概率論與數(shù)理統(tǒng)計第七章習題

第七章習題2.設X1,X2,…,Xn為總體的一個樣本,x1,x2,…,xn為一相應的樣本值;求下述各總體的密度函數(shù)或分布律中的未知參數(shù)的矩估計量和估計值.(1)解因為只有一個未知參數(shù),故只計算總體一階矩1即可.解出將總體一階矩1換成樣本一階矩A1=X,得到參數(shù)的矩估計量矩估計值其中c>0為已知,>1,為未知參數(shù).2.(2)其中>0,為未知參數(shù).解因為只有一個未知參數(shù),故只計算總體一階矩1即可.解出將總體一階矩1換成樣本一階矩A1=X,得到參數(shù)的矩估計量矩估計值3.求1題中各未知參數(shù)的最大似然估計值和估計量.(1)其中c>0為已知,>1,為未知參數(shù).解似然函數(shù)

xi>c(i=1,2,…,n)時,取對數(shù)得令得到的最大似然估計值的最大似然估計量3.(2)其中>0,為未知參數(shù).解似然函數(shù)

0xi1(i=1,2,…,n)時,取對數(shù)得令得到的最大似然估計值的最大似然估計量4.(2)設X1,X2,…,Xn是來自參數(shù)為的泊松分布總體的一個樣本,試求的最大似然估計量及矩估計量.解泊松分布的分布律為總體一階矩1=E(X)=,將總體一階矩1換成樣本一階矩A1=X,得到參數(shù)的矩估計量似然函數(shù)取對數(shù)得令得到的最大似然估計值的最大似然估計量設x1,x2,…,xn為相應的樣本值,8(1)驗證第六章§2定理四中的統(tǒng)計量是兩總體公共方差2的無偏估計量(SW2稱為2的合并估計).證兩正態(tài)總體N(1,12),N(2,22)中,12=22=2而不管總體X服從什么分布,都有E(S2)=D(X),

因此E(S12)=E(S22)=2,(2)設總體X的數(shù)學期望為.X1,X2,…,Xn是來自X的樣本.a1,a2,…,an是任意常數(shù),驗證是的無偏估計量.證E(X1)=E(X2)=…=E(Xn)=E(X)=10.設X1,X2,X3,X4是來自均值為的指數(shù)分布總體的樣本,其中未知.設有估計量T2=(X1+2X2+3X3+4X4)/5,T3=(X1+X2+X3+X4)/4.(1)指出T1,T2,T3中哪幾個是的無偏估計量;(2)在上述的無偏估計量中指出哪一個較為有效.解Xi(i=1,2,3,4)服從均值為的指數(shù)分布,故E(Xi)=,D(Xi)=2,(1)因此T1,T3是的無偏估計量.(2)X1,X2,X3,X4相互獨立由于D(T1)>D(T3),所以T3比T1較為有效.12.設從均值為,方差為2>0的總體中,分別抽取容量為n1,n2的兩獨立樣本.X1和X2分別是兩樣本的均值.試證,對于任意常數(shù),a,b(a+b=1),Y=aX1+bX2都是的無偏估計,并確定常數(shù)a,b使D(Y)達到最小.解由p168(2.19)得E(X1)=E(X2)=,D(X1)=2/n1,D(X2)=2/n2.故E(Y)=aE(X1)+bE(X2)=(a+b)=,(a+b=1)所以,對于任意常數(shù),a,b(a+b=1),Y=aX1+bX2都是的無偏估計.由于兩樣本獨立,故兩樣本均值X1和X2獨立,所以由極值必要條件解得而由于故D(Y)必有唯一極小值即最小值.14.設某種清漆的9個樣品,其干燥時間(以小時計)分別為6.05.75.86.57.06.35.66.15.0設干燥時間總體服從正態(tài)分布N(,2),求的置信水平為0.95的置信區(qū)間.(1)若由以往經(jīng)驗知=0.6,(2)若為未知.解(1)2已知,的置信水平為1-的置信區(qū)間為n=9,1-=0.95,=0.05,

(z0.025)=1-0.025=0.975,z0.025=1.96,=0.6,x=6,的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間為(5.608,6.392).(2)2未知,的置信水平為1-的置信區(qū)間為n=9,1-=0.95,=0.05,t/2(n-1)=t0.025(8)=2.3060s=0.5745,的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間為(5.558,6.442).16.隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗,得炮口速度的樣本標準差s=11(m/s).設炮口速度服從正態(tài)分布.求這種炮彈的炮口速度的標準差的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解未知,的置信水平為1-的置信區(qū)間為n=9,1-=0.95,=0.05,2/2(n-1)=20.025(8)=21-/2(n-1)=20.975(8)=17.5352.18,又s=11,標準差的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(7.4,21.1).18.隨機地從A批導線中抽取4根,又從B批導線中抽取5根,測得電阻(歐)為A批導線:0.1430.1420.1430.137B批導線:0.1400.1420.1360.1380.140設測定數(shù)據(jù)分別來自分布N(1,2),N(2,2),且兩樣本相互獨立.又1,2,2均為未知.試求1-2的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解兩正態(tài)總體相互獨立,方差相等,但方差未知,其均值差1-2的一個置信水平為1-的置信區(qū)間為n1=4,n2=5,1-=0.95,=0.05,t/2(n1+n2-2)=t0.025(7)=2.3646x1=0.14125,x2=0.1392,s12=8.2510-6,s22=5.210-6,1-2的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間為(-0.002,0.006).20.設兩位化驗員A,B獨立地對某種聚合物含氯量用相同的方法各作10次測定,其測定值的樣本方差依次為sA2=0.5419,sB2=0.6065,設A2,B2分別為A,B所測定的測定值總體的方差,設總體均為正態(tài)的,設兩樣本獨立,求方差比A2/B2的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解兩正態(tài)總體均值未知,方差比A2/B2的一個置信水平為1-的置信區(qū)間為nA=10,nB=10,1-=0.95,=0.05,F/2(nA-1,nB-1)=F0.025(9,9)=4.03sA2=0.5419,sB2=0.6065,A2/B2的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間為(0.222,3.601).22(2)求18題中1-2的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.解按照t分布的上分位點的定義即1-=0.95,=0.05,t(n1+n2-2)=t0.05(7)=1.8946,1-2的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限為18題中已得到x1=0.14125,x2=0.1392,sw=2.5510-3,n1=4,n2=5,22(3)求20題中方差比A2/B2的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限.解由p169定理四得按照F分布的