IIR濾波器的設(shè)計(jì)課件

第6章IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

6.1數(shù)字濾波基本概念

6.2模擬濾波器設(shè)計(jì)6.3設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法6.4設(shè)計(jì)IIR濾波器的雙線性變換法第6章IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)濾波的目的為了壓制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例廣義濾波包括對信號的檢測與參量的估計(jì)信號的檢測:確定在干擾背景中信號是否存在信號參量的估計(jì):為識別信號而確定信號的某一個或某幾個參量的估值

6.1數(shù)字濾波的基本概念

數(shù)字濾波器的分類

經(jīng)典濾波器（一般濾波器）

輸入信號的頻率成分和希望濾除掉的頻率成分各占有不同的頻帶按功能可分為：高通、低通、帶通、帶阻和全通濾波器

現(xiàn)代濾波器數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上分：

無限脈沖響應(yīng)濾波器（IIR）

有限脈沖響應(yīng)濾波器（FIR）數(shù)字濾波器的頻率特性數(shù)字濾波器具有某種特定頻率特性的線性時不變系統(tǒng)廣義上，任何線性時不變離散系統(tǒng)都是一個數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的任務(wù)尋求一個因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有指定的頻率特性DF按頻率特性分類可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通特點(diǎn)為數(shù)字頻率以周期頻率特性只限于范圍，依取樣定理，對應(yīng)于實(shí)際模擬抽樣頻率的一半頻率變量以數(shù)字頻率表示其中模擬角頻率，T抽樣時間間隔，fs

抽樣頻率理想濾波器的頻率響應(yīng)

0：通帶波紋：阻帶波紋：過渡帶：通帶截止頻率：阻帶截止頻率DF的性能要求（低通為例）2．IIR和FIR數(shù)字濾波器

IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通?？杀硎境傻挠欣矸质紽IR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)則可表示為的多項(xiàng)式

設(shè)計(jì)過程一般包括以下三個基本問題：

根據(jù)實(shí)際要求確定濾波器性能指標(biāo)；用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個指標(biāo)；用一個有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個傳輸函數(shù)

問題1、3與實(shí)際的要求及實(shí)現(xiàn)的硬件條件有關(guān)本章主要討論問題2，即系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)(或逼近)問題。

3．設(shè)計(jì)IIR濾波器的幾種方法

IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可表示為的有理分式

設(shè)計(jì)IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，就是要確定H(z)的階數(shù)N（通常稱N為濾波器的階數(shù)）以及分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)滿足指定的頻率特性(1)利用模擬濾波器的理論來設(shè)計(jì)

模擬濾波器研究較早，理論已經(jīng)十分成熟，有許多簡單而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑O(shè)計(jì)公式和大量的圖表可以利用，利用這些現(xiàn)有技術(shù)來解決數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問題采用這種方法時，要先要設(shè)計(jì)一個合適的模擬濾波器，然后將它轉(zhuǎn)換成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器這種方法適合于設(shè)計(jì)幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等(2)利用最優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行CAD設(shè)計(jì)

若需設(shè)計(jì)濾波器的幅頻特性是任意的或者形狀比較復(fù)雜，可采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)思想希望濾波器的幅頻響應(yīng)：

設(shè)計(jì)濾波器的幅頻響應(yīng)：選擇一種最優(yōu)化的準(zhǔn)則，例如采用最小均方誤差準(zhǔn)則

在指定的一組離散的頻率點(diǎn)

的均方誤差求解H(z)的系數(shù)使均方誤差最小

當(dāng)濾波器階數(shù)N較高時，轉(zhuǎn)換為一個多變量最優(yōu)化問題，需要大量的迭代運(yùn)算，因此必須采用CAD的方法。

5．3設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法

1．設(shè)計(jì)的基本原理和方法

原理：從時域響應(yīng)出發(fā)，使求得的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)的抽樣值。

如果：則可有下式求H（z）：如果模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是穩(wěn)定的，其極點(diǎn)應(yīng)位于左半平面

（5-2-3）

對Z平面的極點(diǎn)有

位于單位園內(nèi)。因此H(z)是一個穩(wěn)定的離散系統(tǒng)函數(shù)，這說明由一個穩(wěn)定的模擬濾波器得到了一個穩(wěn)定的數(shù)字濾波器

2．脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)

根據(jù)抽樣定理，序列h(n)的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓

原模擬濾波器的頻率響應(yīng)為，由于h(n)是h(t)的等間隔抽樣

如果模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限于折疊頻率之內(nèi)，即

這樣數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)才能等于模擬濾波器的頻率響應(yīng)

然而，高通和帶阻濾波器不能滿足(-2-)式的要求，將會產(chǎn)生混疊脈沖響應(yīng)不變法不適合用來設(shè)計(jì)高通和帶阻數(shù)字濾波器。

2）、直接用數(shù)字頻率表示的求H(z)的公式在實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)中，因模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的表格大都是歸一化低通原型，其濾波器3dB點(diǎn)截止頻率都?xì)w一化在原因：可將設(shè)計(jì)公式及有關(guān)參數(shù)表格化，使之更通用。我們只要知道濾波器的階數(shù)，就可直接查出低通原型的系統(tǒng)函數(shù)。當(dāng)濾波器的實(shí)際截止頻率不等于1時，須進(jìn)行所謂反歸一化，以(s/)代替中的s，即實(shí)際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)應(yīng)為為模擬歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)

