第3章線性系統(tǒng)的時域分析法7浙江大學(xué)

第三章線性系統(tǒng)的時域分析法第一步:建立模型第二步:分析控制性能方法:時域分析法，頻域分析法，根軌跡法本章先討論時域法2/6/2023自動控制原理第三章線性系統(tǒng)的時域分析法2/6/2023自動控制原理（1）單位階躍函數(shù)（UnitStepfunction）

突然受到恒定輸入作用或突然的擾動。室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)

一、典型輸入信號第一節(jié)典型輸入函數(shù)和時域性能指標(biāo)階躍函數(shù)2/6/2023自動控制原理（2）單位斜坡函數(shù)(速度函數(shù)）如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時間逐步變化的函數(shù)，則斜坡時間函數(shù)是比較合適的。2/6/2023自動控制原理（3）單位加速度函數(shù)（UnitAccelerationfunction）拋物線2/6/2023自動控制原理（5）正弦函數(shù)（Simusoidalfunction），當(dāng)輸入作用具有周期性變化時。（4）沖激函數(shù)（Impulsefunction）

2/6/2023自動控制原理一般：運用階躍函數(shù)作為典型輸入作用信號，便于在統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。2/6/2023自動控制原理對控制性能的要求（1）系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的（2）系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求（3）系統(tǒng)在暫態(tài)過程中應(yīng)滿足暫態(tài)品質(zhì)的要求穩(wěn)準(zhǔn)快二、時域性能指標(biāo)規(guī)定時域性能指標(biāo)通常是以零初始條件下的單位階躍響應(yīng)曲線為依據(jù)的。2/6/2023自動控制原理暫態(tài)（動態(tài)）性能指標(biāo)延遲時間：（DelayTime）響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間。上升時間（RiseTime）響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。上升時間越短，響應(yīng)速度越快。

峰值時間（PeakTime）：響應(yīng)曲線第一次達(dá)到峰值所需的時間。2/6/2023自動控制原理暫態(tài)（動態(tài)）性能指標(biāo)④調(diào)節(jié)時間：（SettlingTime）響應(yīng)曲線與響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值的偏差達(dá)到允許范圍（一般取穩(wěn)態(tài)值的或）以后不再超出這個范圍所需的最短時間。

⑤最大超調(diào)量（MaximumOvershoot）：響應(yīng)曲線首次達(dá)到的峰值超過穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)為超調(diào)量。即

2/6/2023自動控制原理用穩(wěn)態(tài)誤差來表示。當(dāng)時，輸出響應(yīng)期望的理論值與實際值之差稱為穩(wěn)態(tài)誤差。ess穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)（準(zhǔn)確性）或評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度；同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。評價系統(tǒng)的阻尼程度。2/6/2023自動控制原理3.2一階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。K為閉環(huán)放大系數(shù)；T為一階慣性時間常數(shù)。

2/6/2023自動控制原理由于c(t)的終值為1，因而系統(tǒng)單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為零。

暫態(tài)性能指標(biāo)：一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

Unit-StepResponseofFirst-orderSystem2/6/2023自動控制原理一階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)

稱為一階系統(tǒng)響應(yīng)的自然模式

2/6/2023自動控制原理例3-1試求該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間。如果要求,試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)取何值？求閉環(huán)傳遞函數(shù)，將其化成2/6/2023自動控制原理求時的反饋系數(shù)值2/6/2023自動控制原理二階系統(tǒng)定義：由二階微分方程描述的輸出量關(guān)于輸入量函數(shù)關(guān)系的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。實際應(yīng)用：2/6/2023自動控制原理典型二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖則閉環(huán)傳遞函數(shù)為令則R(s)C(s)2/6/2023自動控制原理閉環(huán)系統(tǒng)特征方程：（1）當(dāng)時：（2）當(dāng)時：（3）當(dāng)時：相等負(fù)實根（4）當(dāng)時：共軛虛根二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)2/6/2023自動控制原理(1)過阻尼()2/6/2023自動控制原理

2/6/2023自動控制原理(2)欠阻尼(）令－衰減系數(shù)

－阻尼振蕩頻率2/6/2023自動控制原理穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量2/6/2023自動控制原理(3)臨界阻尼()臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)當(dāng)時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的無超調(diào)單調(diào)上升過程2/6/2023自動控制原理（4）無阻尼（）2/6/2023自動控制原理二階系統(tǒng)在不同值瞬態(tài)響應(yīng)曲線2/6/2023自動控制原理ωn不變ξ增大2/6/2023自動控制原理ξ

