第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第七章

概述

平面應(yīng)力狀態(tài)的分析主應(yīng)力

空間應(yīng)力狀態(tài)的概念

應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系

強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力_

各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用2、受力構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力特征

一，一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài):1，受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位的截面上應(yīng)力的集合，稱為

一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。（1）構(gòu)件不同截面上的應(yīng)力狀況一般是不同的；（2）構(gòu)件同一截面上不同點(diǎn)處的應(yīng)力狀況一般是不同的；（3）構(gòu)件同一點(diǎn)處，在不同方位截面上應(yīng)力狀況一般是不同的。§7—1概述PAabcdA二、原始單元體法1，從受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處切出的單元體，如果各側(cè)面（一般為橫截面）的上的應(yīng)力均為已知，則這樣的單元體稱為原始單元體法。2，單元體特征（1）單元體的尺寸無限小，每個(gè)面上應(yīng)力均勻分布；（2）任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力相等。PAabcdAA討論全梁承受均布荷載的矩形截面簡(jiǎn)支梁C,D,E,F,G,H

各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。EGHCDFmqlmM圖FS圖最大彎矩截面上，距中性軸最遠(yuǎn)的C

和D

點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。M圖FS圖EGHCDFmqlmM圖FS圖EGHCDFmqlm最大剪力截面上，中性軸上的E,F

點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。G,H

點(diǎn)處于一般應(yīng)力狀態(tài)。C

,D

為單軸應(yīng)力狀態(tài)CDM圖FS圖EGHCDFmqlmEFE

,F

為純剪切應(yīng)力狀態(tài)M圖FS圖EGHCDFmqlmG

,H

為一般應(yīng)力狀態(tài)GHM圖Q圖EGHCDFmqlm三、主應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)的分類從一點(diǎn)處以不同方位截取的諸單元體中，有一個(gè)特殊的單元體，在這個(gè)單元體側(cè)面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。這樣的單元體稱為該點(diǎn)處的

主單元體。主單元體的側(cè)面稱為

主平面（通過該點(diǎn)處所取的諸截面中沒有切應(yīng)力的那個(gè)截面即是該點(diǎn)處的

主平面）主平面上的正應(yīng)力稱為

主應(yīng)力主平面的法線方向叫

主方向，即主應(yīng)力的方向

說明:一點(diǎn)處必定存在這樣的一個(gè)單元體，三個(gè)相互垂直的面均為主平面，三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力分別記為1

，2

，3

且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來排列，即（1）單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個(gè)主應(yīng)力不為零（2）二向應(yīng)力狀態(tài)：有個(gè)二主應(yīng)力不等于零。（3）三向應(yīng)力狀態(tài)：主單元體上的三個(gè)應(yīng)力均不等于零二向和三向應(yīng)力狀態(tài)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)p（a）圖（a）為汽包的剖面圖。內(nèi)壁受壓強(qiáng)p的作用。圖（b）給出尺寸。Dyzt（b）：解：包圍內(nèi)壁任一點(diǎn)，沿直徑方向取一單元體，單元體的側(cè)面為橫截面，上，下面為含直徑的縱向截面，前面為內(nèi)表面。包含直徑的縱向截面橫截面內(nèi)表面（1）橫截面上的應(yīng)力假想地，用一垂直于軸線的平面將汽包分成兩部分，取右邊為研究對(duì)象。n—

n面為橫截面。pnnn(d)np(C)nn研究對(duì)象P壓強(qiáng)p的合力為PnnpPnn研究對(duì)象橫截面上只有正應(yīng)力

。假設(shè)

正應(yīng)力沿壁厚均勻分布。nnpPnn研究對(duì)象(因?yàn)閠?D,所以ADt)D（2）包含直徑的縱向截面上的應(yīng)力pmmnn1用兩個(gè)橫截面mm,nn從圓筒部分

取出單位長(zhǎng)的圓筒研究。由截面法，假想地用直徑平面將取出的單位長(zhǎng)度的圓筒分成兩部分。取下半部分為研究對(duì)象。直徑平面包含直徑的縱向平面yO

