反常積分斂散性的判別方法王康

反常積分斂散性的判別方法

摘要反常積分是一門應用性很強的年輕學科，其主要運用數(shù)學方法研究各種反常積分解決的途徑和方案，從數(shù)學的角度表達了人們處理數(shù)學問題所遵循的的一種理念，反常積分的斂散性作為反常積分的主要一個分支，現(xiàn)已成為眾多學者們研究的焦點。在實際問題的求解過程中，對于反常積分斂散性的判別方法的研究具有重要的理論意義。全文共分為三個部分。第一部分為緒論部分，主要介紹了反常積分斂散性的概況，求解反常積分斂散性問題所設計的基本概念，以及本文的容安排。第二部分基于反常積分斂散性的根值判別法來判斷反常積分的斂散性，在理論上證明了算法的收斂性，通過數(shù)值實驗說明了算法的可行性。第三部分以反常積分斂散性的數(shù)列式判別法為基礎進行研究，將數(shù)列的斂散性與反常積分的斂散性結合起來，利用數(shù)列的性質，更為簡便直觀地判別反常積分的發(fā)散。關鍵詞：反常積分；斂散性；Cauchy判別法；無窮積分；瑕積分；反常積分的發(fā)散。Anomalousintegralconvergenceanddivergenceofthe