不變ωn減小2/6/2023自動控制原理1）二階系統(tǒng)較為常見；2）高階系統(tǒng)在一定條件下與二階系統(tǒng)的響應(yīng)性能近似，可以按照滿足近似條件的二階系統(tǒng)的響應(yīng)性能來分析和設(shè)計高階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)的研究具有重要的意義2/6/2023自動控制原理欠阻尼系統(tǒng)(0<ξ<1)的時域性能指標(biāo)1．上升時間tr：評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度；2、峰值時間tp：評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度；3、超調(diào)量σ％：評價系統(tǒng)的阻尼程度；4、調(diào)節(jié)時間ts：同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。2/6/2023自動控制原理欠阻尼時：

二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性時域指標(biāo)的計算

1．上升時間tr,在暫態(tài)過程中第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間稱為上升時間。2、最大超調(diào)量最大超調(diào)量發(fā)生在第一個周期中t＝tm的時刻。根據(jù)求極值的方法計算2/6/2023自動控制原理3、調(diào)節(jié)時間4、峰值時間2/6/2023自動控制原理例3—1已知二階系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。當(dāng)輸入量為單位階躍函數(shù)時，試計算系統(tǒng)響應(yīng)的上升時間、峰值時間、超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間閉環(huán)傳函求(1)上升時間(2)峰值時間

(3)超調(diào)量

2/6/2023自動控制原理(4)調(diào)節(jié)時間

例3—2已知二階系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。當(dāng)輸入量為單位階躍函數(shù)時，①若要求，峰值時間，試確定系統(tǒng)參數(shù)K和τ，并計算上升時間和調(diào)節(jié)時間；②由①條件所確定的K值不變，τ取0時，系統(tǒng)的超調(diào)量又是多少？自然振蕩角頻率是否改變？2/6/2023自動控制原理2)結(jié)論：引入微分負(fù)反饋可增大系統(tǒng)的阻尼比，降低超調(diào)量，但不改變自然振蕩角頻率。2/6/2023自動控制原理例3—3系統(tǒng)是反饋系數(shù)為α的負(fù)反饋二階控制系統(tǒng)。已知單位階躍響應(yīng)特性，試根據(jù)圖中標(biāo)注的量確定系統(tǒng)參數(shù)K,T和α。思路：已知：2/6/2023自動控制原理六.穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性系統(tǒng)在擾動消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到原平衡態(tài)的性能。若線性系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點），則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；若在初始擾動的影響下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。穩(wěn)定的平衡態(tài)不穩(wěn)定的平衡態(tài)2/6/2023自動控制原理線性系統(tǒng)穩(wěn)定性例：飛機縱向控制系統(tǒng)

受縱向擾動作用

受持續(xù)縱向力作用結(jié)論線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的屬性；線性系統(tǒng)穩(wěn)定：當(dāng)t趨于無窮時，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)趨于恒值，表示為：2/6/2023自動控制原理線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法時域

單位階躍響應(yīng)復(fù)數(shù)域代數(shù)方法：勞斯判據(jù)

幾何方法：根軌跡法

2/6/2023自動控制原理系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程的特征根決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第三節(jié)代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定2/6/2023自動控制原理一、勞斯穩(wěn)定判據(jù)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實部；將各項系數(shù)，按下面的格式排成勞斯表2/6/2023自動控制原理將各項系數(shù)，按下面的格式排成勞斯表2/6/2023自動控制原理這樣可求得n+1行系數(shù)勞斯穩(wěn)定判據(jù):如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。2/6/2023自動控制原理例求系統(tǒng)穩(wěn)定時各系數(shù)應(yīng)滿足的條件2/6/2023自動控制原理已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為例試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表由于該表第一列系數(shù)的符號變化了兩次，所以該方程中有二個根在S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2/6/2023自動控制原理已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表由于表中第一列上面的符號與其下面系數(shù)的符號相同，表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。例2/6/2023自動控制原理勞斯表某一行中的第一項等于零，而該行的其余各項不全等于零。解決的辦法是以一個很小的正數(shù)來代替為零的這項，據(jù)此算出其余的各項，完成勞斯表的排列。如果上面一行首列的系數(shù)與下面一行首列的系數(shù)符號相同，則表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。勞斯判據(jù)特殊情況（勞斯表某一行中的第一項等于零）2/6/2023自動控制原理已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定2/6/2023自動控制原理例如，一個控制系統(tǒng)的特征方程為