FNFN1tpR該截面上的應(yīng)力為正應(yīng)力”，且假設(shè)為均勻分布。包含直徑的縱截面上的內(nèi)力為軸力FN

。R是外力在y軸上的投影，yORFNFN取圓心角為d的微元面積，其弧上為dsddsyORFNFNddsP.1.ds微元面積上，壓強(qiáng)的合力為P.ds.1微元面積為dS.1yORFNFNddsP.1.ds微元力（P.1.ds）

在y

方向的投影為yORFNFNddsP.1.dsyORFNFNtp1（3）內(nèi)表面的應(yīng)力內(nèi)表面只有壓強(qiáng)p,且為壓應(yīng)力包含直徑的縱向截面橫截面內(nèi)表面包含直徑的縱向截面橫截面內(nèi)表面=1=2=3123123單元體為三向應(yīng)力狀態(tài)，三個(gè)正應(yīng)力為主應(yīng)力。123由于內(nèi)壁的壓強(qiáng)=p

遠(yuǎn)小于和，所以可忽略不計(jì)。單元體看作二向應(yīng)力狀態(tài)12P例：分析滾珠軸承中滾珠與外圈接觸點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。A包圍點(diǎn)A,以垂直和平行于壓力P

的平面截取單元體。AP單元體三個(gè)互相垂直的面皆為主平面，且三個(gè)主應(yīng)力皆不為零，于是得到三向應(yīng)力狀態(tài)。A312xyzbcd平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖所示?！?—2平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析主應(yīng)力單元體上有x

，x

和y

，y

。yyxxyyxxxxbxyxyyyxyyxyyxxef1，斜截面上的應(yīng)力一、解析法xybyxxyxxyynefxybyxxyxxyynef（1）截面法:假想地沿斜截面ef

將單元體截分為二,留下左邊部分的單體元ebf

作為研究對(duì)象。efbyyxxxybyxxyxxyynefefbyyxx

：從x

軸到外法線n

逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)。正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。切應(yīng)力：對(duì)單元體任一點(diǎn)的矩順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)。ebf設(shè)斜截面的面積為dA,eb

的面積為dAcos

，bf

的面積為dAsinefbyyxx對(duì)研究對(duì)象列和t

方向的平衡方程并解之得：（2）平面應(yīng)力狀態(tài)下,任一斜截面(截面)上的應(yīng)力

?的

計(jì)算公式ebft2，主應(yīng)力和主平面求正應(yīng)力的極值令：1

和2

確定兩個(gè)互相垂直的平面，一個(gè)是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面。正應(yīng)力達(dá)到極值的面上，切應(yīng)力必等于零。此平面為主平面。正應(yīng)力的極值為主應(yīng)力。由公式求出0

（1

，1+900

）就可確定主平面的位置。將0（1

，1+900

）

代入公式得到max

和min

(主應(yīng)力）}（1）主應(yīng)力（2）主平面的位置以1

代表max作用面的方位角，2

代表min作用面的方位角。}（1）若xy，（1

在900

范圍內(nèi)取值）則，1450(2)若xy，則，1450(3)若x=y，則，{x0，1=-450x0，1=450例題：簡(jiǎn)支梁如圖所示。已知m—n

截面上A點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為=-70MPa，=50MPa

。確定A點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面的方位。mnaAAl解：A因?yàn)閤<y

，所以1=-62.50

與max

（1）對(duì)應(yīng)x62.50x62.50A}{26-96MPa例題：圖示單元體，已知x=-40MPa，y=60MPa，x=-50MPa。試求ef截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和主單元體的方位。xyxy300nef(1)求ef截面上的應(yīng)力xyxy300nefx=-40y=60x=-50=-300xyxy300nefx=-40y=60x=-50=-300(2)求主應(yīng)力和主單元體的方位{因?yàn)閤<y

