1.2 集合間的關(guān)系-(人教A版2019必修第一冊) (教師版)

集合間的關(guān)系1子集①概念

對于兩個集合A，B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集(subset).

記作：A?B(或B?A)，讀作：A包含于B，或B包含A.

當集合A不包含于集合B②Venn圖

2真子集概念：若集合A?B，但存在元素x∈B且x?A，則稱集合A是集合B的真子集.

記作：A?B(或B?A)

讀作：A真包含于B(或B真包含A)

類比?與?的關(guān)系就好比≤與小于<的關(guān)系，"≤"是小于或等于，"?"是真包含或相等Eg：3≤3是對的，而3<3是錯的，若a<b，則a≤b也成立；對比下，A?A是對的，但A?A是錯的，若A?B，則A?B也成立.如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，則集合A與集合B相等．即A?B且B?A?A=B.4幾個結(jié)論①空集是任何集合的子集：??A；

②空集是任何非空集合的真子集；

③任何一個集合是它本身的子集；

④對于集合A,B,C，如果A?B且B?C，那么A?C；

⑤集合中有n個元素，則子集的個數(shù)為2n，真子集的個數(shù)為2【典題1】求集合A={x∈N|0<x<4}的子集個數(shù).

【解析】集合A=x∈N0<x<4={1,2,3}，則其子集有?,1,2【點撥】①討論集合的子集，不要漏了空集與自身；②集合中有n個元素，則子集的個數(shù)為2n，真子集的個數(shù)為2n【典題2】已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}【解析】由題得A={1,2},因為B?A，則B=?或{1}或{2}或{1,2}，①當B=?，所以△=4a+12②當B={1}，則△=8a+24=01+2(a+1)+a2-5=0③當B={2}，則△=8a+24=04+4(a+1)+a④當B={1,2}，則△=8a+24>0綜上a≤-3．【點撥】若B?A，注意不能忽略了“B=?”這種情況.【典題3】已知A=xx2-5x+4≤0,B=xx2-2ax+a+2≤0【解析】由題意：A={x|∵B?A,(分B=?或B≠?兩種情況討論)∴(i)當B=?時，x2即△<0?4a2-4(a+2)<0(ii)當B≠?時，要使B?A成立，令f(x)=x要滿足題意，由二次函數(shù)的圖像可知△≥01<--2a2(如圖所示)綜上可得：-1<a≤18【點撥】本題涉及到二次函數(shù)零點的分布問題，注意利用數(shù)形結(jié)合的方法進行求解.鞏固練習1(★★)設(shè)A,B是兩個集合，有下列四個結(jié)論：①若A?B，則對任意x∈A，有x?B；②若A?B，則集合A中的元素個數(shù)多于集合B中的元素個數(shù)；③若A?B，則B?A；④若A?B，則一定存在x∈A，有x?B．其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】對于①，不一定，比如A={1,2,4},B={1,2,3}.故錯誤；②若A?B，不一定，比如A={1,2,4},B={1,2,3,5,6}.故錯誤；③若B?A，則A?B，但B?A不成立，故錯誤；④若A?B，則一定存在x∈A，有x?B，故正確．故正確結(jié)論的個數(shù)為1個，故選：D2(★★)已知集合A={x|x=k+16,k∈N}，B={x|x=m2-13,m∈N}A．A?C?B B．C?A?B 【答案】A【解析】∵集合C={x|=n∴當n=2a(a∈N)當n=b-1(b∈又∵集合A={x|x=k+16，又∵集合B={x|x=m∴集合B比集合C多一個元素-13，即綜上所求：A?C?B，故選：A．3(★★)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|0<x<6,x∈N}，則滿足A?C?B的集合C的個數(shù)為A．4 B．8 C．7 D．16【答案】B【解析】集合A={x|xB={x|0<x<6,x∈N}={1,2,3,4,5}，∴滿足A?C?B的集合C有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8個．故選：B．4(★★)已知集合M=x∣x=m+16,m∈Z，N=x∣x=nA．M?NB．M?NC．N?MD．N?M【答案】B【解析】設(shè)n=2m或2m＋1，則有N=x∣x=又∵M=x∣x=m+165(★★)已知集合P={正奇數(shù)}和集合M={x|x=a⊕b,a∈P,b∈P}，若M?P，則M中的運算“⊕”是(A．加法 B．除法 C．乘法 D．減法【答案】C【解析】由于集合P={正奇數(shù)}且集合M是集合P的子集，則可設(shè)a=2m∵ab=(2m-∴M?P，而其它運算均不使結(jié)果屬于集合P，故選C．6(★★)已知集合A?{0,1,2}，且A中至少含有一個奇數(shù)，則這樣的集合A有個【答案】3【解析】∵集合A?∴A=?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，0,2，{1,2}．∵A中至少含有一個奇數(shù)，∴A={1}，{0,1}，{1,2}．∴這樣的集合A有3個．7定義集合A*B={x|x∈A,且x?B}，若A={1,3,5,7}，B={2,3,5}，則A*B的子集個數(shù)為【答案】4【解析】由題意：A*B={1,7}，故其子集為?，{1}，{7}，{1,7}，個數(shù)為48(★★)集合y∈N∣y=-x【答案】7【解析】x=0時，y=6；x=1時，y=5；x=2時，y=2；x=3時，y=-3；∵函數(shù)y=-x2+6∴當x≥3時，y<0；y∈N∣y=-x根據(jù)公式可得其真子集的個數(shù)為23-1=79(★★)集合A={-1,2}，B={x|ax-2=0}，若B?A，則由實數(shù)a組成的集合為【答案】{-2,1,0}【解析】∵集合A={-1,2}，B={x|ax-2=0}，B?A，∴B=?或B={-1}或B={2}∴a=0,1,-2．∴由實數(shù)a組成的集合為：{-2,1,0}．10(★★)已知集合A={x|x>1},B={x|ax>1}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍【答案】[0,1]【解析】已知集合A={x|x>1},B={x|ax>1}，若B?A，則A集合包含B集合的所有元素，解B集合時，當a<0時，不滿足題設(shè)條件，當a=0時，x無實數(shù)解，B集合為空集，滿足條件，當a>0時，x>1a，則1綜上則實數(shù)a的取值范圍為[0,1],11(★★★)已知集合A={x|x2-3x-10≤0}．(Ⅰ)若B={x|m-6≤x≤2m-1},A?B，求實數(shù)m的取值范圍；(Ⅱ)若B={x|m+1≤x≤2m-1},B?A,求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)[3,4](2)(-∞,3]【解析】集合A={x|x(Ⅰ)∵A?B，∴m-6≤-22m-1≥5，∴實數(shù)m的取值范圍為[3,4]；(Ⅱ)∵B?A，①當B=?時，m+1>2m-1，即m<2，②當B≠?時，m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為：(-∞,3]．12(★★★)已知集合A={x|1≤x≤2}