第3章線性規(guī)劃的靈敏度分析與最優(yōu)解的解釋

第三章線性規(guī)劃的靈敏度分析與最優(yōu)解的解釋講授人：朱玉春教授單位：經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

2011年西北農(nóng)林科技大學(xué)引言

靈敏度分析是研究當(dāng)一個線性規(guī)劃問題中的系數(shù)發(fā)生變化時，其對函數(shù)最優(yōu)解的影響程度。運(yùn)用靈敏度分析，我們可以回答以下問題：1.如果目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)發(fā)生了變化，對最優(yōu)解會產(chǎn)生什么影響？2.如果改變約束條件的右端值，對最優(yōu)解會產(chǎn)生什么影響？首先我們將介紹如何使用圖解法進(jìn)行雙變量線性規(guī)劃問題的靈敏度分析，然后介紹如何使用管理科學(xué)家軟件得到靈敏度分析報告。本章主要內(nèi)容3.1靈敏度分析簡介3.2圖解法靈敏度分析3.3靈敏度分析：計算機(jī)求解3.4多于兩個決策變量的情況3.5電子通信公司問題3.1靈敏度分析簡介

靈敏度分析對于決策者的重要性不言而喻。在真實世界里，周圍的環(huán)境，條件是在不斷變化的。原材料的成本在變，產(chǎn)品的需求在變，公司購買新設(shè)備、股票價格的波動，員工流動等等這些都在不斷發(fā)生。如果我們要用線性規(guī)劃模型去解決實際問題，那模型中的系數(shù)就不可能是一成不變的。這些系數(shù)的變化會對模型的最優(yōu)解產(chǎn)生什么樣的影響呢？運(yùn)用靈敏度分析，我們只需要改變相應(yīng)的系數(shù)就可以得到答案，而不需要建立新的模型。3.1靈敏度分析簡介回憶Par公司的問題：我們已經(jīng)知道這個問題的最優(yōu)解是標(biāo)準(zhǔn)袋生產(chǎn)540個，高級袋生產(chǎn)252個，這個最優(yōu)解的前提是每個標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤是10美元，每個高級袋的利潤是9美元。3.1靈敏度分析簡介假設(shè)，我們得知由于價格的下降，標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤由10美元下降到8.5美元。這時我們可以用靈敏度分析來確定標(biāo)準(zhǔn)袋生產(chǎn)540個，高級袋生產(chǎn)252個是否還是最優(yōu)解。如果還是，則不必建立新的模型求解了。靈敏度分析還可以用來分析模型中的系數(shù)哪個更能左右最優(yōu)解。比如，管理層認(rèn)為高級袋的利潤9美元只是一個估計量，如果通過靈敏度分析得到高級袋的利潤在6.67和14.29美元之間變化時，模型的最優(yōu)解都是540個標(biāo)準(zhǔn)袋和252個高級袋，那么管理層就對9美元這個估計量和模型所得出的最優(yōu)產(chǎn)量比較滿意。但是，如果靈敏度分析告訴我們只有當(dāng)高級袋的利潤在8.9和9.25美元之間，模型的最優(yōu)解才是540個標(biāo)準(zhǔn)袋和252個高級袋，那么管理層就必須思考9美元這個估計量的可信程度有多大了。3.1靈敏度分析簡介

靈敏度分析的另一個用途是分析約束條件的右端值變化對最優(yōu)解的影響。還是以Par公司為例，在最優(yōu)產(chǎn)量的情況下，切割與印染部門和成型部門的工作時間已經(jīng)完全被占用了。如果現(xiàn)在公司增加了這兩個部門的生產(chǎn)能力，那么最優(yōu)解以及總利潤的值會發(fā)生什么樣的變化呢？靈敏度分析可以幫助確定每一個工時的邊際價值，以及在利潤下降之前部門工時的最大增加量。3.2圖解法靈敏度分析

對于雙變量的線性規(guī)劃問題，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)或約束條件的右端值變化時，用圖解法對其進(jìn)行靈敏度分析。我們先思考目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)變化會對Par公司的最優(yōu)產(chǎn)量產(chǎn)生什么樣的影響。選擇每個標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤是10美元，每個高級袋的利潤是9美元，如果其中一種袋子利潤下降，公司就會削減其產(chǎn)量，如果利潤上升，公司就會增加其產(chǎn)量。究竟利潤變化多少，管理者才應(yīng)該改變產(chǎn)量呢？現(xiàn)在，模型的最優(yōu)解540個標(biāo)準(zhǔn)袋和252個高級袋。每個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)都有一個最優(yōu)范圍，即目標(biāo)函數(shù)系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化，模型的最優(yōu)解保持不變。3.2圖解法靈敏度分析