，所以對(duì)應(yīng)于1{x=-40y=60x=-50=-300xyxy}{-60.780.731例題：求平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位。解：（1）求主平面方位{900-900{因?yàn)閤=y，且x>0，所以450450（2）求主應(yīng)力}1=，2=0，3=-13三，平面應(yīng)力分析的圖解法1,應(yīng)力圓的概念作—

直角坐標(biāo)系0當(dāng)斜截面隨方位角變化時(shí),其上的應(yīng)力，在-

直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡是一個(gè)圓。圓心位于橫坐標(biāo)軸(軸)上，離原點(diǎn)的距離為半徑為此圓習(xí)慣上稱為應(yīng)力圓

,或稱為莫爾圓oC2，應(yīng)力圓作法xybyxxyxxyy（1）在

-坐標(biāo)系內(nèi),選定比例尺yxxyxxyyoyxxyxxyyo（2）量取OB1

=x

，B1D1=x，得

D1

點(diǎn)。B1xD1xyxxyxxyyo（2）量取OB2

=y

，B2D2=y，得

D2

點(diǎn)。B1xD1xD2yyB2yxxyxxyyoB1xD1xD2yyB2（4）連接D1D2兩點(diǎn)的直線與軸相交于

C

點(diǎn),CyxxyxxyyoB1xD1xD2yyB2C以

C

為圓心,CD1

（CD2

）

為半徑作圓該圓的圓心C點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

oD2yD1xxyB2CB1oD2yD1xxyB2CB1半徑為該圓就是相應(yīng)于該單元體應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓。oD2yD1xxyB2CB1因而D1

點(diǎn)代表單元體x平面（即橫截面）上的應(yīng)力。D1點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,x

)(x,x)yxxyxxyyoD2yD1xxyB2CB1(x,x)yxxyxxyyef3，利用應(yīng)力圓求單元體上任一截面上的應(yīng)力從應(yīng)力圓的半徑CD1

按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)2,得到半徑CE。2EoD2yD1xxyB2CB1(x,x)yxxyxxyyef2E圓周上E

點(diǎn)的?坐標(biāo)就依次為斜截面上的正應(yīng)力，切應(yīng)力。（證明略）（1）點(diǎn)面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：?jiǎn)卧w某一面上的應(yīng)力，必對(duì)

應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)。說明（2）夾角關(guān)系：圓周上任意兩點(diǎn)所引半徑的夾角等于單元體上對(duì)應(yīng)兩截面夾角的兩倍。兩者的轉(zhuǎn)向一致。2ABoc4，利用應(yīng)力圓求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置（1）主應(yīng)力數(shù)值A(chǔ)1和A2兩點(diǎn)為與主平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)

為主應(yīng)力

1

，2。oD2yD1xB1xyB2C12A1A2oD2yD1xB1xyB2C12A1A2oD2yD1xB1xyB2CA1A212oD2yD1xB1xyB2CA1A212（2）主平面方位由

CD1

順時(shí)針轉(zhuǎn)20

到CA1。oD2yD1xB1xyB2CA1A21220(x,x)oD2yD1xB1xyB2C1220(x,x)所以單元體上從x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)0（負(fù)值）即到1對(duì)應(yīng)的主平面的外法線。A2A1oD2yD1xB1xyB2CA1A21220(x,x)0確定后，1

對(duì)應(yīng)的主平面方位即確定。oD2yD1xB1xyB2CA1A21220(x,x)oD2yD1xB1xyB2CA1A21220(x,x)由此可定出主應(yīng)力1

所在平面的位置。oD2yD1xB1xyB2CA1A21220(x,x)由于A1，A2為應(yīng)力圓的直徑，則2

所在的另一主平面與1

所在的主平面垂直。oD2yD1xB1xyB2CA1A21220(x,x)例題：從水壩體內(nèi)某點(diǎn)處取出的單元體如圖所示,x=-1MPa,y=-0.4MPa,x=-0.2MPa,y=0.2MPa,

（1）繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓（2）確定此單元體在=30°和=-40°兩斜面上的應(yīng)力。x解:(1)畫應(yīng)力圓OB2=y=-0.4MPa，B2D2=y=0.2MPa,定出D2點(diǎn).

