統(tǒng)計基礎教案-相關分析

統(tǒng)計基礎教案——相關解析統(tǒng)計基礎教案——相關解析PAGE9/9PAGE9統(tǒng)計基礎教案——相關解析PAGE第八章相關解析

經(jīng)過本章的學習，使學生認識相關關系和相關解析根本觀點，掌握相關解析理論。

學生必須深刻意會相關關系的觀點，弄清相關解析和回歸解析之間的關系,掌握相關解析和回歸解析的統(tǒng)計解析方法。

【教學重點、難點】

相關解析的觀點

相關系數(shù)的含義與計算

回歸方程的建立

回歸系數(shù)的含義

【教學用具】多媒體

【教學過程】

前述解析方法如綜合解析法、動向解析法、因素解析法、抽樣推斷法均是對同一現(xiàn)象的

數(shù)量特點進行描述和解析，而相關解析與之最大區(qū)別為相關解析重視于兩個現(xiàn)象之間的數(shù)量

聯(lián)系的研究，自然也不消除時間數(shù)列的自相關解析。相關解析有廣義與狹義之分，廣義的相

關解析還包括回歸解析，本章的相關解析是廣義的觀點。

第一節(jié)相關解析歸納

一、變量關系的種類

在大量變量關系中，存在著兩種不同的種類：函數(shù)關系和相關關系。

函數(shù)關系是指變量之間存在的一種完全確定的一一對應的關系，它是一種嚴格確實定

性的關系。

相關關系是指兩個變量也許假設干變量之間存在著一種不完全確定的關系，它是一種非

嚴格確實定性的關系。

兩者之間的聯(lián)系：

①由于人類的認知水平的限制，有些函數(shù)關系可能目前表現(xiàn)為相關關系。

②對擁有相關關系的變量進行量上的測定需要借助于函數(shù)關系。

二、相關關系的種類

按照相關關系涉及的因素的多少，可分為

單相關

復相關

按照相關關系的方向，可分為

正相關

負相關

按照相關的表現(xiàn)形式，可分為

直線相關

曲線相關

按照相關的程度，可以分為

完全相關

完全不相關

不完全相關

三、相關解析的內(nèi)容

對于相關關系的解析我們可以借助于假設干解析指標〔如相關系數(shù)或相關指數(shù)〕對變量之

間的親密程度進行測定，這種方法平時被稱作相關解析〔狹義觀點〕，廣義的相關解析還

包括回歸解析。對于存在的相關關系的變量，運用相應的函數(shù)關系來根據(jù)給定的自變量，來

估計因變量的值，這種統(tǒng)計解析方法平時稱為回歸解析。相關解析和回歸解析都是對現(xiàn)象的之間相關關系的解析。廣義相關解析包括的內(nèi)容有：

確定變量之間是否存在相關關系及其表現(xiàn)形式

狹義相關解析

確定相關關系的親密程度

確定相關關系的數(shù)學表達式

回歸解析

確定因變量估計值誤差的程度

第二節(jié)一元線性相關解析

一、相關關系親密程度的測定

在判斷相關關系親密程度從前，首先確定現(xiàn)象之間有無相關關系。確定方法有：一是根

據(jù)自己的理論知識和實踐經(jīng)驗綜合解析判斷；二是用相關圖表進一步確定現(xiàn)象之間相關的方

向和形式。在此基礎上經(jīng)過計算相關系數(shù)或相關指數(shù)來測定相關關系親密的程度。相關系數(shù)

是用來說明直線相關的親密程度；相關指數(shù)那么是用來判斷曲線相關的親密程度。這是主要介

紹相關系數(shù)的計算。

相關系數(shù)是用來解析判斷直線相關的方向和程度的一種統(tǒng)計解析指標，其計算方法中

最簡單是最常用的為積差法，是用兩個變量的協(xié)方差與兩變量的標準差的乘積之比來計算

的，計算公式如下：

r

2(xx)(yy)xy22xy(xx)yy)〔1〕xyx?y2222(xx)?(yy)〔2〕nxyxy〔3〕nx2(x)2ny2(y)2上述三個公式均可以使用，由于〔3〕式是平時原始資料計算，所以較為正確，也較為

常用。相關系數(shù)的取值范圍是：-1≤r≤+1正的表示正相關，負的表示負相關。

利用相關系數(shù)判斷相關關系的親密程度，平時認為：

相關系數(shù)的值直線相關程度r=0完全不相關0＜r≤微弱相關＜r≤低度相關＜r≤顯著相關＜r≤1高度相關r=1完全相關

二、一元線性回歸解析

回歸解析是對擁有相關關系的兩個變量之間的數(shù)量變化的一般關系確定一個適宜的數(shù)