judgementmethodAbnormalintegralisayoungdisciplinewithstrongapplicability,whichmainlyusesthewayandschemeofvariousmathematicalmethodstosolvetheabnormalpoints,fromtheangleofmathematicstoexpressaconceptthatpeopledealwithmathematicalproblemsfollowed,convergenceofabnormalintegralasamainbranchofabnormalintegral,hasbecomethefocusofmanyscholarsstudy.Intheprocessofsolvingpracticalproblems,theconvergenceofabnormalintegralhasimportanttheoreticalsignificancefortheresearchontheidentificationmethod.Thispaperisdividedintothreeparts.Thefirstpartistheintroduction,mainlyintroducestheanomalousdivergenceofintegrationofbasicconcepts,ofmathematicsconvergenceproblemisdesigned,andthecontentsofthispaper.Thesecondpartoftheconvergenceofabnormalintegralvaluediscriminantmethodtojudgetheconvergenceofabnormalintegralbasedon,theconvergenceofthealgorithmisprovedintheory,numericalexperimentsshowthefeasibilityofthealgorithm.Thethirdpartoftheanomalousintegraldivergencetypesequenceofdiscriminantanalysisbasedonthesequence,andtheconvergenceofconvergenceofabnormalintegralcombination,usingthesequenceproperties,moresimpleandintuitivetodistinguishthedivergenceofabnormalintegral.Keywords:abnormalintegral;convergence;Cauchydiscriminantanalysis;infiniteintegral;infiniteintegral;generalizedintegraldivergence.目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言 1\o"CurrentDocument"第1章緒論 2基本概念介紹 2幾種常用的計算方法 5反常積分斂散性的判別常用算法 6本文容安排 1011第2章反常積分斂雌的根值判別法112.1引言 112.3小結 1415第3章反常積分斂散性的數(shù)列式判別法15引言 15算法的提出 17算法的描述 183.4小結 18\o"CurrentDocument"結論與展望 20致謝 21\o"CurrentDocument"參考文獻 22\o"CurrentDocument"附錄 23附錄A一篇引用的外文文獻及其譯文 23附錄B主要參考文獻的題錄及摘要 26引言反常積分在諸多領域具有廣泛應用的，其性質及應用引起人們極大的研究興趣。目前對于反常積分的研究，主要集中在理論研究。在積分的歷史上，反常積分可以說是積分這個大家庭中的小兄弟，雖然反常積分是剛剛興起的理論/旦是它在高等數(shù)學、物理學及概率論、統(tǒng)計學等學科中得到了重要應用，隨著數(shù)學及相關學科的發(fā)展，越來越多的人開始關注并開始學習反常積分，并且基本上已經形成理論體系。這些理論的產生無疑對積分的發(fā)展乃至相關學科的發(fā)展都是大有裨益的。通過對反常積分的不同層次方面的研究，確定了一些可以解反常積分的特殊方法，讓我們對反常積分的解法有更深層次理解1］；確定了含參量反常積分的定義和含參量反常積分的解法以及在生活中的應用，含參量的反常積分的進一步研究可以更好地研究反常積分斂散性［2?5］；通過歐拉公式來對反常積分進行研究，從積分的深層次對反常積分開展討論［6］；通過對反常積分的性質方面入手，通過研究反常積分的性質來研究反常積分的斂散性［7］；研究反常積分與無窮級數(shù)收斂性關系，通過對無窮級數(shù)收斂性的探析，來和反常積分進行對比，從而得到反常積分的性質［8］；以反常積分在教學中的學習，以及解反常積分的數(shù)列式判別法來判斷反常積分的斂散，讓我們能更具體的學習和了解反常積［9?10］;對一些國外數(shù)學家對反常積分斂散性的研究，通過外文文獻更具體的了解反常積分［11?12］。多年來，人們對反常積分的研究，取得了不少成果。而反常積分的斂散性也被越來越多的人所研究，如何通過反常積分的定義和性質來判斷反常積分的斂散性成為重要一環(huán)，下面的文獻為反常積分的定義，反常積分的原理，反常積分的計算和解答，反常積分在生活中的應用給出了具體的解釋。反常積分的定義如下：設函數(shù)/定義在區(qū)間Q,b］上，在點a的任一右鄰域上無界，但在任何閉區(qū)間U,bkJ,b］上有界且可積.如果存在極限limfbf(x'dlx=J，a則稱此極限為無界函數(shù)/在(a,b］上的反常積分，記作J=fbf(x)ix,a并稱反常積分fbf(xdx收斂，如果極限limfbf(x^dlx二J不存在，這時也說反常積分fbfQ)^x發(fā)散。a本文主要對反常積分的斂散性的不同判別方法進行研究。第1章緒論反常積分斂散性的判別方法是分析數(shù)值計算領域中十分活躍的研究課題，如何快速地判別反常積分的收斂也發(fā)散以成為當今的焦點，由于反常積分在分析學中的顯著作用，對反常積分的斂散性的研究具有重要的理論意義和實際價值。反常積分的定義如下：設函數(shù)/定義在區(qū)間Q,b］上，在點a的任一右鄰域上無界，但在任何閉區(qū)間U,b］u(a,b］上有界且可積.如果存在極限lima則稱此極限為無界函數(shù)/在(a,b］上的反常積分，記作J=fbf(x)ix,a并稱反常積分fbf(xdx收斂，如果極限limfbf(x1/x二J不存在，這時也說反常積aa分fbf(x)ix發(fā)散。a求解反常積分斂散性問題時將會涉及以下概念:(1)反常積分：反常積分又叫廣義積分，是對普通定積分的推廣，指含有無窮上限/下限，或者被積函數(shù)含有瑕點的積分，前者稱為無窮限廣義積分，后者稱為瑕積分(又稱無界函數(shù)的反常積分)。(2)瑕點：設函數(shù)f定義在區(qū)間(”,即上，在點a的任一右領域上無界，但是在任何一閉區(qū)間U,blu(a,b］上有界且可積，如果存在極限limJbf(x)dx=Jufa+”則稱此極限為無界函數(shù)f在(a㈤上的反常積分，記作J=Jbf(x^dlxa并稱反常積分JbfQdx收斂，如果極限J=Jbf(x^dix不存在，這時也說明反常積a a分Jbf(x'd^x發(fā)散。a由上面的定義知，被積函數(shù)f在點a近旁是無界的，這時點a稱為f的瑕點，而無界函數(shù)反常積分J=Jbf(xdix有稱為瑕積分。a類似的，可定義瑕點為b時的瑕積分：Jbf(xddx=limJuf(xdixa ufb-a其中f在壇,b)有定義，在點b的任一鄰域上無界，但是在任何a,u〕ua,b)上可積。若f的瑕點ce(a,b)，則定義瑕積分Jbf(xdx=Jcf(x>dix+Jbf(x^dixa a c=limJuf(x^dx^^+limJbf(x^dx^ufc-a Vfc+V其中f在a,c)u(c,b］上有定義，在點c的任一鄰域上無界，但在任何a,Mua,c)和V.b］u(c,b］上都是可積的。當且僅當limJuf(x"dlx+limJbf(xd右邊2個瑕積ufc-a Vfc+V分都收斂時，左邊的瑕積分才是收斂的。又若a,b兩點都是J的瑕點，而J在任何U,JuQ,b)上可積這時定義瑕積分=JcfG>ddx+fbfQ%xJbf(x^dxxa c a=limJcf(x1/x+limJvf(x^dixufa+u vfb-c其中c為(a,b)上任一實數(shù)。同樣的當且僅當limJcf(x"dlx+limJvfG^ilx式右ufa+u vfb-c邊兩個瑕積分都收斂時，左邊的瑕積分才是收斂的。(3)絕對收斂：若)在任何有限區(qū)間a,m上可積，且有J+[f(x"^ix收斂，則aJ+sf(xdtix亦必收斂，并有aJ+sf(x)dxJ[f(xMxa a當J+[f(x*x收斂時稱J+sf(x"dx為絕對收斂，由定理知：絕對收斂的無窮積分，a a它自身也一定收斂，但是他的逆命題一般不一定成立，今后舉例說明收斂的無窮積分不一定收斂。我們稱收斂而不絕對收斂者為條件收斂。(4)比較原則：設定義(a,即上的兩個函數(shù)f和g，瑕點同為x=a，在任何U,b]u(a,b]上都可積，且滿足0<f(x)<g(x)xg(a,b]則當Jbg(xdx收斂時，Jbf(x)ix發(fā)散時，Jbg(x)ix亦必發(fā)散。a a a(5)Cauchy判別法:Cauchy判別法即柯西判別法，設是正項級數(shù)，若從某一項起(即存在，當時)成立著為某一確定的常數(shù)，則級數(shù)收斂；若從某一項起成立著1，則級數(shù)發(fā)散。又若f(x)>0，g(x)0，且limf^x\-cx-a+gb),x^a則有(i)當0<c<+8,JbfQ%x與JbgQ)ix同收斂或者發(fā)散；TOC\o"1-5"\h\za a(ii)當c=0時，由JbgQ%x知］*bfQ)ix也同樣收斂；a a(iii)當c=+8時，由Jbg(X^dtx知Jbf(X^dtx也同樣發(fā)散。a a特別的，如果選用Jb%作為比較對象，則我們有如下兩個推論(稱為柯西avx一a)pp判別法)。另設f定義于(a,b］，a為其瑕點，且在任何U,b］u。,b］上可積，則有:⑴當0<f(x)< 1，且0<p<1時，Jbf(x>x收斂;vx一a)p a(ii)當f31 ，且p>1時，Jb(ii)當f3vx一a)p a同時設f是定義于。,b］上的非負函數(shù)，a為其瑕點，且在任何U,b］u。,b］上可積，如果則有:⑴當0<p<1,0<九<+8時，Jbf(xdx收斂；a(ii)當p>1,0<九<+8時,Jbf(x"dtx發(fā)散。a(6)可積的充要條件：函數(shù)f在a,b］上可積的沖要條件是f在a,b］上的上積分與下積分相等，即S=s(7)達布定理：上、下積分也是上和與下和在『|一0時的極限，即limS(T)=S,lims(T)=sTLo ITI-。(8)對于函數(shù)J+8f(xI/x=J。f(xL+J+8f(xI/x的收斂性與收斂的值，都和一8 一8 a實數(shù)a的選取無關。(9)由于無窮積分卜/G)ix=JafG1/x+f+-fG1/x是由limfuf(xd=J_g _g a uf+%a和Jbf(x1/x=limJbf(x^dlx兩類無窮積分來定義的，因此，f在任何有限區(qū)間-8 U—>_9UV,u]u(-9,+9)上，首先必須是可積的。(10)無窮積分J+9f(x"dlx收斂的沖要條件是：任給￡>0，存在G>a，只a要u，u2>G，便有|Ju2f(x)dx-Juif(x)dxl=|Ju2f(x)dxaa a ' 'u1反常積分收斂性的幾種判別方法反常積分斂散性的判別有多種方法，隨著時代的進步，數(shù)學的研究與發(fā)展，越來越多的學者開始對反常積分的斂散性進行討論，在原有的判別方法上，數(shù)學工作者們探討出了更多的，更簡潔，更方便的判別方法。著讓我們能更直觀的去了解反常積分的斂散性，其多數(shù)問題都是連續(xù)可導的，因此在這里我們選擇反常積分斂散性的根值判別法，反常積分的數(shù)列式判別法來進行簡單的介紹。1、反常積分斂散性的根值判別法根值審斂法是判別級數(shù)斂散性的一種主要方法，是由法國數(shù)學家柯西首先發(fā)現(xiàn)并證明的，其具體定義如下：設是正項級數(shù)，若從某一項起(即存在，當時)成立著為某一確定的常數(shù)，則級數(shù)收斂；若從某一項起成立著1，則級數(shù)發(fā)散。又若f(x)>0，g(x)>0，且limf-x^-cx-a+gb)^v^a