OB1=x=-1MPa,B1D1=x=-0.2MPa,定出D1點(diǎn);oB1D1(-1,-0.2)D2(-0.4,0.2)B2oB1B2以D1D2為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓。CD1(-1,-0.2)D2(-0.4,0.2)oB1B2CD1(-1,-0.2)D2(-0.4,0.2)將半徑CD1逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)2=60°到半徑CE,E點(diǎn)的坐標(biāo)就代表=30°斜截面上的應(yīng)力。(2)確定=30°斜截面上的應(yīng)力EoB1B2CD1(-1,-0.2)D2(-0.4,0.2)(3)確定=-40°斜截面上的應(yīng)力將半徑CD1順時(shí)針轉(zhuǎn)2=80°到半徑CF,F點(diǎn)的坐標(biāo)就代表=-40°斜截面上的應(yīng)力。Fxy例題：兩端簡(jiǎn)支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試?yán)L出C左截面上a,b兩點(diǎn)處的應(yīng)力圓，并用應(yīng)力圓求出這兩點(diǎn)處的主應(yīng)力。250KN1.6m2mABC12015152709zab+200KN50KN+80KM.m解:

首先計(jì)算支反力,并作出梁的剪力圖和彎矩圖Mmax=MC=80kN?mFS,max=FS,C左

=200kN250KN1.6m2mABC12015152709za橫截面C左上a

點(diǎn)的應(yīng)力為12015152709za(+)(+)a由

x，x定出

D1點(diǎn)由y，y定出D2點(diǎn)以D1D2為直徑作應(yīng)力圓。oC(122.5,64.6)(0,-64.6)D2oC(122.5,64.6)(0,-64.6)D2A1A2A1，A2

兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表a

點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力oC(122.5,64.6)(0,-64.6)D2A1A2A1

點(diǎn)對(duì)應(yīng)于單圓體上1所在的主平面。b12015152709zbbB

點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為b1

所在的主平面就是x平面,即梁的橫截面C

。a解析法求a

點(diǎn)的主平面和主應(yīng)力0=因?yàn)?/p>

x>y

，所以1=-22.50a150-27=例題：?jiǎn)卧w應(yīng)力狀態(tài)如圖。用解析法求：主應(yīng)力，并在單元體中畫出主應(yīng)力方向。5020

解：=57-7因?yàn)閤y，所以5020xyzo前面右側(cè)面上面§7-3空間應(yīng)力狀態(tài)的概念一，空間應(yīng)力狀態(tài)的概念xyzoxzyτxyτxzτyxτzxτyzτzyxyzoxzyτxyτxzτyxτzxτyzτzyy,z

平面的定義類似。x平面：法線與

x

軸平行的平面。xyzoxzyτxyτxzτyxτzxτyzτzy第一下標(biāo)第二下標(biāo)xy

表示x平面上，沿y方向的切應(yīng)力。第一下標(biāo)表示切應(yīng)力所在的平面。第二下標(biāo)表示切應(yīng)力的方向。xyzoxzyτxyτxzτyxτzxτyzτzy根據(jù)切應(yīng)力互等定理，在數(shù)值上有xyzoxzyτxyτxzτyxτzxτyzτzy因而獨(dú)立的應(yīng)力分量是6

個(gè)x，y，zτxy，τyz，τzx利用應(yīng)力圓確定該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。已知：受力物體內(nèi)某一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力1

、2、3

。二，空間應(yīng)力狀態(tài)分析332211首先研究與其中一個(gè)主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力。例如：與主應(yīng)力3所在的平面垂直的斜截面112233用截面法，沿求應(yīng)力的截面將單元體截為兩部分，取左下部分為研究對(duì)象。112233112233主應(yīng)力3

所在的兩平面上是一對(duì)自相平衡的力，因而該斜面上的應(yīng)力

,

與3

無關(guān),只由主應(yīng)力

1,2

決定。與3

所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力可由

1,2

作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示。與3所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力可由