3.2.1目標(biāo)函數(shù)系數(shù)

認(rèn)真觀察圖發(fā)現(xiàn)，只要目標(biāo)函數(shù)直線的斜率處于直線A（和切割與印染約束線重合）的斜率與直線B（與成型約束線重合）的斜率之間，極點3（S=540，D=252）就是最優(yōu)解的點。改變目標(biāo)函數(shù)里S和D的系數(shù)，引起目標(biāo)函數(shù)直線斜率的變化，即繞著極點3旋轉(zhuǎn)。只要目標(biāo)函數(shù)直線仍在陰影區(qū)域內(nèi)，極點3仍是最優(yōu)解。3.2圖解法靈敏度分析

逆時針轉(zhuǎn)動目標(biāo)函數(shù)直線，使其斜率變成一個絕對值更小的負(fù)數(shù)，從而斜率變大了。直到與A重合，我們就獲得了多重最優(yōu)解——在極點3和極點4之間的點都是最優(yōu)點。因此A的斜率是目標(biāo)函數(shù)直線的上限。順時針轉(zhuǎn)動目標(biāo)函數(shù)直線，使其斜率變成一個絕對值更大的負(fù)數(shù)，從而斜率變小了。直到與B重合，我們又獲得了多重最優(yōu)解——極點3和極點2之間都是最優(yōu)點。因此B的斜率是目標(biāo)函數(shù)直線斜率的下限。因此，極點3總是最優(yōu)解點，只要直線B的斜率≤目標(biāo)函數(shù)直線的斜率≤直線A的斜率3.2圖解法靈敏度分析

根據(jù)直線A和直線B的表達(dá)式，可以算出A的斜率是-7/10，截距是630。B的斜率是-3/2，截距是1062。則直線A和直線B的斜率都已經(jīng)計算出來了，我們來看保持極點3仍然為最優(yōu)解點，應(yīng)滿足條件：-3/2≤目標(biāo)函數(shù)的斜率≤-7/103.2圖解法靈敏度分析

現(xiàn)在讓我們考慮目標(biāo)直線斜率的一般形式。用CS表示標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤，CD表示高級袋的利潤，P表示目標(biāo)函數(shù)值。使用這些標(biāo)識，目標(biāo)函數(shù)直線可以寫成：P=CSS+CDD

把上面方程寫成斜截式，得到CDD=-CSS+P

以及D=-S(CS/CD)+P/CD

因此我們看到只要滿足下列條件，極點3就仍然為最優(yōu)解點：-3/2≤-CS/CD≤-7/103.2圖解法靈敏度分析

為了計算標(biāo)準(zhǔn)袋利潤最優(yōu)的范圍，我們假設(shè)高級袋的利潤C(jī)D=9，代入上式得-3/2≤-CS/9≤-7/10

從左邊的不等式得到-3/2≤-CS/9或者3/2≥CS/9

從右邊的不等式得到-CS/9≥-7/10或者CS/9≥7/10

綜合標(biāo)準(zhǔn)袋利潤C(jī)S的極限，標(biāo)準(zhǔn)袋最優(yōu)范圍為6.3≤CS≤13.53.2圖解法靈敏度分析

因此，只要標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤在6.3美元與13.5美元之間，540個標(biāo)準(zhǔn)袋和252個高級袋總是最優(yōu)產(chǎn)量。值得注意的是，即使產(chǎn)量不變，總的利潤也可能由于每一個標(biāo)準(zhǔn)袋利潤的變化而變化。這些計算可以重復(fù)進(jìn)行，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)袋的利潤為常數(shù)CS=10，如此一來，高級袋的利潤的最優(yōu)范圍就能夠確認(rèn)，這個范圍是6.67≤CD≤14.29。3.2圖解法靈敏度分析