則有(i)當0<c<+8,JbfQ%x與JbgQ)ix同收斂或者發(fā)散;TOC\o"1-5"\h\za a(ii)當c=0時，由JbgQ%x知］*bfQ)ix也同樣收斂；a a(iii)當c=+8時，由Jbg(X^dtx知Jbf(X^dtx也同樣發(fā)散。a a特別的，如果選用Jb特別的，如果選用Jbadx一a)p作為比較對象，則我們有如下兩個推論（稱為柯西判別法）。另設f定義于（a,bl，a為其瑕點，且在任何U,b]u（a,b]上可積，則有:⑴當0<f(x)< 1，且0<p<1時，Jbf(xd收斂;lx一a/p a（ii）當f（x）＞1 ，且p>1時，（ii）當f（x）＞vx一azp a同時設f是定義于0㈤上的非負函數(shù)，a為其瑕點，且在任何U,b]u（a,b]上可積，如果則有:⑴當0<p<1,0<九<+8時，Jbf(xdx收斂;a(ii)當p>1,0<九<+8時,Jbf(x"dtx發(fā)散。a2、反常積分斂散性的數(shù)列式判別法反常積分的數(shù)列式判別法將數(shù)列的斂散性與反常積分的斂散性結合起來，利用數(shù)列的性質，更為簡便直觀地判別反常積分的發(fā)散，它是一種更為方便的計算方法。具體定義如下：

函數(shù)f(函數(shù)f(x)在1a.+8)上有定義，則無窮積分J+8a」-dx收斂于A當且僅當對1+X2任意數(shù)列t｝，lima=+8，有n.+8limJaxf(x'dXx=Anf+80證明：n由于J+8f(x'dlx=A，所以limJpf(x>dxx=An￡>0,3M>0,Vp:p>M有p.+8aJpf(x)dx-A>a又limannf+8=+8n對上述M>0,3NeN,Vn>N有又limannf+8Janf(xk=AJanf(x)dxJanf(xk=Au反證法：假設J+8f(x^dlx不收斂于A，則alimJpf(x^dlx豐An3￡>0,3p>M,p.+8a 0Jpf(x)dx-A>￡.M=1HP>2有1JPJPif(x)ALA>￡0.M=maxb,p七p有Jp2f(x)dx-M=maxzM=max{n,p}p>n且Jpnf(x、dx一A>￡從而得到數(shù)列^從而得到數(shù)列^p}，但 Jpnf(xid*-A>￡plimp=+8