1,2

作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示。11221122該應(yīng)力圓周上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于與3所在主平面垂直的所有斜截面上的應(yīng)力。

與主應(yīng)力2

所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力,

可用由1,3

作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示。與主應(yīng)力１

所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力,

可用由2,3

作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示。abc

截面表示與三個(gè)主平面斜交的任意斜截面abcabc該截面上應(yīng)力和對(duì)應(yīng)的D

點(diǎn)必位于上述三個(gè)應(yīng)力圓所圍成

的陰影內(nèi)。DD結(jié)論三個(gè)應(yīng)力圓周上的點(diǎn)及由它們圍成的陰影部分上的點(diǎn)的坐標(biāo)代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力。D該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力(指代數(shù)值)應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上A

點(diǎn)的橫坐標(biāo)

1AABτmax最大切應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓上B點(diǎn)的縱坐標(biāo)。ABτmax最大切應(yīng)力所在的截面與2

所在的主平面垂直，并與1和3

所在的主平面成450

角。上述兩

公式同樣適用于平面應(yīng)力狀態(tài)或單軸應(yīng)力狀態(tài)，

只需將具體問題的主應(yīng)力求出，并按代數(shù)值123

的順序排列。例題：?jiǎn)卧w的應(yīng)力如圖所示

,作應(yīng)力圓,并求出主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力值及其作用面方位。40MPa20MPa20MPazxy20MPa40MPa20MPa20MPazxy20MPa解:

該單元體有一個(gè)已知主應(yīng)力40MPa20MPa20MPazxy20MPa因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力z

無關(guān),依據(jù)x截面和y截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓.

求另外兩個(gè)主應(yīng)力。40MPa20MPa20MPaoA1A2量得另外兩個(gè)主應(yīng)力為coA1A2c1=46MP3=-26MP2=20MPoA2c1=46MP3=-26MP2=20MP2A12020=3400=170oA2c1=46MP3=-26MP2=20MP2A1200=170170x123oA2c1=46MP3=-26MP2=20MP2A120BoA2c2A120B最大切應(yīng)力τmax

所在平面與2所在平面垂直,與1和3所在主平面各成450夾角。最大切應(yīng)力τmax

所在平面與2所在平面垂直,與1和3所在主平面各成450夾角。170x123450例題:已知某結(jié)構(gòu)物中一點(diǎn)處為平面應(yīng)力狀態(tài),x=-180MPa,y=-90MPa,x=y=

0,試求此點(diǎn)處的最大切應(yīng)力。3=x=-180MPa解:

主應(yīng)力2=y=-90MPa1=z=0§7—4應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系一、各向同性材料的廣義胡克定律1、符號(hào)規(guī)定xyzoxzyτxyτxzτyxτzxτyzτzyxyzoxzyτxyτxzτyxτzxτyzτzy三個(gè)正應(yīng)力分量:拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)xyzoxzyτxyτxzτyxτzxτyzτzy負(fù)面：外法線與坐標(biāo)軸負(fù)向一致的平面正面：外法線與坐標(biāo)軸正向一致的平面xyzoxzyτxyτxzτyxτzxτyzτzy三個(gè)切應(yīng)力分量:

若正面切應(yīng)力矢的指向與坐標(biāo)軸正向一致,或負(fù)面上切應(yīng)力矢的指向與坐標(biāo)軸負(fù)向一致,則該切應(yīng)力為正,反之為負(fù)。

切應(yīng)變:使直角減小者為正,增大者為負(fù)；2、各向同性材料的廣義胡克定律xyzoxzyτxyτxzτyxτzxτyzτzy線應(yīng)變:以伸長(zhǎng)為正,縮短為負(fù)；2、各向同性材料的廣義胡克定律xyzoxzyτxyτxzτyxτzxτyzτzyx,y,z同時(shí)存在時(shí)，求x，y，z