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)繞最優(yōu)點旋轉(zhuǎn)，使之與坐標(biāo)軸垂直時，像式中出現(xiàn)的那種斜率的上限或下限就不存在了。為了說明這種特殊情況，我們設(shè)Par公司的目標(biāo)函數(shù)為18CS+9CD；這樣，圖中，極點2是最優(yōu)解點，繞著極點2逆時針旋轉(zhuǎn)目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與直線B重合時，就得到了斜率的上限-3/2。所以目標(biāo)函數(shù)斜率上限一定是-3/2。最后當(dāng)目標(biāo)函數(shù)垂直于坐標(biāo)軸時，其斜率接近負(fù)無窮大，在這種情況下，目標(biāo)函數(shù)的斜率沒有下限，只有上限-3/2。-CS/CD≤-3/23.2圖解法靈敏度分析

按照前面假定的CD的值，仍為常數(shù)9，我們得到-CS/9≤-3/2或者CS/9≥3/2

解出CS，得CS≥27/2=13.5

我們注意到，只要CS的值大于等于13.5，極點2仍然是最優(yōu)解點，因此我們得到以極點2為最優(yōu)解的CS的范圍，如下13.5≤CS＜∞3.2圖解法靈敏度分析

多系數(shù)同時改變目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的最優(yōu)范圍只能夠應(yīng)用于一次只有一個系數(shù)發(fā)生改變的情況，其他系數(shù)都假定保持初值而不發(fā)生改變。如果兩個或兩個以上目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)被同時改變，就有必要進(jìn)一步判斷最優(yōu)解會不會也發(fā)生變化。對于解決只有兩個變量的問題時，簡單的計算出在新的系數(shù)值下目標(biāo)函數(shù)的斜率（-CS/CD），如果這個比值大于等于目標(biāo)函數(shù)斜率的下限，同時小于等于目標(biāo)函數(shù)斜率的上限，那么系數(shù)值的變化不會使最優(yōu)解發(fā)生變化。3.2圖解法靈敏度分析

觀察最優(yōu)范圍，我們得出結(jié)論，無論是CS升高到13美元還是使CD降低到8美元（但不是同時改變），都不會帶來最優(yōu)解的變化。但當(dāng)CS與CD同時改變時，目標(biāo)函數(shù)斜率的變化導(dǎo)致了最優(yōu)解的變化。這個結(jié)論強(qiáng)調(diào)了這樣一個事實：僅僅是通過最優(yōu)范圍，只能用于判斷在一次改變一個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的情況下最優(yōu)解的變化。3.2圖解法靈敏度分析

3.2.2約束條件右端值的變化

現(xiàn)在讓我們來考慮約束條件右端值的變化對可行域帶來的影響，及其可能對最優(yōu)解帶來的變化。為了闡明敏感度分析的這方面內(nèi)容，我們假設(shè)Par公司的切割與印染部門增加了10個小時的生產(chǎn)時間，然后來考慮將會有什么發(fā)生。切割與印染約束條件的右端值由630變?yōu)?40，約束條件可寫作7/10S+D≤6403.2圖解法靈敏度分析

獲得10小時的切割與印染時間，我們可以擴(kuò)展問題的可行域。運(yùn)用圖解法可以看出，極點S=527.5，D=270.5是最優(yōu)解點。新的目標(biāo)函數(shù)值為10*527.5+9*270.5=7711.75美元，比原先利潤增加了43.75美元。約束條件右端值每增加一個單位引起的最優(yōu)值的變化量稱為對偶價格。在這個例子里，切割與印染約束條件的對偶價格為4.375美元。約束條件增加或減少一小時，目標(biāo)函數(shù)值會相應(yīng)增加或減少4.375美元。3.2圖解法靈敏度分析

在這里，我們要注意的是，對偶價格可能只適用于在右端值僅發(fā)生了很小的變動時的情況。隨著所獲得的資源越來越多，從而右端值越來越大，其他的約束條件也可能會約束和限制目標(biāo)函數(shù)值的變化。3.3靈敏度分析：計算機(jī)求解

為了使用管理科學(xué)家軟件，我們使用小數(shù)代替分?jǐn)?shù)。Par公司的問題用小數(shù)形式的系數(shù)表示如下：

Max10S+9D

s.t.0.7S+D≤630切割與縫合

0.5S+0.83333D≤600縫合

1.0S+0.66667D≤708成型

0.1S+0.25D≤135檢查與包裝

S,D≥03.3靈敏度分析：計算機(jī)求解

3.3.1計算機(jī)輸出的解釋——第一個例子

回憶Par公司的例子，其中有4個小于或等于約束條件的，都是關(guān)于各個生產(chǎn)部門的生產(chǎn)時間。在松弛/剩余變量一欄中，可以看到每個部門的松弛變量值。信息歸總?cè)缦拢?/p>