a>nn.+8n與已知的矛盾，所以J+8f(x1/x=A.證明完畢。0a下面我們就反常積分斂散性的根值判別法和反常積斂散性的數(shù)列式判別法給出具體的分析和計算。本文的容安排全文共分為三個部分。第一部分為緒論部分，主要介紹了反常積分斂散性的概況，求解反常積分斂散性問題所設計的基本概念，以及本文的容安排。第二部分基于反常積分斂散性的根值判別法來判斷反常積分的斂散性，在理論上證明了算法的收斂性，通過數(shù)值實驗說明了算法的可行性。第三部分以反常積分斂散性的數(shù)列式判別法為基礎進行研究，將數(shù)列的斂散性與反常積分的斂散性結合起來，利用數(shù)列的性質，更為簡便直觀地判別反常積分的發(fā)散。第二章 反常積分斂散性的根值判別法摘要：由于積分在理論上和級數(shù)是統(tǒng)一的，，因此有關正項級數(shù)的根式判別法可被推廣以判別無窮限積分和瑕積分的斂散性.設f(x)是[a，+8)上的非負函數(shù)，limx[f^X>=p.則當p<1時，反常積分尸fQL收斂。而當P>1時，反a常積分J+8f(x"dlx發(fā)散設fQ)是(a㈤上的非負函數(shù)，a為瑕點，lim(f0)-a=p.a xfa+則當P<1時，反常積分Jbf(XL收斂。而當P>1時，反常積分Jbf(X>>dx發(fā)散。aa反常積分斂散性的判定是分析學的重要容,它與無窮級數(shù)聯(lián)系非常緊密，本文將正項級數(shù)斂散性的根式(Cauchy)判別法推廣到反常積分斂散性的判別上。定理1設f(x)為壇,+8)上的非負函數(shù)，若limXfQ)=p.xf+8則當p<1時，反常積分J+8f(x)tix收斂；當P>1時，反常積分J+8f(x)tix發(fā)aa散.證明(1)取e=?(0<p<1)存在人>0，任給x>A時，p-F<f)<p-?—1sp<xfx)<s=p(0<p<1)2 2 0 0f(x)<px.x>A0而J+8px=limJ+8px=lima0xf+81pnlnp00limxf+8lnp0Qx—pa)=一00收斂，從而J+8f(X"dlx收斂。a(2)收斂，從而J+8f(X"dlx收斂。a(2)由p>1,取“告!>0,存在人>0，任給X>A,有p-122PvxfX<pp「苧<X狗，p：<f(X)，x>A.發(fā)散，故卜8f4)ix發(fā)散。例1.j+8pXa1limXf+8=lim---p.Xf+8lnp 111(c) pX-pa/=8lnp1 1判斷廣0X>0的斂散性(a>0)->0XE=-2_,a+—XlimxfQ)=—.Xf+8 a由定理(1)可知當a>2時，反常積分收斂，0<a<2是，反常積分發(fā)散;

定理2.設/G）在4力］上有定義，/G）>o，任給次、㈤，/Q）在Q/］上可積，且lim/G)=oo,就GU,則當pv1時，反常積分P/Gk收斂，反之當p>1時，反常積分［叮4爪發(fā)散；證明.（1）1一P則存在B>0,任給％滿足0。一〃V"有PV <P+ -1+P=P

1+P=P

r0(。,3)所以0</G)<Px-a0Px-adx=f+co—ptdt=a° —2。b-ab-a+/Pab-a+/PaIt20當/>1時,TOC\o"1-5"\h\z°<—pf<pr

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從而j+s1pt1t2山收斂，由上面的式子可得J%;dx收斂，由上式知從而j+s1pt1t2(2)由p>1,取l"12則存在5>0，任給x滿足0Vx-a<8，有P-(<(fQ)I-a<p+--等

0<p—P-<(f(x)1-a,p>1.i ^2 i所以px-a<f(x)x<x-a<5ijbp±dx-j+s—p.dta1 1-121b-a由于lim幺=+s.知j+s匕發(fā)散，即jb知j+s匕發(fā)散，即jbP亡d發(fā)散，則由上式知jbf(xIzx發(fā)散;1 a小噂：本部分介紹了反常積分斂散性的根值判別法，通過斂散性的根值判別，來解決反常積分的收斂與發(fā)散，并且分析了此算法的優(yōu)勢和缺點，在理論上證實了此算法的可行性，同時通過一些舉例進行計算，通過數(shù)值結果證明了此判別法的可行性。第三章反常積分斂散性的數(shù)列式判別本文將數(shù)列的斂散性與反常積分的斂散性結合起來，利用數(shù)列的性質,更為簡便直觀地判別反常積分的發(fā)散.對于兩類反常積分:無窮積分與瑕積分，用定義判別其收斂與發(fā)散時，通常會有如下疑問：TOC\o"1-5"\h\z.若卜/4)ix與Jaf4)ix都發(fā)散時，無窮積分卜8f4%x是否一定發(fā)散？并a +8 -8證明為什么？.如果卜8f(x'dlx發(fā)散于+8(8)，Jaf(x'dlx發(fā)散于-8(+8)，那么a -818f(x'dlx=J+8f(x》x+Jaf(x'dlx-8 a -8是收斂還是發(fā)散？如下例：判斷無窮積分J+8^L-dx的斂散性.-81+x2由于J+8f(x%x=J+8，"x+J+8，"x=-8+8是未定型，那么它是收斂還是-8 -81+x2 01+x2發(fā)散的？錯誤解法：由于f(x)=x在(-8,+8)連續(xù)，而且對于每一個xe(-8,+8)，有1+x2-xG(-8,+8)，f(-x)=^^=-f(x)1+x2所以f(x)在(-8,+8)上式奇函數(shù)，對任意p0，Jpf(xd=0，J+8f(x)=limJp—=0從而得-p -8 p.+8-p1+x2J+8收斂于0,.-8這種方法的錯誤在于只考慮了無窮積分，J+8^L-dx的柯西主值，卻沒有考慮發(fā)散定義中的上，下限的任意性。對于無窮積分，如果用數(shù)列來判別其發(fā)散,則會更為簡單、直觀我們有如下的定理成立:定理1函數(shù)fQ）在1a.+8）上有定義，則無窮積分J+8a對任意數(shù)列t｝，lima=+8，有nf+8，公收斂于A當且僅當1+X2limJaxf(x'dXx=Anf+80證明：n由于J+8f(x'dlx=A，所以limJpf(x>dix=An￡>0,3M>0,Vp:p>M有pf+8aJpf(x)dx一A>a又limannf+8=+8n對上述M>0,3NeN,Vn>N有an>M.Janf(x)dx-A<￡nlimJanf(xk=Au反證法：假設J+8f(xdtix不收斂于A，則alimJpf(xdtix豐An3￡>0,3p>M,p.+8a 0Jpf(x)dx-A>￡.M=1，3P>2有1JP1f(x)A—A>￡0.M=maxb,p七p有Jp2f(x)dx-AM=maxM=max{n,p}p>n且Jpnf(xddx一A>￡a從而得到數(shù)列｛p｝，plimp=+8