方向的線應(yīng)變xyzoxzyτxyτxzτyxτzxτyzτzy用疊加原理，分別計(jì)算出x

,y

,z

分別單獨(dú)存在時(shí),x

（y，z）方向的線應(yīng)變x

（y，z），然后代數(shù)相加。x

單獨(dú)存在時(shí)y

單獨(dú)存在時(shí)Z單獨(dú)存在時(shí)一，x

方向的線應(yīng)變yZyZyZxxx在xyz同時(shí)存在時(shí),x方向的線應(yīng)變x為在xyz同時(shí)存在時(shí),y,z方向的線應(yīng)變?yōu)槎?，廣義胡克定律

平面應(yīng)力狀態(tài)下(假設(shè)Z=0,xz=0,yz=0)xyzxyxyxyxy三向廣義虎克定律（已知1，2，3）1

，

2

，3

稱為主應(yīng)變。在線彈性范圍內(nèi)，任一點(diǎn)處的主應(yīng)力指向與主應(yīng)變方向是一致的。二向應(yīng)力狀態(tài)下,設(shè)3=0例題：已知一受力構(gòu)件自由表面上的兩個(gè)主應(yīng)變數(shù)值為。構(gòu)件材料為Q235鋼，其彈性模量E=210GPa，泊松比v=0.3。求該點(diǎn)處的主應(yīng)力值，并求該點(diǎn)處另一主應(yīng)變2的數(shù)值和方向。解；一，一對(duì)應(yīng)。由于構(gòu)件自由表面，所以主應(yīng)力2=0。該點(diǎn)為平面應(yīng)力狀態(tài)。該點(diǎn)處另一主應(yīng)變2的數(shù)值為三、各向同性材料的體應(yīng)變123a1a2a3構(gòu)件每單位體積的體積變化稱為體應(yīng)變用θ

表示。各向同性材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的體應(yīng)變單元體的三對(duì)平面為主平面三個(gè)邊長(zhǎng)為a1,a2,a3變形后的邊長(zhǎng)分別為

a1(1+,a2(1+2,a3(1+3變形后單元體的體積為123a1a2a3體應(yīng)變?yōu)轶w應(yīng)變?yōu)樵谄矫婕兗羟袘?yīng)力狀態(tài)下：材料的體積應(yīng)變等于零。即在小變形下，切應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變。假設(shè)一單元體承受三向等值應(yīng)力，它的三個(gè)主應(yīng)力為mmm單元體的體應(yīng)變是mmm123a1a2a3這兩個(gè)單元體的體應(yīng)變相同mmm123a1a2a3mmm圖式單元體的三個(gè)主應(yīng)變?yōu)閙mm如果變形前單元體的三個(gè)棱邊成某種比例，由于三個(gè)棱邊應(yīng)變相同，則變形后的三個(gè)棱邊的長(zhǎng)度仍保持這種比例。mmm所以在三向等值應(yīng)力

m

的作用下，單元體變形后的形狀和變形前的相似。稱這樣的單元體是形狀不變的。在任意形式的應(yīng)力狀態(tài)下，各向同性材料內(nèi)一點(diǎn)處的體應(yīng)變與通過該點(diǎn)的任意三個(gè)相互垂直的平面上的正應(yīng)力之和成正比，而與切應(yīng)力無關(guān)。在最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下，材料的體積應(yīng)變只與三個(gè)線應(yīng)變x

，y，z

有關(guān)。仿照上述推導(dǎo)有復(fù)習(xí)例題:

邊長(zhǎng)a=0.1m的銅立方塊,無間隙地放入體積較大，變形可略去不計(jì)的鋼凹槽中。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比=0.34，當(dāng)受到P=300kN的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí)，求該銅塊的主應(yīng)力.體積應(yīng)變以及最大切應(yīng)力。解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力為aaaP變形條件為Zyxzxy解得銅塊的主應(yīng)力為體積應(yīng)變和最大切應(yīng)力分別為例題：一直徑d=20mm的實(shí)心圓軸，在軸的的兩端加轉(zhuǎn)矩m=126Nm。在軸的表面上某一點(diǎn)A處用變形儀測(cè)出與軸線成-450方向的應(yīng)變=5.010-4，試求此圓軸材料的剪切彈性模量G。mmA450xmAmmA450xAT解：包圍A點(diǎn)取一單元體mmA450xAmmA450xAmmA450xAmmA450xAmmA450xA例題：壁厚t=10mm，外徑D=60mm的薄壁圓筒,在表面上k點(diǎn)處與其軸線成45°和135°角即x，y兩方向分別貼上應(yīng)變片，然后在圓筒兩端作用矩為m的扭轉(zhuǎn)力偶，如圖所示，已知圓筒材料的彈性常數(shù)為E=200GPa和=0.3，若該圓筒的變形在彈性范圍內(nèi)，且max=80MPa，試求k點(diǎn)處的線應(yīng)變x，

y以及變形后的筒壁厚度。DtmkxyDtmkxy解:從圓筒表面k點(diǎn)處取出單元體,其各面上的應(yīng)力分量如圖所示kxy該點(diǎn)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)kDtmkxy4502

=0=y=x=zxykDtmkxy450xyy=80x=-80z=0K

點(diǎn)處的線應(yīng)變x,y

為=-5.210-4（壓應(yīng)變）kDtmkxy450xyy=80x=-80z=0=5.210-4（拉應(yīng)變）kDtmkxy450xyy=80x=-80z=0圓筒表面上k點(diǎn)處沿徑向

(z軸

)的應(yīng)變?yōu)?0kDtmkxy450xyy=80x=-80z=0同理可得圓筒中任一點(diǎn)(該點(diǎn)到圓筒橫截面中心的距離為

)處的徑向應(yīng)變?yōu)閗Dtmkxy450xyy=80x=-80z=0因此,該圓筒變形后的厚度并無變化,仍然為t=10mm.bhzb=50mmh=100mm例題：已知矩形外伸梁受力P1，P2作用。彈性模量E=200GPa，泊松比v=0.3,P1=100KN，P2=100KN。求：（1）A點(diǎn)處的主應(yīng)變1，

2，3（2）A點(diǎn)處的線應(yīng)變x，

y，zxyzaAP1P2P2解：梁為拉伸與彎曲的組合變形。P1

產(chǎn)生的是平面彎曲。P2

產(chǎn)生的是軸向拉伸。bhzb=50mmh=100mmxyzaAP1P2P2以及彎曲引起的切應(yīng)力。A點(diǎn)有拉伸引起的正應(yīng)力bhzb=50mmh=100mmxyzaAP1P2P2（正）（負(fù)）bhzb=50mmh=100mmxyzaAP1P2P2A包圍A

點(diǎn)取一單元體。xyzaAP1P2P2Axyz單元體上的應(yīng)力有求：（1）A點(diǎn)處的主應(yīng)變1，

2，341.4-21.4AA求：（2）A點(diǎn)處的線應(yīng)變x，

y，zAxyz例題：簡(jiǎn)支梁由18號(hào)工字鋼制成。其上作用有力P=15KN，已知E=200GPa,v=0.3。求：A點(diǎn)沿00，450，900方向的線應(yīng)變0.50.50.25PA00450900zA0.50.50.25PA00450900zA0.50.50.25PA00450900解：

A

點(diǎn)所在橫截面上的內(nèi)力有剪力彎矩zA0.50.50.25PA00450900A

點(diǎn)有正應(yīng)力和切應(yīng)力查表18號(hào)得出工字鋼：yA

，Iz

，d。為圖示面積對(duì)中性軸的靜矩zA0.50.50.25PA00450900(-)(+)0.50.50.25PA00450900包圍A

點(diǎn)取一單元體。A0.50.50.25PA00450900A（1）求00，900方向的線應(yīng)變0.50.50.25PA00450900A0.50.50.25PA00450900A（2）求450

方向的線應(yīng)變0.50.50.25PA00450900A0.50.50.25PA00450900A§7-5

空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度一、定義：?jiǎn)挝惑w積物體內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度二、計(jì)算公式:1，單軸應(yīng)力狀態(tài)下,物體的應(yīng)變能密度為2，三個(gè)主應(yīng)力同時(shí)存在時(shí),單元體的應(yīng)變能密度為將廣義胡克定律代入上式,經(jīng)整理得用υv