從上述數(shù)據(jù)中，我們可以看到束縛性約束條件（切割與印染和成型）在目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)下，松弛為0?？p合部門有120小時的松弛或未使用的縫合能力，檢查與包裝部門有18小時的松弛。3.3靈敏度分析：計算機(jī)求解3.3靈敏度分析：計算機(jī)求解這里，約束條件1（切割與印染）和約束條件3（成型）的非零對偶價格分別為4.37496和6.93753。這告訴我們，每額外增加1小時的切割與印染時間會使最優(yōu)解增加4.37美元，每增加1小時成型時間會使最優(yōu)解增加6.94美元?？瓷蠄D結(jié)果，我們看到管理科學(xué)家軟件除了提供松弛/剩余變量和對偶價格的約束信息之外，還給出了目標(biāo)函數(shù)系數(shù)和約束條件右端值的變化范圍。變量S的最優(yōu)化范圍是：

6.3≤CS≤13.5

變量D的最優(yōu)化范圍是：

6.67≤CD≤14.29

這個最優(yōu)化范圍與圖解法得出的結(jié)論是一致的。3.3靈敏度分析：計算機(jī)求解

計算機(jī)輸出結(jié)果的最后一部分右端值范圍給出了對偶價格適用范圍的限制條件。只要約束條件右端值處于系統(tǒng)所給出的下限和上限之間，對偶價格就會給出當(dāng)右端值增加1時，最優(yōu)解的增加量。右端值范圍給出了一個對偶價格的適用范圍。如果右端值的變化超出了這個范圍，就需要重解原問題并找出新的對偶價格。我們把這個對偶價格適用的范圍稱作可行域。Par公司問題的可行域匯總?cè)缦隆?/p>

只要右端值在這些范圍之內(nèi)，系統(tǒng)分析結(jié)果中的那些對偶價格就不會改變。右端值如果超過了這些范圍，對偶價格信息會隨之改變。3.3靈敏度分析：計算機(jī)求解

3.3.2多系數(shù)同時變化

系統(tǒng)靈敏度分析的輸出是基于單函數(shù)系數(shù)變化的。它假設(shè)所有其他系數(shù)都保持不變。因此目標(biāo)函數(shù)系數(shù)和約束右端值的變化范圍只能適用于單個系數(shù)發(fā)生變化的情況。然而很多情況下，我們可能更關(guān)注兩個或兩個以上系數(shù)同時變化時，目標(biāo)函數(shù)將怎樣變化。有些多系數(shù)同時變化的分析可能會用到100%法則。下面分析如何應(yīng)用100%法則。3.3靈敏度分析：計算機(jī)求解

假設(shè)Par公司的會計部門指出原先的標(biāo)準(zhǔn)袋和高級袋利潤計算有誤，應(yīng)該是11.5美元和8.25美元。為了確定這樣的變化是否會對最優(yōu)解產(chǎn)生影響，我們先要定義兩個術(shù)語“允許增加量”和“允許減少量”。對于目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)，允許增加量是在不超過最優(yōu)范圍的情況下，系數(shù)盡可能增加的最大量；而允許減少量是在不低于最優(yōu)范圍下限的情況下，系數(shù)可能減少的最大量。3.3靈敏度分析：計算機(jī)求解目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的100%法則

對所有變化的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)，計算其占允許增加量和允許減少量的百分比之和。如果和沒有達(dá)到100%，最優(yōu)解就不會改變。但是，100%法則并沒有規(guī)定如果各百分比之和達(dá)到100%，最優(yōu)解一定會發(fā)生變化。如果100%法則的條件不能被滿足，就必須對問題重新求解，以確定最優(yōu)解是否發(fā)生變化。3.3靈敏度分析：計算機(jī)求解

下面100%法則相似的定理也可以用來解決多個約束條件右端值同時發(fā)生變化的情況：約束條件右端值的100%法則

對所有變化的右端值，計算其占允許增加量和允許減少量的百分比之和。如果和沒有達(dá)到100%，對偶價格就不會改變。下面我們說明在Par公司問題中，多個右端值發(fā)生變化時，約束條件右端值的100%法則。3.3靈敏度分析：計算機(jī)求解