a>nn—+8n但Jpnf(x)dx-A>e但Jpnf(x)dx-A>0 a推論1若f(x)在(-8,+8)上有定義，則J+8f(xd=A.當且僅當對任意數(shù)列a{a1%}，lima=-8,limb=+8有nnf+8nnf+8nnf+8limannf+8則卜limannf+8則卜8f(x'dlx發(fā)散。a推論4 f(x)(z}t.bbIlima在(-8,+8)上有定義，且存在數(shù)列nf+8nnf+8nnnf+8nf+8limJbnf(x)=A.nf+8an2若f(x)在Ea,+8)有意義，而且存在數(shù)列}，n=+8,limJanf(x)/x=8(或者不存在)，則無窮積分J+8f(x)ix發(fā)散。推論3若f(x)在［a,+8)上有定義，而且存在數(shù)列^｝，lima=-8,limJaf(x1/x豐limJ晨fQyx,n—^+8ann—^+8a=lima.=-8,limb=limb.=+8,有l(wèi)imJbnf(x'dix豐limJbf(xdx,nf+8nf+8annf+8a?nJ+8fGx是發(fā)散的.-8利用上面的結論判別例題的斂散性如下:=一n，b=n，b.=2n,則lima=-8,limb=limb.=+8而nnf+8nnf+8limJ%f(nnf+8nnf+8limJ%f(x^tix=limJnnf+8anlimJ4f(x)7x=limJ2nnf+8—nnnf+8二01+x2nf+8annf+8-nx 1+4n2---dx=limln =ln2,ln2中0.1+x2 nf+8 1+n2所以無窮積分J+8f(x)ix發(fā)散?？梢钥闯觯脭?shù)列方法很明了地說明了上面無窮-8積分的發(fā)散。對于瑕積分也有類似的結論。