例5-3-1利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個4階巴特沃斯型數(shù)字低通濾波器，滿足以下指標(biāo)(A)若采樣周期T=10μs，求實(shí)際模擬截止頻率fc，

(B)3dB截止頻率=0.2π弧度。解：先計(jì)算模擬截止頻率，第二步部分分式分解并求Ak第三步將代入下式，整理并化簡求得H(z)的實(shí)系數(shù)二次形式

5．4設(shè)計(jì)IIR濾波器的雙線性變換法1．設(shè)計(jì)方法從頻域響應(yīng)出發(fā)，直接使數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)，逼近模擬濾波器的頻域響應(yīng),進(jìn)而求出H(z)。脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)：對時域的采樣會造成頻域的混疊效應(yīng)，因而有可能使設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)與原來模擬濾波器的頻域響應(yīng)相差很大，而且不能用來設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器原因：從S平面到Z平面的映射是多值的映射關(guān)系雙線性變換的映射過程

脈沖響應(yīng)不變法的映射過程

雙線性變換法的改進(jìn)為避免頻域的混疊，分兩步完成S平面到Z平面的映射將S平面壓縮到某一中介的S1平面的一條橫帶域通過標(biāo)準(zhǔn)的變換將此橫帶域映射到整個Z平面上去，實(shí)現(xiàn)方法：再通過Z變換，將Ω1映射到Z平面的單位圓上

通過下面的正切變換，將S平面的jΩ軸壓縮到S1平面的jΩ1軸上的

將正切變換延拓到整個S平面，得到S平面到S1平面的映射關(guān)系

再將S1平面按關(guān)系式映射到Z平面得到雙線性變換

或雙線性變換的映射關(guān)系滿足

關(guān)于映射關(guān)系可行性的兩個條件（1）S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上；（2）位于S左半平面的極點(diǎn)應(yīng)映射到Z平面的單位圓內(nèi)。帶入表達(dá)式得：說明S平面的虛軸映射成了Z平面的單位圓令,帶入表達(dá)式得：顯然當(dāng)時，<1，S平面的左半平面軸映射到了Z平面的單位圓內(nèi)，保證系統(tǒng)函數(shù)經(jīng)映射后穩(wěn)定性不變雙線性變換的頻率對應(yīng)關(guān)系模擬頻率與數(shù)字頻率是一種非線性的關(guān)系模擬濾波器與數(shù)字濾波器的響應(yīng)與對應(yīng)的頻率關(guān)系上發(fā)生了畸變，也造成了相位的非線性變化，這是雙線性變換法的主要缺點(diǎn)雙線性變換法除了不能用于線性相位濾波器設(shè)計(jì)外，仍然是應(yīng)用最為廣泛的設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法。

在上刻度為均勻的頻率點(diǎn)映射到上時變成了非均勻的點(diǎn)，而且隨頻率增加越來越密2．頻率預(yù)畸變

為了保證各邊界頻率點(diǎn)為預(yù)先指定的頻率，在確定模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)之前必須按下式進(jìn)行所謂頻率預(yù)畸變?nèi)缓髮㈩A(yù)畸變后的頻率代入歸一化低通原型Ha(s)確定最后求得數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)3.有關(guān)雙線性變換公式的說明（抽樣間隔T的選取有些文獻(xiàn)中雙線性變換的關(guān)系為:與右式有一個2/T的系數(shù)的差別?，F(xiàn)說明T的取值。上式可由用數(shù)值計(jì)算的方法求解一階輸入-輸出模擬系統(tǒng)的過程中推得。設(shè)一階模擬系統(tǒng)函數(shù)為對應(yīng)的一階微分方程為將表示成的積分形式采用梯形法近似計(jì)算定積分，令步長為T，并設(shè)t=nT，t0=（n-1）T，用T代替dt，以上積分式可近似為：帶入一階微分方程令、一階差分方程化為：對上式兩邊進(jìn)行Z變換，得到：得到了雙線性變換的關(guān)系其中T為用梯形法近似計(jì)算定積分的步長，或?qū)⒛M信號離散為抽樣信號時的抽樣間隔

由以上的推導(dǎo)過程可見，T的取值可以任選，只要滿足即只要保證將模擬頻率帶限在之間，不會產(chǎn)生因多值映射產(chǎn)生頻率混迭現(xiàn)象。另一方面，當(dāng)變換關(guān)系采用下式時將有關(guān)系式和當(dāng)由歸一化的模擬變量p變到數(shù)字變量Z的過程中，系數(shù)2/T已被消去。這再一次說明T取值的大小是不重要的?？紤]到利用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的過程例：利用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯型數(shù)字低通濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)：通帶數(shù)字截止率，通帶內(nèi)最大衰減阻帶數(shù)字截止率，阻帶內(nèi)最小衰減解第一步進(jìn)行頻率預(yù)畸