例如，假設(shè)切割與印染部門能獲得額外的20個小時時間，同時成型部門能獲得額外的100小時的時間，切割與印染時間的允許增量是52.36316，成型時間允許增量是192.0，新增的20小時切割與印染時間占約束條件右端值允許增加量的38.19%，額外的100小時成型占了總允許增加量的52.8%。二者百分比和為90.27%，沒有超過100%，因此我們可以得出結(jié)論：對偶價格在這里是適用的，并且目標(biāo)函數(shù)值將由此增加20*4.37+100*6.94=781.40.3.3靈敏度分析：計算機(jī)求解

3.3.4關(guān)于對偶價格解釋的注釋

如前所述，對偶價格是右端值每增加一個單位時對最優(yōu)值的改進(jìn)。當(dāng)約束條件的右端值表示某種資源的可利用量時，對偶價格通?？梢越忉尀楣緦︻~外支付一單位這種資源所愿意提供的金額。然而這種解釋也并非總是正確的。要理解這個問題，我們先要理解沉沒成本和相關(guān)成本的區(qū)別。沉沒成本不會受決策影響，無論決策變量為何值，這種成本都會發(fā)生。相關(guān)成本則取決于決策的制定，這種成本決定于決策變量值的變化。3.3靈敏度分析：計算機(jī)求解

重新考慮Par公司的例子。切割印染總時間是630小時，無論生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)袋還是高級袋，都是按照時間來付工資的，那么時間成本就是一種沉沒成本。如果Par公司只需要為那些切割與印染高爾夫球袋的時間償付工資，那么時間成本就是一種相關(guān)成本。所有的相關(guān)成本都要在線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)中有所反映。3.3靈敏度分析：計算機(jī)求解

對Par公司而言，我們一直假設(shè)公司必須按照工作時間來向工人發(fā)工資，不管他們的工作時間是否有效率地被利用。因此，Par公司的勞動時間資源的成本就屬于沉沒成本而不在目標(biāo)函數(shù)中反映出來。當(dāng)某種資源的成本屬于沉沒成本，對偶價格就可以被解釋為得到額外一個單位這種資源而付出的金額。當(dāng)某種資源的成本屬于相關(guān)成本，對偶價格則可以被解釋為這種資源的價值超過其成本的數(shù)額，也就是增加一個這種資源時，公司能付出的最大成本量。3.4多于兩個決策變量的情況

圖解法只能應(yīng)用于解決雙決策變量的線性規(guī)劃問題，而計算機(jī)軟件是用來處理多變量和約束條件的線性規(guī)劃問題的。在現(xiàn)實生活中，用線性規(guī)劃解決的問題經(jīng)常包含大量的變量和約束條件。

Par公司原來的問題模型如下：3.4多于兩個決策變量的情況

假設(shè)管理者希望生產(chǎn)一種輕便的、可以被球手隨身攜帶的球袋模型。設(shè)計部門估計每個新球袋將需要0.8小時的切割印染，1小時縫合，1小時成型和0.25小時檢查包裝。管理者認(rèn)為每個輕便袋可以獲利12.85美元。修改模型，加入新的決策變量，得模型：Max10S+9D+12.85Ls.t.0.7S+D+0.8L≤6300.5S+0.83333D+L≤630S+0.66667D+L≤7080.1S+0.25D+0.25L≤135S,D,L≥03.4多于兩個決策變量的情況3.4多于兩個決策變量的情況3.4多于兩個決策變量的情況3.4多于兩個決策變量的情況

計算機(jī)輸出結(jié)果表明，S和L的減少的成本都為0，這是因為相應(yīng)的決策變量值在最優(yōu)解處已經(jīng)是正值。變量D的減少的成本為1.15003，表明高級袋的利潤至少增加到9+1.15003=10.15003美元，D才能變成一個正值。假設(shè)我們使D的系數(shù)正好增加1.15003美元，在用管理科學(xué)家軟件來重解原問題。3.4多于兩個決策變量的情況3.4多于兩個決策變量的情況

我們注意到，盡管D的值已經(jīng)是正數(shù)最優(yōu)解的值仍然沒有變。換言之，當(dāng)D利潤的增量正好等于其減少的成本時，能得到多重最優(yōu)解。如果換一個軟件解決問題，目標(biāo)函數(shù)中D的系數(shù)正好是10.15003，D將不再是正值。這是因為軟件得出了一個不同的最優(yōu)解。但是，如果D的利潤增加量超過1.15003美元，它在最優(yōu)解處就不再是0。3.4多于兩個決策變量的情況