學表達式，以便進行估計和預測的統(tǒng)計方法。用一條回歸直線來說明兩個相關變量之間一般

數(shù)學關系的方程式，成為簡單直線回歸方程。這種解析方法稱為一元線性回歸解析。

〔一〕一元線性回歸解析的特點

1.在兩個變量之間，必須根據(jù)研究目的詳盡確定哪個是自變量〔x〕，哪個是因變量〔y〕。

沒有顯然因果關系的兩個變量(x)與(y)可以求得兩個方程——y依x的回歸方程和x依

y的回歸方程.兩個方程式相互獨立的，不能相互替換。

回歸方程的主要作用在于給出自變量的數(shù)值來估計因變量的數(shù)值。一個回歸方程只能做一種推算。

計算相關系數(shù)時，要求相關的兩個變量都是隨機的變量；但是進行回歸解析時，只管兩個變量也都是隨機變量，但要求自變量是給定的，因變量是隨機的。

〔二〕一元線性回歸模型與參數(shù)估計

直線方程的模型為：

ycabx式中，yc表示因變量的估計理論值；x為自變量的實際值；a，b為待定參數(shù)。其幾何意義是：a是直線方程的截距，b是斜率。其經(jīng)濟意義是：a當x等于0時，y的估計值；b是當x每增加一個單位時，y平均增加或減少的量，b也叫回歸系數(shù)?！才c相關系數(shù)的關系〕

求a，b兩個參數(shù)的計算公式為:

bnxyxynx2(x)2aybx

一元線性回歸方程的估計標準誤差

估計標準誤差是用來說明回歸方程代表性大小的統(tǒng)計解析指標,是指示實際察看值和理

論值的平均誤差。其計算公式為：

Syx(yyc)2n2但是，估計標準誤差根號內(nèi)的分母局部不是n，而是n-2，其表示估計回歸線失去兩個自由度，即樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)減去自變量的個數(shù)〔m=1〕，再減1。在實際應用中，當n很大時，一般是n≥30時，計算估計標準誤差時就用n來代替n-2，那么計算公式就成為：

2(yyc)Syxn

便公式：

y2aybxySyxn

第三多元性相關解析*

一、多元性相關的涵

在中，研究一個量與多個量之相關關系的理和方法，稱多元相關解析；研究一個因量和多各自量的回解析就是多元回解析或復回解析。多元回可分兩個主要方面：一是性回；二是非性回。

二、多元性回模型

〔一〕多元性回模型

多元性回模型的一般表達式：

yib0b1xi1b2xi2b3xi3bmximui

式中，b0表示截距，b1,b2,,bm分表示與個自量相系的斜率，ui表示

節(jié)余殘差或稱作隨機聽從ui~(0,2)。

多元性回方程：

ycb0b1x1b2x2bmxm

方程式中的參數(shù)b0,b1,b2,,bm的求解方程式：ynb0b1x1b2x2bmxmx1yb0x1b1x12b2x1x2bmx1xmx2yb0x2b1x2x1b2x22bmx2xm?????????

xmyb0xmb1xmx1b2xmx2bmxm2〔二〕二元線性回歸模型兩個自變量〔用x1和x2表示〕分別與因變量之間體現(xiàn)線性相關時，可用二元線性回歸模型來表示：yib0b1xi1b2xi2ui上式中，ui表示節(jié)余殘差項或稱作隨機擾動項聽從ui~(0,2)。

二元線性回歸方程：

ycb0b1x1b2x2

求解b0,b1,b2參數(shù)的方程組為：

ynb0b1x1b2x2x1yb0x1b1x12b2x1x2x2yb0x2b1x2x1b2x22

三、多元線性回歸方程的估計標準誤差

在多元線性回歸解析中，回歸估計標準誤差的計算同一元線性回歸標準誤差的計算方法

相同。公式如下：Syx

(yyc)2

nm1

四、復相關系數(shù)和偏相關系數(shù)

〔一〕復相關系數(shù)

復相關系數(shù)是指在擁有多元相關關系的變量中，用來測定因變量y與一組自變量

x1x2x3???xm之間相關程度的指標。

復相關系數(shù)的計算公式為：

ry,123m(yyc)21y)2(y復相關系數(shù)的取值是介于-1和+1之間，和簡單相關系數(shù)同樣，也是用其絕對值的大小來

判斷相關的親密程度。

〔二〕偏相關系數(shù)

偏相關系數(shù)是在多個變量中，當其他變量保持不變的情況下，測定任意兩個變量之間的相關程度的指標。偏相關系數(shù)取值是介于-1和+1之間，和簡單相關系數(shù)同樣，也是用其數(shù)值的大小來判斷相關的親密程度。設有三個變量x1,x2,x3，如果在這三個變量中，剔除x3的影響，可計算x1，x2對x3偏相關系數(shù)，記作r12,3，其計算公式為：r12,3rx1x2rx3x3rx2x3(rxx)21(rxx)211323如果在這三個變量中，剔除x2的影響，可計算x1、x3對x2偏向關系數(shù)，記作r13,2，其計算公式為：r13,2rx1x3rx1x2rx3x2(rxx)21(rx)21x1232如果在這三個變量中，剔除

其計算公式為：r23,1

1

【知識要點網(wǎng)絡圖】

相關關系

相關系數(shù)

直線相關

曲線相關

x1的影響，可計算x2，x3對x1偏向關系數(shù)，記作r23,1，rx2x3rx2x1rx3x1(rxx)21(rxx)22131

變量關系

函數(shù)關系

表

達式

直線回歸方程

相關程度高

曲線回歸方程

相關指數(shù)解析回歸方程的代表性

【隨堂練習】

1．抽取由10名大學生組成的隨機樣本，研究他們在高中與大學的英語成績得出下表結(jié)

果：

高考成績〔分〕40609588768398809568x大學成績〔分〕50729590758895839073y試用相關系數(shù)r測定其相關程度。

2．下面是幾家百貨商店銷售額和利潤率的資料：

商店編號每人月平均銷售額利潤率(％)(千元)162538