自動(dòng)控制原理第5章1

15.1引言第五章頻率法線性控制系統(tǒng)正弦信號(hào)正弦信號(hào)正弦信號(hào)具有無(wú)窮階的導(dǎo)數(shù)；正弦信號(hào)包含了位置、速度和加速度等各種作用；控制系統(tǒng)中的各個(gè)信號(hào)均可分解為許多不同頻率的正弦信號(hào)。2

控制系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)可以全面地反映系統(tǒng)的各種性質(zhì)。

頻率法是控制理論中的一項(xiàng)非常重要的基本內(nèi)容。3頻率法的優(yōu)點(diǎn)頻率法所用的數(shù)學(xué)模型是“頻率特性”，它具有明顯的物理意義；對(duì)于難以機(jī)理建模的系統(tǒng)或元件，可以用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)出它的數(shù)學(xué)模型——頻率特性。具有較大的工程實(shí)用價(jià)值；頻率特性的計(jì)算簡(jiǎn)單，運(yùn)算量較小，輔以作圖就可以完成分析與綜合工作；頻率法的設(shè)計(jì)已有完整的軟件。4頻率法的缺點(diǎn)頻率法只適用于線性定常系統(tǒng)；頻率法在簡(jiǎn)化運(yùn)算的過(guò)程中應(yīng)用了很多近似公式，所得到的設(shè)計(jì)結(jié)果不是十分準(zhǔn)確，常常需要通過(guò)調(diào)試或仿真作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。55.2頻率特性5.2.1正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出

研究系統(tǒng)在正弦輸入信號(hào)作用下，其輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之間的關(guān)系。6傳遞函數(shù)可以寫成分式有理函數(shù)的形式：其中7系統(tǒng)的輸入信號(hào)為對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：可以導(dǎo)出輸出信號(hào)其中也記為8對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的線性系統(tǒng)而言，結(jié)論在正弦信號(hào)的作用下，其穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)是和輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)。的幅值是輸入信號(hào)幅值的倍；的相位與輸入信號(hào)的相位差為。9這個(gè)結(jié)論的另一種說(shuō)法對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的線性系統(tǒng)而言，在正弦信號(hào)的作用下，其穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)是和輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)。是頻率的函數(shù)；的幅值與輸入信號(hào)的幅值之比為，的相位與輸入信號(hào)的相位之差為，也是頻率的函數(shù)。105.2.2頻率特性（頻率響應(yīng)）根據(jù)前面的分析可知：復(fù)變量可以反映系統(tǒng)（元件）在不同頻率正弦信號(hào)作用下，輸出信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量與輸入信號(hào)之間的關(guān)系。并且由可直接求出輸出信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量其中11頻率特性的定義定義為線性系統(tǒng)（或元件）的頻率特性，又稱為頻率響應(yīng)。復(fù)數(shù)的Euler公式12頻率特性的性質(zhì)1頻率特性是描述線性定常系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型，只有線性定常系統(tǒng)才有頻率特性；2頻率特性是一個(gè)復(fù)變量，它的幅值（模）和輻角（相角）都是頻率的函數(shù)；133線性定常系統(tǒng)在頻率為的正弦信號(hào)作用下，頻率特性反映了輸出信號(hào)穩(wěn)態(tài)分量和輸入信號(hào)的關(guān)系：輸出穩(wěn)態(tài)分量的幅值輸入信號(hào)的幅值輸出穩(wěn)態(tài)分量的相角-輸入信號(hào)的相角頻率特性也可以按照上述兩式進(jìn)行實(shí)際測(cè)定，這就提供了用實(shí)驗(yàn)測(cè)試頻率特性的方法。144在頻率特性中，所用的頻率均為角頻率，其單位是：rad/s或。1/s5在頻率特性中，一般討論的頻率范圍是：如果，則有15或者6頻率特性的另一種定義：頻率特性是輸出信號(hào)的富里葉變換與輸入信號(hào)的富里葉變換之比。16其中信號(hào)的富氏變換如下：信號(hào)的拉氏變換如下：令17所以，可通過(guò)傳遞函數(shù)直接寫出頻率特性：輸出信號(hào)拉氏變換輸入信號(hào)拉氏變換令187頻率特性實(shí)際上是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的富里葉變換。單位脈沖信號(hào)單位脈沖響應(yīng)19結(jié)論上述第7條性質(zhì)提供了測(cè)試頻率特性的另一種方法。給系統(tǒng)或元件輸入一個(gè)單位脈沖信號(hào)（或近似單位脈沖信號(hào)），記錄系統(tǒng)（或元件）的脈沖響應(yīng)序列，對(duì)該響應(yīng)序列作富里葉變換，即得頻率特性。20三種數(shù)學(xué)模型的“三角”關(guān)系傳遞函數(shù)頻率特性單位脈沖響應(yīng)21[例5-1]設(shè)單位反饋系統(tǒng)的方塊圖如下，-若輸入信號(hào)，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。225.2.3頻率特性的幾種形式頻率特性是一個(gè)復(fù)變量，它是的函數(shù)。對(duì)應(yīng)的某一個(gè)值，是復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)連續(xù)變化時(shí)，是復(fù)平面上的一條曲線。23頻率特性有以下幾種表達(dá)形式1極坐標(biāo)形式的頻率特性——Nyquist圖當(dāng)從時(shí)，在復(fù)平面上的軌跡稱為Nyquist圖。24[例5-2]設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為畫出Nyquist圖形式的頻率特性。25ReIm00.5126說(shuō)明如果需要畫出從時(shí)的頻率特性，只需將從時(shí)的曲線以實(shí)軸為對(duì)稱軸翻折，畫出其對(duì)稱曲線即可。共軛理由27當(dāng)頻率特性乘以一個(gè)常數(shù)時(shí)，頻率特性只是原曲線上各點(diǎn)的模都增大為原來(lái)的倍，而每一個(gè)點(diǎn)的輻角不變。282對(duì)數(shù)頻率特性圖——Bode圖（1）把幅頻特性與相頻特性分開(kāi)畫，橫坐標(biāo)為角頻率，縱坐標(biāo)分別為頻率特性的幅值和相角，畫出兩條曲線。（2）橫坐標(biāo)按照的常用對(duì)數(shù)來(lái)劃分刻度。在橫軸上，每10個(gè)頻程之間的距離為1個(gè)長(zhǎng)度單位，稱為10倍頻程（dec）。29（3）在幅頻特性圖中，縱坐標(biāo)用單位：分貝（dB），因此也叫做對(duì)數(shù)幅頻特性。（4）在相頻特性圖中，縱坐標(biāo)是角度本身，一般使用角度制，也可以用弧度制。30（5）對(duì)數(shù)頻率特性一般畫在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上。-150-100-50050Magnitude(dB)100101102103104-270-180-900Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)313對(duì)數(shù)幅相特性圖——Nichols圖Nichols圖采用直角坐標(biāo)系?？v坐標(biāo)表示對(duì)數(shù)幅頻特性——，單位：分貝（dB）；橫坐標(biāo)表示相頻特性——，單位