假設(shè)管理者審核了解決方案后發(fā)現(xiàn)，他們會放棄所有不生產(chǎn)高級袋的方案，并要求高級袋的產(chǎn)量至少達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)袋的30%。表示如下：D≥0.3S或者-0.3S+D≥0

把這個新的約束條件加入Par公司的模型中運(yùn)用管理科學(xué)家軟件進(jìn)行重解，我們得到下圖的最優(yōu)解。3.4多于兩個決策變量的情況3.4多于兩個決策變量的情況

我們來解釋約束條件的對偶價格，這一約束要求高級袋產(chǎn)量至少要達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)袋產(chǎn)量30%。其對偶價格為-1.38，表明如果右端值增加一個單位，將使利潤減少1.38美元。因此，-1.38的對偶價格告訴我們，如果約束條件變?yōu)槿缦滦问?，最?yōu)解將會怎么變化。D≥0.3S+13.4多于兩個決策變量的情況

對-1.38的對偶價格比較正確的解釋可以表述如下：如果高級袋的產(chǎn)量由30%的標(biāo)準(zhǔn)袋產(chǎn)量提高一個單位，總利潤會減少1.38美元。相反，如果使得30%的最低要求減少一個單位(D≥0.3S-1)，總利潤會增加1.38美元。3.4多于兩個決策變量的情況

3.4.2牧草農(nóng)場問題

我們來看一個三決策變量的最小化問題。牧草農(nóng)場公司一直在試驗一種特殊的賽馬食品。該食品的成分包括標(biāo)準(zhǔn)的馬飼料產(chǎn)品，一種富含維生素的燕麥，以及一種新型維生素和礦物質(zhì)飼料添加劑。下表歸納了每磅食品的營養(yǎng)價值和各種成分的成本。3.4多于兩個決策變量的情況3.4.3建立牧草農(nóng)場問題的模型建立牧草農(nóng)場的線性規(guī)劃模型之前，我們需要引入如下3個變量：S——標(biāo)準(zhǔn)馬飼料的量E——高營養(yǎng)燕麥的量

A——維生素和礦物質(zhì)飼料添加劑的量運(yùn)用數(shù)據(jù)，總成本最小的目標(biāo)函數(shù)可以表示如下：Min0.25S+0.50E+3A成分A的約束：0.8S+0.2E≥3成分B的約束：S+1.5E+3A≥6成分C的約束：S+0.6E+2A≥4最多6磅的混合重量的約束：S+E+A≤63.4多于兩個決策變量的情況

合并所有約束條件，加上非負(fù)約束，完整的牧草農(nóng)場問題的線性規(guī)劃模型表述如下：3.4多于兩個決策變量的情況

3.4.4牧草農(nóng)場問題的計算機(jī)求解和解釋

用管理科學(xué)家軟件解決牧草農(nóng)場問題的結(jié)果如圖所示。取近似后最優(yōu)解為每天的食品中包含3.51磅的標(biāo)準(zhǔn)馬飼料，0.95磅的高營養(yǎng)燕麥和1.54磅維生素和礦物質(zhì)飼料添加劑。因此，各成分的單位成本分別為0.25美元、0.5美元、3.00美元，因此總的成本為：3.4多于兩個決策變量的情況3.4多于兩個決策變量的情況

觀察計算機(jī)輸出的松弛/剩余部分，約束條件2的值為3.554.由于約束2是大于等于型的，因此3.554是剩余值。由于約束1和約束3的剩余值都是0，因而我們看到最優(yōu)混合中，成分A和成分C剛好滿足最低要求。此外，約束4的剩余值也是0，說明最優(yōu)解中每天的飼料重量正好是6磅。3.4多于兩個決策變量的情況

成分A的約束條件（約束條件1）的對偶價格為-1.22.合理解釋這個值，首先我們看它的符號為負(fù)，因此我們知道如果增加其右端值，將使得最優(yōu)解變得更壞。在最小化問題中，“更壞”意味著總成本的增加，因此，右端值一單位的增加會使總成本上升1.22美元。反過來，也可以說右端值每減少一個單位，總成本下降1.22美元。觀察右端值范圍部分，我們看見只要右端值在1.143到3.368之間，上述解釋就是合理的。3.4多于兩個決策變量的情況

