同一類中；與在同一類中；與在同一類中；與在同一類中；與在同一類中。第一節(jié)灰色關(guān)聯(lián)聚類

取標號最小的指標作為各類的代表，可得15個指標的一個聚類：第一節(jié)灰色關(guān)聯(lián)聚類

取臨界值，則以，為代表的兩個類可歸入所在的類中，可歸入所在的類中，這樣就得到較粗的聚類：其中所在的類反映了應聘者的品質(zhì)、性格、經(jīng)驗等內(nèi)在的能力，他包括申請書印象、學術(shù)能力、討人喜歡、精明、誠實、經(jīng)驗、外貌、理解能力、潛力和交際能力幾個方面；所在的類則是謀職者的進取心、創(chuàng)造力和應變能力等外在性格的體現(xiàn)，他包括自信程度、推銷能力、積極性、抱負和適應性五個方面。第二節(jié)灰色變權(quán)聚類第二節(jié)灰色變權(quán)聚類

定義4.2.1設有個聚類對象，個聚類指標，個不同灰類，根據(jù)第個對象關(guān)于指標的觀測值將第個對象歸入第個灰類，稱為灰色聚類。定義4.2.2

將個對象關(guān)于指標的取值相應地分為個灰類，我們稱之為指標子類。指標子類的白化權(quán)函數(shù)記為。第二節(jié)灰色變權(quán)聚類第二節(jié)灰色變權(quán)聚類

定義4.2.3設指標子類的白化權(quán)函數(shù)為如圖4.2.1所示的典型白化權(quán)函數(shù)，則稱為的轉(zhuǎn)折點。典型白化權(quán)函數(shù)記為:第二節(jié)灰色變權(quán)聚類

定義4.2.4(1)若白化權(quán)函數(shù)無第一和第二個轉(zhuǎn)折點，即如圖4.2.2所示，則稱為下限測度白化權(quán)函數(shù)，記為。

(2)若白化權(quán)函數(shù)第二和第三個轉(zhuǎn)折點重合，即如圖4.2.3所示，則稱為適中測度白化權(quán)函數(shù)，記為

(3)若白化權(quán)函數(shù)無第三和第四個轉(zhuǎn)折點即如圖4.2.4所示，則稱為上限測度白化權(quán)函數(shù)，記為。第二節(jié)灰色變權(quán)聚類第二節(jié)灰色變權(quán)聚類

命題4.2.1(1)對于圖4.2.1所示的典型白化權(quán)函數(shù)，有(2)

圖4.2.2所示的下限測度白化權(quán)函數(shù)，有第二節(jié)灰色變權(quán)聚類

(3)對于圖4.2.3所示的適中測度白化權(quán)函數(shù)，有(4)

對于圖4.2.4所示的上限測度白化權(quán)函數(shù)，有第二節(jié)灰色變權(quán)聚類定義4.2.5(1)對于圖4.2.1所示的指標子類白化權(quán)函數(shù)，令

(2)對于圖4.2.2所示的指標子類白化權(quán)函數(shù)，令;(3)對于圖4.2.3和圖4.2.4所示的指標子類白化權(quán)函數(shù)，令則稱為指標子類臨界值。第二節(jié)灰色變權(quán)聚類

定義4.2.6設為指標子類臨界值，則稱為指標子類的權(quán)。定義4.2.7設為對象關(guān)于指標的觀測值，為指標子類白化權(quán)函數(shù)。為指標子類的權(quán)，則稱為對象關(guān)于灰類的灰色變權(quán)聚類系數(shù)。第二節(jié)灰色變權(quán)聚類定義4.2.8(1)稱為對象的聚類系數(shù)向量。(2)稱為聚類系數(shù)矩陣。定義4.2.9設，則稱對象屬于灰類。第三節(jié)灰色定權(quán)聚類第三節(jié)灰色定權(quán)聚類定義4.3.1設為對象關(guān)于指標的觀測值，為指標子類白化權(quán)函數(shù)。若指標子類的權(quán)與無關(guān)，即對任意的，總有，此時我們可將的上標略去，記為，并稱為對象屬于灰類的灰色定權(quán)聚類系數(shù)。第三節(jié)灰色定權(quán)聚類

定義4.3.2設為對象關(guān)于指標的觀測值，為指標子類白化權(quán)函數(shù)。若對任意的總有，則稱為對象屬于灰類的灰色等權(quán)聚類系數(shù)。定義4.3.3(1)根據(jù)灰色定權(quán)聚類系數(shù)的值對聚類對象進行歸類，稱為灰色定權(quán)聚類；