由上表可知，第一列的系數(shù)均為正值，表明該方程在S右半平面上沒有特征根。令F(s)=0，求得兩對大小相等、符號相反的根系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，不穩(wěn)定。列勞斯表2/6/2023自動控制原理表示相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根。利用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個輔助多項式，并以這個輔助多項式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行。完成勞斯表的排列。這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解這個輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。勞斯表中出現(xiàn)全零行2/6/2023自動控制原理已知系統(tǒng)的特征方程式為求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：列勞斯表由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值。可得：二、勞斯判據(jù)的應(yīng)用例3-71.確定穩(wěn)定條件下某一參數(shù)的取值范圍2/6/2023自動控制原理例3－8某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時參數(shù)τ的取值范圍。方法：(1)求出閉環(huán)傳遞函數(shù)(2)再利用勞斯判據(jù)求參數(shù)范圍。2/6/2023自動控制原理穩(wěn)定判據(jù)(1)回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。(2)不能保證系統(tǒng)具備滿意的動態(tài)性能。(3)不能表明系統(tǒng)特征根在S平面上相對于虛軸的距離。然后用勞斯判據(jù)去判別該系統(tǒng)是否穩(wěn)定2.確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

相對穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量：最靠近虛軸的閉環(huán)極點與虛軸的距離求相當(dāng)于坐標(biāo)軸左移個單位代入特征方程若穩(wěn)定，則有的穩(wěn)定裕量。2/6/2023自動控制原理用勞斯判據(jù)檢驗下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗有幾個根在垂線的右方。例3-9解：列勞斯表第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。2/6/2023自動控制原理令1-=rS代入特征方程：04)1(3)1(10)1(223=+-+-+-rrr014223=--+rrr式中有負(fù)號，顯然有根在的右方。列勞斯表第一列的系數(shù)符號變化了一次，表示原方程有一個根在垂直直線可確定系統(tǒng)一個或兩個可調(diào)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

的右方。2/6/2023自動控制原理例3－9具有控制器二階系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。試計算系統(tǒng)穩(wěn)定時τ的取值范圍；在保證有的穩(wěn)定裕量時，τ的取值范圍又是多少？閉環(huán)傳函特征方程勞斯判據(jù)2/6/2023自動控制原理2/6/2023自動控制原理3.6穩(wěn)態(tài)誤差分析穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)穩(wěn)定運行時輸出響應(yīng)期望的理論值與實際值之差。測量誤差擾動誤差結(jié)構(gòu)性誤差原理性誤差提高測量精度減小測量誤差改進(jìn)系統(tǒng)設(shè)計減小原理性誤差原理性穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法2/6/2023自動控制原理一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義1、從輸入端定義

輸入量象函數(shù)與反饋量象函數(shù)之差稱為誤差象函數(shù)

誤差函數(shù)

2、從輸出端定義

直接反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不便于計算，輸出量期望的理論值事先并不知道。

雖間接反映了穩(wěn)態(tài)誤差，但是，形成它的輸入量和反饋的輸出量均是已知的，便于分析計算。2/6/2023自動控制原理圖3-23控制系統(tǒng)框圖得誤差傳遞函數(shù)二、給定輸入量作用下的穩(wěn)態(tài)誤差輸入形式結(jié)構(gòu)形式開環(huán)傳遞函數(shù)

給定的穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號形式一定時，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差，就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)所描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu).

2/6/2023自動控制原理令系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)增益。K系統(tǒng)類型(type)與系統(tǒng)的階數(shù)(order)的區(qū)別分析0、I、II型系統(tǒng)在階躍、斜坡、拋物線輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差三、控制系統(tǒng)的類型2/6/2023自動控制原理令令穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù):pKStaticpositionerrorconstant要求對于階躍作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系統(tǒng)1、階躍信號輸入2/6/2023自動控制原理一型系統(tǒng)二階系統(tǒng)在階躍輸入作用下的響應(yīng)的誤差曲線2/6/2023自動控制原理令穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)