假設(shè)牧草農(nóng)場的管理者想重新考慮馬匹的最大進(jìn)食量，約束條件的對偶價格為0.92，表明右端值每增加一個單位，總成本就會減少0.92美元。右端值范圍部分顯示，在右端值增加到8.478之前，這種解釋都是正確的。所以，如果約束條件4的右端值由6增加到8，總成本就會減少2*0.92或者說1.84美元。切記，這種變化可能導(dǎo)致可行域的變化，由此可以獲得新的最優(yōu)解。3.4多于兩個決策變量的情況

結(jié)果輸出目標(biāo)函數(shù)系數(shù)范圍S下限-0.393，在實際問題中，我們認(rèn)為S下限為0。由此得到，無論標(biāo)準(zhǔn)飼料的價格下降多少，最優(yōu)解都不會改變。即使牧草農(nóng)場免費獲得標(biāo)準(zhǔn)飼料，最優(yōu)解仍然是3.51磅的標(biāo)準(zhǔn)飼料，0.95磅的高營養(yǎng)燕麥和1.54磅維生素和礦物質(zhì)飼料添加劑。然而，標(biāo)準(zhǔn)飼料單位成本的減少，都會引起總成本的減少。目標(biāo)函數(shù)系數(shù)S和A是沒有上限限制的，如果增加A的值，比如從每磅3美元增加到每磅13美元，最優(yōu)解不變，總成本增加10倍。我們對計算機(jī)輸出結(jié)果所做的靈敏度分析的解釋，只有在問題中其他系數(shù)不變的情況下才有效。3.5電子通信公司問題

這里我們討論的電子通信公司問題是一個最大化問題，這個問題包括4個決策變量，2個小于等于形式的約束條件，1個等于形式的約束條件和1個大于等于形式的約束條件。我們的目標(biāo)是建立一個簡單的數(shù)學(xué)模型，使用管理科學(xué)家軟件求出模型最優(yōu)解，對求出的解進(jìn)行解釋，并進(jìn)行靈敏度分析。3.5電子通信公司問題

讓我們來看這個例子，電子通信公司主要生產(chǎn)雙向便攜式無線報話機(jī)。該公司最近開發(fā)了一種新產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的通信范圍可以覆蓋22英里，適合企業(yè)和個人使用。該新產(chǎn)品的分銷渠道是：航海器材經(jīng)銷店商用器材經(jīng)銷店全國范圍的連鎖零售店直接郵購3.5電子通信公司問題

由于分銷和促銷成本的差異，產(chǎn)品的利潤也因銷售渠道的不同而不同。此外，廣告費用和人力成本也與銷售渠道有關(guān)。下表介紹了電子通信公司不同銷售渠道的銷售利潤、廣告費用和人工成本。廣告預(yù)算5000美元，每個銷售渠道的最大個人銷售時間是1800小時，公司現(xiàn)階段決定制造的產(chǎn)品數(shù)600件，此外，全國連鎖零售店要求最少銷售150件產(chǎn)品。電子通信面臨的問題是如何制定一個分銷策略，使其總的銷售利潤最大。表3-2電子通信公司的利潤、廣告費用和銷售時間3.5電子通信公司問題

3.5.1建模

我們首先寫出電子通信公司的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。約束條件1廣告支出≤廣告預(yù)算約束條件2銷售時間≤最大可用時間約束條件3產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量=公司要求產(chǎn)量約束條件4零售分銷量≥合同要求的最低分銷量下面定義決策變量M——航海器材經(jīng)銷店銷售產(chǎn)品數(shù)量B——商用器材經(jīng)銷店銷售產(chǎn)品數(shù)量R——全國連鎖零售店銷售產(chǎn)品數(shù)量D——直接郵購產(chǎn)品數(shù)量3.5電子通信公司問題目標(biāo)函數(shù)：Mas90M+84B+70R+60D現(xiàn)在設(shè)立約束條件。廣告預(yù)算5000美元10M+8B+9R+15D≤5000銷售時限1800小時2M+3B+3R≤1800現(xiàn)階段公司要求生產(chǎn)600件產(chǎn)品，所以M+B+R+D=600最后全國連鎖零售店至少賣出150件產(chǎn)品R≥1503.5電子通信公司問題綜合所有約束條件，電子通信公司問題的完整線性規(guī)劃模型如下：Max90M+84B+