(2)根據(jù)灰色等權(quán)聚類系數(shù)的值對聚類對象進行歸類，稱為灰色等權(quán)聚類。第三節(jié)灰色定權(quán)聚類灰色定權(quán)聚類求解步驟：

第一步：給出指標子類白化權(quán)函數(shù)第二步：確定各指標的聚類權(quán)。第三步：從第一步和第二步得出的白化權(quán)函數(shù)，聚類權(quán)以及對象關(guān)于指標的觀測值，計算出灰色定權(quán)聚類系數(shù)第四步：若，則斷定對象屬于灰類。第三節(jié)灰色定權(quán)聚類

例4.3.1

采煤方法的灰色聚類分析。某煤礦采用四種不同的采煤方法，即以綜采，高檔普采，普采以及炮采四種方法為聚類對象，取工作面單產(chǎn)（萬噸/月*面），回采工效（噸/工），設備投資（萬元）以及回采成本（元/噸）作為聚類指標；按好、較好、差三類進行分類，每個聚類對象關(guān)于各聚類指標的觀測值如矩陣所示。第三節(jié)灰色定權(quán)聚類求解過程：（１）通過專家調(diào)查，得到指標子類白化權(quán)函數(shù)分別為

（２）同時調(diào)查得工作面單產(chǎn)（萬噸/月*面），回采工效（噸/工），設備投資（萬元）以及回采成本（元/噸）的權(quán)重分別為第三節(jié)灰色定權(quán)聚類(3)由可得：同理可得。所以類似可以算出第三節(jié)灰色定權(quán)聚類綜合以上結(jié)果，可得灰色定權(quán)聚類系數(shù)矩陣為由可知，在四種采煤方法中，綜采方法技術(shù)經(jīng)濟綜合效益好，高檔普采方法技術(shù)經(jīng)濟綜合效益較好，而普采和炮采方法技術(shù)經(jīng)濟綜合效益差。第四節(jié)基于三角白化權(quán)函數(shù)的灰色評估4.1端點三角白化權(quán)函數(shù)

設有個對象，個評估指標，個不同的灰類，對象關(guān)于指標的樣本觀測值為，我們要根據(jù)的值基于三角白化權(quán)函數(shù)的灰色評估方法

對相應的對象進行評估、診斷．4.1端點三角白化權(quán)函數(shù)求解步驟：

第一步：按照評估要求所需劃分的灰類數(shù)，將各個指標的取值范圍也相應地劃分為個灰類，例如將指標的取值范圍劃分為其中的值一般可根據(jù)實際情況的要求或定性研究結(jié)果確定。

第二步：令屬于第個灰類的白化權(quán)函數(shù)值為1，連接與第個灰類的起點和第個灰類的終點，得到指標關(guān)于灰類的三角白化權(quán)函數(shù)。對于和，可分別將指標取數(shù)域向左、右延拓至，。4.1端點三角白化權(quán)函數(shù)

計算出其屬于灰類的隸屬度。

第三步：計算對象關(guān)于灰類的綜合聚類系數(shù)：其中為指標子類白化權(quán)函數(shù)，為指標在綜合聚類中的權(quán)重。

第四步：由，判斷對象屬于灰類；同一灰類中，可根據(jù)聚類系數(shù)的大小確定各對象的優(yōu)劣或位次．4.1端點三角白化權(quán)函數(shù)例4.4.1

某地區(qū)生態(tài)環(huán)境質(zhì)量評價。 農(nóng)業(yè)生態(tài)環(huán)境是一個由社會、經(jīng)濟、自然環(huán)境組成的龐大復雜的多因素系統(tǒng)，為了評價其質(zhì)量高低，首先必須建立一套科學的評價指標體系。根據(jù)該區(qū)域農(nóng)業(yè)生態(tài)環(huán)境特點，建立如下評價指標體系（見圖4.4.2），目標層為農(nóng)業(yè)生態(tài)環(huán)境質(zhì)量評價（），準則層包括自然生態(tài)背景（）、人類影響程度（）和農(nóng)田環(huán)境狀況（）。

分析步驟：（1）評價指標權(quán)重的確定 按照評價指標體系確定的層次結(jié)構(gòu)，進行專家調(diào)查，構(gòu)造判斷矩陣，通過計算獲得各層次指標權(quán)重，見表4.4.1-4.4.3。4.1端點三角白化權(quán)函數(shù)

4.1端點三角白化權(quán)函數(shù)