定理2設函數(shù)f(x)在切力)上有定義，b是f(x)的瑕點，則瑕積分jbfQ)收斂于aA.當且僅當對任意數(shù)列bj,存在NcN、,V產N,bn<b,limb「b有nf+8limjbnfQ)ix=Anf+8a推論1設函數(shù)fQ)在［a,b)上有定義，b是f(x)的瑕點，如果存在數(shù)列b｝，b<b,limb=b有l(wèi)imjbfQ)tix=8，或者不存在，則瑕積分jbf(x)ix發(fā)散。nnnf+8 nf+8a a推論2設函數(shù)f(x)在切力)上有定義，b是f(x)的瑕點，如果存在數(shù)列比｝，nna<b，b<b，且lima=limb=b有n n nf+8n nf+8nlimjalimjanf(x達豐limjbnf(x)ix,n—f+8a n—f+8=a則瑕積分jbf(x)ix是發(fā)散的。小結：本部分主要介紹了反常積分斂散性的數(shù)列式判別法，通過一些例子的錯誤解法，來更直觀的的了解什么是數(shù)列式判別，將數(shù)列的斂散性與反常積分的斂散性結合起來，利用數(shù)列的性質，更為簡便直觀地判別反常積分的發(fā)散.結論與展望反常積分斂散性是當今數(shù)學領域的熱點問題。反常積分斂散性問題的求解也成為眾多學者探索的焦點。關于求解反常積分斂散性問題的算法確實很多，由于反常積分斂散性的問題與人們的生活息息相關，深入研究反常積分問題的算法能夠為許多實際問題的解決提供極大的幫助。本文第一部分主要針對反常積分斂散性問題的求解做了大量的研究，在前人的基礎上提出兩種新的判別法，在理論方面分析了算法的可行性，并用數(shù)值實驗對提出算法的有效性進行了驗證。通過與其它算法的比較說明了算法具有一定的優(yōu)勢，但同時也說明其存在一定的缺點。第二部分提出反常積分斂散性的根值判別新算法，其具有好的收斂性，具備兩種算法的優(yōu)點，而且表現(xiàn)出良好的計算性能。但是有關算法中參數(shù)。如何選取才能使算法達到最優(yōu)還需進一步考慮。第三部分提出的一種新的反常積分斂散性的判別法。文章不僅從理論方面證明了算法是全局收斂的，還通過計算和舉例的實驗結果說明了算法的有效和可行性。并且，文章通過幾種算法的比較實驗驗證了算法是有效的。但在數(shù)值實驗中，jbf(x^dlx的斂散性判別是否具有其在規(guī)律還有待進一步研究。a致謝值此論文完成之際，首先向尊敬的戴華老師表示衷心的感謝和誠摯的敬意。時光如梭，轉眼間四年的學習生活即將結束。戴老師給予我耐心的指導和無私的幫助。她淵博的學識、嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度及忘我的工作作風給我留下了深刻的印象，是我永遠學習的楷模。戴老師的悉心教導將我領入科學的殿堂，使我漸漸明白了怎樣思考問題，如何從事科學研究；同時，老師的嚴格要求和關心鼓勵使我在學業(yè)上有了新的進步?？偠灾芍愿屑ず统绺呔匆馐菬o法用言語表達的，學生唯有銘記于心。感謝我的家人，感謝他們對我的撫育、關懷、鼓勵與支持。正是他們的愛讓我感到溫暖與幸福，他們的愛是我奮斗的動力。我會用更好的成績回報他們。感謝學校對我的栽培，感謝輔導員及授課老師對我的諄諄教導。最后，向所有關心我、愛護我和給予我?guī)椭娜嗽僖淮沃乱哉\摯的謝意!作者:2015年05月1參考文獻［1］唐雄.計算含參量反常積分的一些特殊方法［J］.大學學報(自然科學版).2008,7(02):25-30［2］志廣.含參量X的無界反常積分［J］。大學學報(自然科學版).2012，18(05):233-237［3］牛懷崗.含參量反常積分性質探析［J］.學院學報.2013，41(06):122-127［4］王金花，志平.含參量反常積分一致收斂性［J］.師學院學報.2013，11(02):21-28［5］永鋒.含參量反常積分的局部一致收斂與連續(xù)性［J］.師學院學報2006,3(06):22-26［6］紅愛，尚林.歐拉公式在計算反常積分中的應用［J］.數(shù)學學習與研究.2010，14(13):1-7［7］王欣，屈娜，吳莎莎.對反常積分性質的再討論［J］.數(shù)學學習與研究.2012(17):65-67[8]娟.反常積分與無窮級數(shù)收斂性關系探析[J].學院學報.2013(06):44-46[9]肖氏武.關于反常積分習題課的教學[J].高等數(shù)學研究.2014，16(04):178-181[10]何美.反常積分斂散性的數(shù)列式判別法[J].職業(yè)技術學院學報.2013,9(01):47-54ConstancyHogan.Schedulingconcurrentproductionoverafiniteplanninghorizon:Polynesiansolvablecases[J].Computer&OperationsRestart,2000,27(14)89-97.ARuskin,M.Fakir,M.A,Latinaestat.Recedinghorizoniterativedynamicprogrammingwithdiscretetimemodets[J].Computer&ChemicalEngineering,2001.25(1)78-110.[13]Maxi-mePaved.PerishPompadours,LenaMadmenestat.Optimizationofsuperannuationlayersbasedoncandlesoot[J].PureandAppliedChemistry,2014,86(2)112-145.附錄附錄A一篇引用的外文文獻及其譯文外文文獻Onimproperintegralsanddifferentialequations

inorderedBanachspacesAbstractInthispaperwestudytheexistenceofimproperintegralsofvector-valuedmappings.Thesoobtainedresultscombinedwithfixedpointresultsinpartiallyorderedfunctionsspacesarethenappliedtoderiveexistenceandcomparisonresultsforleastandgreatestsolutionsofinitial-andboundary-valueproblemsinorderedBanachspaces.Theconsideredproblemscanbesingular,functional,nonlocal,implicitanddiscontinuous.Concreteexamplesarealsosolved.IntroductionInthispaperweshallfirststudytheexistenceofimproperintegralsofb<+8,,toanamappinghfromanopenrealintervalorderedBanachspaceE.Weshow,forinstance,thatiftheorderconeofEisregular,animproperintegralofhexistsifhisstronglymeasurableanda.e.PointwiseboundedfromaboveandfrombelowbystronglymeasurableandlocallyBochnerintegrablemappingsfrom(a,b<+8,,toanThesoobtainedresultsandfixedpointresultsformappingsinpartiallyorderedfunctionspacesarethenappliedtoderiveexistenceandcomparisonresultsforleastandgreatestsolutionsoffirst-andsecond-orderinitialvalueproblemsandsecond-orderboundaryvalueproblemsinanorderedBanachspaceEwhoseorderconeisregular.Theexistenceoflocalextremalsolutionsforcorrespondingproblemsisstudiedin[6]whenEisalattice-orderedBanachspace.Anovelfeatureinourstudyisthattheright-handsidesofdifferentialequationscompriselocallyintegrablevector-valuedfunctionspossessingimproperintegrals.Similarproblemscontainingimproperintegralsofreal-valuedfunctionsarestudiedin[10].Thefollowingspecialtypesareincludedintheconsideredproblems:differentialequationsandinitial/boundaryconditionsmaybeimplicit;differentialequationsmaybesingular;boththedifferentialequationsandtheinitialorboundaryconditionsmaydependfunctionallyontheunknownfunctionand/oronitsderivatives;boththedifferentialequationsandtheinitialorboundaryconditionsmaycontaindiscontinuousnonlinearities;problemsoninfiniteintervals;problemsofrandomtype.WhenEisthesequencespacec0weobtainresultsforinfinitesystemsofinitialandboundaryvalueproblems,asshowninexamples.Moreover,concretefinitesystemsaresolvedtoillustratetheeffectsofimproperintegralstosolutionsofsuchproblems.PreliminariesOurfirsttaskinthissectionistoproveexistenceresultsforimproper