表示單元體體積改變相應(yīng)的應(yīng)變能密度，稱為體積改變能密度。用υd

表示與單元體形狀改變相應(yīng)的應(yīng)變能密度,稱為形狀改變能密度應(yīng)變能密度等于兩部分之和兩單元體的體應(yīng)變相等(a)(b)(a)(b)υV

也相等。(b)圖b所示單元體的三個(gè)主應(yīng)力相等，因而，變形后的形狀與原來的形狀相似。所以形狀改變能密度為零即只發(fā)生體積改變而無形狀改變。(b)(b)a

所示單元體的體積改變能密度(a)(b)(a)a單元體的應(yīng)變能密度為(a)空間應(yīng)力狀態(tài)下單元體的形狀改變能密度為對(duì)于最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下的單元體,其應(yīng)變能密度為軸向拉、壓§7–6強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力

一、引言正應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲危險(xiǎn)點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)切應(yīng)力強(qiáng)度條件扭轉(zhuǎn)彎曲危險(xiǎn)點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)2、材料的許用應(yīng)力，是通過拉(壓)試驗(yàn)或純剪試驗(yàn)測(cè)定試件在破壞時(shí)其橫截面上的極限應(yīng)力，以此極限應(yīng)力作為強(qiáng)度指標(biāo)，除以適當(dāng)?shù)陌踩禂?shù)而得。即根據(jù)相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果建立的強(qiáng)度條件。上述強(qiáng)度條件具有如下特點(diǎn)1、危險(xiǎn)點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài)。在這些假說的基礎(chǔ)上，可利用材料在單軸應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的試驗(yàn)結(jié)果,來建立材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件。根據(jù)材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞時(shí)的一些現(xiàn)象與形式，進(jìn)行分析,提出破壞原因的假說。二、強(qiáng)度理論的概念基本觀點(diǎn)構(gòu)件受外力作用而發(fā)生破壞時(shí)，不論破壞的表面現(xiàn)象如何復(fù)雜，其破壞形式總不外乎幾種類型，而同一類型的破壞則可能是某一個(gè)共同因素所引起的。（1）脆性斷裂:無明顯的變形下突然斷裂。材料破壞的兩種類型（常溫、靜載荷）1.屈服失效2.斷裂（2）韌性斷裂:產(chǎn)生大量塑性變形后斷裂。材料出現(xiàn)顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力。引起破壞的某一共同因素最大拉應(yīng)力最大切應(yīng)力形狀改變能密度最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變1，斷裂2，屈服失效包括：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論。

第二類強(qiáng)度理論——以出現(xiàn)屈服現(xiàn)象作為破壞的標(biāo)志包括：最大切應(yīng)力理論和形狀改變能密度理論。第一類強(qiáng)度理論——以脆斷作為破壞的標(biāo)志三，四種常用強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過大時(shí)，其危險(xiǎn)點(diǎn)處的材料就會(huì)沿最大拉應(yīng)力所在截面發(fā)生脆斷破壞。

1、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）根據(jù)：最大拉應(yīng)力1

是引起材料脆斷破壞的因素?；炯僬f：一，第一類強(qiáng)度理論脆斷破壞的條件：1=u（材料極限值）強(qiáng)度條件：1[2、最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過大時(shí)，其危險(xiǎn)點(diǎn)處的材料就會(huì)沿垂直于最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變方向的平面發(fā)生破壞。根據(jù)：最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變1

是引起材料脆斷破壞的因素?；炯僬f：脆斷破壞的條件：若材料服從胡克定律，在單軸應(yīng)力狀態(tài)下三向應(yīng)力狀態(tài)下，最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變?yōu)閺?qiáng)度條件為二，第二類強(qiáng)度理論3、最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)最大切應(yīng)力max

是引起材料屈服的因素。當(dāng)作