Staticvelocityerrorconstant在斜坡輸入情況下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為∞，也就是說被控制量不能跟隨按時間變化的斜坡函數(shù)。而對Ⅰ型系統(tǒng)，有跟蹤誤差；Ⅱ型系統(tǒng)則能準(zhǔn)確的跟蹤斜坡輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為零。2、斜坡信號輸入2/6/2023自動控制原理二階系統(tǒng)在斜坡輸入作用下的響應(yīng)的誤差曲線一型系統(tǒng)2/6/2023自動控制原理令

令穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)

Staticaccelerationerrorconstant3、加速度信號輸入2/6/2023自動控制原理加速度信號輸入作用下的響應(yīng)的誤差曲線0型系統(tǒng)I型系統(tǒng)II型系統(tǒng)2/6/2023自動控制原理靜態(tài)位置誤差系數(shù)

靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

誤差系數(shù)類型

0型K00

Ⅰ型∞K0

Ⅱ型∞∞K靜態(tài)速度誤差系數(shù)輸入類型U*1(t)U*t*1(t)U/2*t2*1(t)0型U/(1+Kp)∞∞Ⅰ型0U/Kv∞Ⅱ型00U/Ka表2/6/2023自動控制原理例：某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試計算輸入函數(shù)為時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

Ⅱ型系統(tǒng)能夠完全跟隨階躍和斜坡輸入,對應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差為零線性系統(tǒng)應(yīng)用疊加定理求開環(huán)放大倍數(shù)K=202/6/2023自動控制原理控制系統(tǒng)時域分析暫態(tài)時域性能指標(biāo)勞斯判據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差2/6/2023自動控制原理暫態(tài)時域性能指標(biāo)

P99:3-2,3-4,3-5定義--前提：單位階躍輸入上升時間：輸出首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間。峰值時間：輸出首次達(dá)到峰值的時間。調(diào)節(jié)時間：此時刻后，輸出在一定范圍內(nèi)。超調(diào)量：輸出首次達(dá)到峰值超過穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。穩(wěn)態(tài)誤差：無窮時刻，輸出理論值與實際值之差。2/6/2023自動控制原理暫態(tài)時域性能指標(biāo)

P99:3-2,3-4,3-5計算公式--通?？疾榍纷枘岫A系統(tǒng)上升時間：峰值時間：調(diào)節(jié)時間：超調(diào)量：2/6/2023自動控制原理勞斯判據(jù):

P100:3-6,3-7,3-8,3-9使用目的：判斷閉環(huán)極點是否全部在虛軸左側(cè)。研究對象：特征方程**幾個概念**特征方程特征根閉環(huán)極點閉環(huán)零點2/6/2023自動控制原理勞斯判據(jù)

P100:3-6,3-7,3-8,3-9研究方法：列寫勞斯表，看第一列符號研究步驟：（1）確定系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。（2）獲得特征方程，判斷各項系數(shù)>0。（3）按S降次,列寫勞斯表(零值處理）（4）判斷勞斯表第一列符號，全正穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。（5）僅首列出現(xiàn)零，上下符號一致，存在共軛虛根，上下符號相反，存在實部為正的根。（6）出現(xiàn)全零行，存在共軛虛根。利用輔助方程可求解。2/6/2023自動控制原理勞斯判據(jù)

P100:3-6,3-7,3-8,3-9應(yīng)用（1）求解參數(shù)取值范圍（2）確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性2/6/2023自動控制原理穩(wěn)態(tài)誤差:

P100:3-11,3-13定義：輸入端；輸出端求解：前提：系統(tǒng)穩(wěn)定研究：輸入端方法：終值定理步驟：（1）判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性（2）由開環(huán)傳函，確定系統(tǒng)類型（3）典型輸入下，應(yīng)用終值定理，求穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)（4）結(jié)合誤差系數(shù)與誤差關(guān)系，求取穩(wěn)態(tài)誤差2/6/2023自動控制原理對控制系統(tǒng)的要求：穩(wěn)、快、準(zhǔn)

穩(wěn)——穩(wěn)定性，指系統(tǒng)能否達(dá)到新的平衡狀態(tài)。穩(wěn)定是系統(tǒng)首先必須滿足的條件，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。通俗地說，只有在系統(tǒng)能夠使用的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)才有其它指標(biāo)要求。

快——暫態(tài)性能，指系統(tǒng)從最初的平衡狀態(tài)，在控制