integralsofamappingh:(a,b)-E,-^<a<b?8,whereE=E，除《)isanorderedBanachspacewhoseorderconeisregular.Ifhisstrongly(Lebesgue)measurableandlocallyBochnerintegrable,denoteh€L(Qb)E).Forthesakeofcompletenessweshalldefinetheimproperintegralswearedealingwith.DefinitionZ.l.Givenh€L(Qb)E)andce(a,b)wesaythatanimproperintegralJch(s%sexistsiflim Jch(sI/xexistsinE.Similarly,wea+ x(axsaythatanimproperintegral.Jb-h(s)JsexistsifiimJxh(s)JsexistsinE.c xTbcTheexistenceresultsprovedinthenextlemmafortheabovedefinedimproperintegralsareessentialtoolsinourstudyofdifferentialequationsinorderedBanachspaces.Lemma2.1.Lethu (a,b)fE bestronglymeasurable,hmeasurable,hwlassumethath(thath(s)<h(s)<h(s)f0ra.e.sw(a,b)Thenthefollowingresultshold.hislocallyBochnerintegrable,i.e.hwL(Q,b),E)IfJchQ)dsexistsforsomec&(a,b)thenJth(s)dsexistsforalltE(a,b).士 +a+ a+

(c)IfJb-h±《)dsexistsforsomecE(a,b)thenJb一(c)IfJb-h±《)dsexistsforsomet(a,b)Proof.(a)SincetheorderconeofEisregularandhencealsonormal,thenormofEisSemimonotone,i.e.thereexistssuchapositiveconstantMthat0<x<yinEimplies||x||<M^y\.Theassumption：hQ)<hQ)<hQ)fora.e.tg(,b)canberewrittenas0<h(s)-h(s)<h(s)-h(s)fora.e.sG(a,b)InviewofthisresultandthesemimonotonicityofthenormofEweobtain|h(s)-h(s)|<M|h(s)-h(s)|fora.e.sG(a,b)Whenceh(s)|<(M+1)h?+M|h(s)|fora.e.sG(a,b)assumptionh<h<h,itThisresult,strongmeasurabilityofhandthethathGLi(Q,b),E)implythathGLassumptionh<h<h,it(b)AssumethatJch(s)dsexistsforsomecg(a,b).Since±a+followsfrom[8,Corollary1.4.6]thatJch(s)ds<Jch(sd<Jch(s)dswhenevera<t<c.ConclusionsInthisarticle,whichcanbeconfirmedthatthealgorithmisfeasible.譯文:反常積分和微分方程在命令巴拿赫空間中文摘在本文中，我們研究的存在不當積分量值的映射。所以獲得的結果結合定點結果在半序函數(shù)空間然后獲得存在和比較結果申請最初的最小和最大的解決方案一—在命令巴拿赫空間和邊值問題。問題可以考慮單一，功能，外地，隱式和不連續(xù)。具體的例子也解決了。1.介紹在本文中，我們將首先研究映射的反常積分的存在，h從開放的真正的間隔(a,b)-8<ab?+8，有序巴拿赫空間E.我們節(jié)目例如，如果訂單錐E是常規(guī)，如果存在強烈的反常積分測量和乙醯明智的有界從(a,b)上面和下面的強烈可衡量的和本地博赫納可積的映射到E具有反常積分的問題。所以獲得的結果和定點結果映射在半序空間函數(shù)就會應用獲得存在和比較結果的最小和最大的解決方案一線和二階初始值問題和二階邊值問題在一個有序的巴拿赫空間E錐是規(guī)則。相對應的局部極值解的存在性問題研究［6］當E是格序巴拿赫空間。新穎的功能在我們的研究中，右邊的微分方程組成局部可積的向量值函數(shù)擁有不當積分。類似的問題包含不正確的實值函數(shù)的積分進行了研究［10］。以下特殊類型包括在考慮的問題：-微分方程和初始/邊界條件可能是隱性的；——微分方程可能是單數(shù)；——微分方程和初始邊界條件可能功能取決于未知函數(shù)和/或其衍生品；——微分方程和初始或可能含有不連續(xù)邊界條件非線性；——無限區(qū)間上的問題；——隨機的問題類型。當E是我們獲得結果的序列空間c0無限系統(tǒng)的初始邊值問題，如例子所示。此外,混凝土有限系統(tǒng)解決了反常積分的影響來說明這些問題的解決方案。2預賽我們在這一節(jié)的第一項任務是證明存在的反常積分的結果映射h:(a,b)fE-cq<a<b<co,在￡=解II』,J是一個有序的巴拿赫空間秩序錐是常規(guī)。如果h強烈勒貝格可測和本地博赫納可積的，表示h&b(Q,b\石)為了完整性loc我們定義積分我們正在處理不當。定義2.1.鑒于品匕，"2E)/并且ceQ力)，我們說一個反常積分卜如loc -L果存在lim 存在于e.同樣，我們說一個反常積分b一/1G認如果存在x^axlim\xh（s^）tis存在于e.x^bc存在結果在接下來的引理證明上述定義不恰當微分方程的積分是我們研究的重要工具在命令巴拿赫空間中。引理2.1。讓/zuQ”石強可測wLi&力),￡)并承擔那場Q)44)v/zQ)±loc - +并且a.e5e ,然后下面的結果。(a)h是本地博赫納可積的j.e/?€AQ,b)E)loc(b)如果J。hQlzs存在一些c￡(a,Z?)且卜4k所有的存在看￡Cz,Z?)