4.1端點三角白化權(quán)函數(shù)

（2）評價灰類的確定 鑒于盡可能精確反映研究區(qū)域農(nóng)業(yè)生態(tài)環(huán)境質(zhì)量狀況需要，本例采用五個評價灰類，灰類序號為，分別表示“劣”、“差”、“中”、“良”、“優(yōu)”，結(jié)合專家意見，確定各指標所屬灰類。（3）評價指標取數(shù)域延拓值4.1端點三角白化權(quán)函數(shù)

結(jié)合研究區(qū)域?qū)嶋H，對各評價指標進行延拓，表4.4.5表示各指標延拓值和實際值。4.1端點三角白化權(quán)函數(shù)4）各指標白化權(quán)聚類系數(shù) 根據(jù)計算后，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式4.4.1，可以計算得到各指標白化權(quán)聚類系數(shù)。（5）結(jié)果分析 利用公式4.4.2，計算各準則層及研究區(qū)域農(nóng)業(yè)生態(tài)環(huán)境質(zhì)量綜合聚類系數(shù)，見表4.4.7。 可以看出，就該區(qū)域農(nóng)業(yè)生態(tài)環(huán)境質(zhì)量總體而言，當前屬于“良”灰類，在自然生態(tài)背景方面，該區(qū)域?qū)儆凇皟?yōu)”灰類，就人類影響程度來看，該區(qū)域?qū)儆凇安睢被翌?，就農(nóng)田環(huán)境狀況來看，該區(qū)域?qū)儆凇傲肌被翌悺?.1端點三角白化權(quán)函數(shù)

4.2中心點三角白化權(quán)函數(shù)

在劃分灰類時，我們將屬于該灰類程度最大的點稱為該灰類的中心點。中心點三角白化權(quán)函數(shù)的灰色評估方法的具體步驟如下：第一步：按照評估要求所需劃分的灰類數(shù)，選取為最屬于灰類的點（可以是中點，也可以不是，以屬于灰類最大可能性為選取依據(jù)，稱為中心點），將各個指標的取值范圍也相應地劃分為個灰類，例如將指標的取值范圍劃分為個小區(qū)間第二步：同時連接點與第個小區(qū)間的中心點以及與第個小區(qū)間的中心點，得到指標關(guān)于灰4.2中心點三角白化權(quán)函數(shù)類的三角白化權(quán)函數(shù)，。對于和，可分別將指標取數(shù)域向左、右延拓至，，可得指標關(guān)于灰類1的三角白化權(quán)函數(shù)和指標關(guān)于灰類的三角白化權(quán)函數(shù)（見圖4.4.3）。4.2中心點三角白化權(quán)函數(shù)對于指標的一個觀測值，可由公式計算出其屬于灰類的隸屬度。第三步：計算對象關(guān)于灰類的綜合聚類系數(shù)；4.2中心點三角白化權(quán)函數(shù)其中為指標子類白化權(quán)函數(shù)，為指標在綜合聚類中的權(quán)重。第四步：由，判斷對象屬于灰類；當有多個對象同屬于灰類時，還可以進一步根據(jù)綜合聚類系數(shù)的大小確定同屬于灰類之各個對象的優(yōu)劣或位次。4.3兩類白化權(quán)函數(shù)的比較定理4.4.1

中心點三角白化權(quán)聚類較端點三角白化權(quán)聚類更為合理，端點三角白化權(quán)聚類存在兩個以上灰類交叉現(xiàn)象，而中心點三角白化權(quán)聚類不存在此現(xiàn)象。證明：令端點三角白化權(quán)聚類中灰類和灰類的交叉區(qū)域為，灰類和灰類的交叉區(qū)域為，則，如圖4.4.4（a）所示，若某指標取值，則這與常理有違，而對于中心點三角白化權(quán)函數(shù)，如圖4.4.4，4.3兩類白化權(quán)函數(shù)的比較

，則不存在兩個以上灰類交叉現(xiàn)象。4.3兩類白化權(quán)函數(shù)的比較定理4.4.2

端點三角白化權(quán)聚類可能出現(xiàn)某指標取值屬于各灰類聚類系數(shù)之和大于1或小于1的情況，而中心點三角白化權(quán)聚類某指標取值屬于各灰類聚類系數(shù)之和為1，更為規(guī)范化。證明：如圖4.4.5所示，（a）為端點三角白化權(quán)函數(shù)，（b）為中心點三角白化權(quán)函數(shù)，顯然有，若有指標值，即