（C）如果Jb一h土《兒存在一些ce（a,b）且Jb-h（s's所有的存在t，,b）c t證明（一）順序錐以來E是正常的,因此也正常,E是常態(tài)辦單調即存在這樣一個積極常數(shù)M0<x<y在E意味著何|<M|y.假設：h(s)<h(s)<h(s)且a.etE(a,b)可以重寫為0<h(s)-h(s)<h(s)-h(s)且a.e.se(a,b)a.esea.ese(a,b)(s)-h(s)|<M|h+(s)-h(s)|且那么(s)|<(M+1)|h，+M|h，且a.e這一結果,強大的可測性和假設h土eLioQ,b）E）暗示hEUoQ，b），E）.（b）假設JchQds存在一些cE（a,b），從h<h<h它遵循從[8推論1.4.6]Jch(s)ds<Jch(sd<Jch(s)ds無論何時a<，<c結論在這篇文章中，可以證實，該算法是可行的。附錄B主要參考文獻的題錄及摘要【篇名】計算含參量反常積分的一些特殊方法【摘要】計算含參量的反常積分時，常用的是兩種方法:1）利用積分號下求積分的方法計算反常積分;2）利用積分號下求導方法計算反常積分.本文介紹另外幾種求反常積分的方法.【篇名】含參量X的無界反常積分【摘要】現(xiàn)行教材中對于含參量x的無界反常積分，僅僅給出了定義，對此進一步探究，給出了其一致收斂的判別法?！酒亢瑓⒘糠闯７e分性質探析【摘要】用一致收斂的概念直接證明含參量反常積分的分析性質，大大簡化了含參量反常積分的分析性質的證明過程和證明難度,含參量反常積分的分析性質在特殊函數(shù)的分析性質的討論和應用中有重要的意義。[4]【篇名】含參量反常積分一致收斂性【摘要】通過對積分變量作變量變換將兩種含參量反常積分的一致收斂性建立聯(lián)系，給出了借助含參量無窮限反常積分的一致收斂性判斷含參量無界函數(shù)反常積分一致收斂性的一種方法，從而在一定程度上將二者統(tǒng)一,加深讀者的理解與認識?！酒亢瑓⒘糠闯７e分的局部一致收斂與連續(xù)性【摘要】給出了含參量反常積分局部一致收斂的定義，證明了局部一致收斂與含參量反常積分連續(xù)的等價性，最后討論了含參量反常積分幾種收斂性的關系?！酒繗W拉公式在計算反常積分中的應用【摘要】被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積或為指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積的無窮限反常積分在《數(shù)學分析》與《積分變換》課程中常出現(xiàn)，當被積函數(shù)復雜時用通常的計算方法計算會很困難，甚至計算不出結果.運用歐拉公式將三角函數(shù)化為復指數(shù)函數(shù),從而將被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積化為指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)乘積，使相應的無窮限反常積分的計算變得較為簡單.本文通過實例說明該種計算方法的簡便之處，并就適應的題型做了詳細的總結,對大學數(shù)學教師教學和學生學習有很好的參考價值.[7]【篇名】對反常積分性質的再討論【摘要】我們知道在黎曼意義下的積分，函數(shù)有界是函數(shù)可積的必要條件.那么在廣義積分下，會是什么情形?本文通過具體實例，討論了兩者關系.【篇名】反常積分與無窮級數(shù)收斂性關系探析【摘要】反常積分與無窮級數(shù)是《數(shù)學分析》中的重要容,其收斂性在本質上有著密切的聯(lián)系這為我們提供了進行平行類比學習的理論依據(jù)，但也應該看到二者的差別，即無窮積分t,a乙f(x兒收斂卻未必有l(wèi)imxsf(%)=0。為此，討論了無窮積分t,a乙f(x)dx收斂則lim%?f(x)=0的若干充分條件?！酒筷P于反常積分習題課的教學【摘要】在反常積分習題課教學中，選取適當例題,詮釋反常積分與定積分之間的差異.通過變更或補充被積函數(shù)所滿足的條件，設計相應習題，并最終借助題解說明,在一定條件下，對收斂的反常積分,其被積函數(shù)在無窮遠處必為無窮小.【篇名】反常積分斂散性的數(shù)列式判別法【摘要】本文將數(shù)列的斂散性與反常積分的斂散性結合起來，利用數(shù)列的性質,更為簡便直觀地判別反常積分的發(fā)散.【篇名】Schedulingconcur