第9章方差分析

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教材和參考書目：《教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)》，張敏強(qiáng)主編，人教版《心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)》，張厚粲主編，北師大版《心理學(xué)研究方法》三編，黃希庭主編，高教版《心理統(tǒng)計(jì)》英文9版，R.P.Runyon，人民郵電

2/6/20231JumpingRabbitStudio第9章方差分析9.1方差分析的基本原理及步驟9.2完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析9.3隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析9.4事后檢驗(yàn)2/6/20232JumpingRabbitStudio方差分析（一）Outline:1Introduction2ThepointsofANOVA3Mainconceptions4TheprerequisiteofANOVA2/6/20233JumpingRabbitStudio專業(yè)A專業(yè)B專業(yè)C158158156156160162165160163162156163162155168165160163160157164155178163156168166160170158某學(xué)院每年招收三個(gè)專業(yè)的學(xué)生，每個(gè)專業(yè)隨機(jī)抽取9名同學(xué)，其身高如表所示，請問三個(gè)專業(yè)學(xué)生的身高是否有顯著差異？2/6/20234JumpingRabbitStudio1Introduction:

若將顯著性檢驗(yàn)也視為兩總體間“差異”檢驗(yàn)，則第六章所講t檢驗(yàn)法主要適用于兩總體間均值差異的顯著性檢驗(yàn)，但在實(shí)踐中經(jīng)常會遇到要比較多個(gè)處理優(yōu)劣的問題，即需進(jìn)行多個(gè)均值間的差異顯著性檢驗(yàn)。這時(shí)若仍采用t檢驗(yàn)法有下列問題：WhycannotusemultipleTtesttoconductmultiplecomparisonamonggroups?為什么不能用t檢驗(yàn)對多個(gè)平均數(shù)的差異進(jìn)行比較？2/6/20235JumpingRabbitStudio比較組合次數(shù)多：Z、t檢驗(yàn)的局限性：可靠性降低缺少綜合信息；缺乏整體信息。2/6/20236JumpingRabbitStudio

1、檢驗(yàn)次數(shù)增加

例如，一實(shí)驗(yàn)包含5個(gè)處理，采用t檢驗(yàn)法要進(jìn)行=10次兩兩均值的差異顯著性檢驗(yàn)；若有k個(gè)處理，則要作k(k-1)/2次類似的檢驗(yàn)。

2、無統(tǒng)一的實(shí)驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低。每次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)誤不同；自由度為充分利用。如5個(gè)處理，每個(gè)處理重復(fù)6次，共有30個(gè)觀測值。進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，每次只能利用兩個(gè)處理共12個(gè)觀測值估計(jì)誤差，誤差自由度為2(6-1)=10；若利用30個(gè)觀測值估計(jì)誤差，顯然估計(jì)的精確性高，且誤差自由度為5(6-1)=25。用t檢法進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，誤差自由度小，容易掩蓋差異的顯著性。2/6/20237JumpingRabbitStudio3、推斷可靠性低，檢驗(yàn)的I型錯(cuò)誤大

每次比較不會犯I型錯(cuò)誤概率為1-α，K次比較為（1-α），則犯錯(cuò)誤概率為1-（1-α）。

由于上述原因，多個(gè)平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)不宜用t檢驗(yàn)，須采用方差分析法。

2/6/20238JumpingRabbitStudio2ThepointsofANOVA方差分析(analysisofvariance，ANOVA)是由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年首先提出的。是目前應(yīng)用最廣泛的統(tǒng)計(jì)分析法之一。Theladytastetea!Theprinciplesofexperimentdesign:RandomizationLocalcontrolRepetition2/6/20239JumpingRabbitStudio方差分析又稱為變異分析(analysisofvariance,ANOVA)，是由斯內(nèi)德克根據(jù)費(fèi)舍的早期工作發(fā)明的一種檢驗(yàn)方法。分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中不同來源的變異對總的變異的貢獻(xiàn)大小。用于分析兩種以上平均數(shù)的差異檢驗(yàn)問題。2/6/202310JumpingRabbitStudio變異數(shù)分析的思路：變異(方差)反映了數(shù)據(jù)的變化，若能將數(shù)據(jù)變化的原因加以分解(方差可加性)，一部分為由于施加了自變量的不同水平或處理而導(dǎo)致的組間變異，另一部分為同一處理下各觀測值間的變異(認(rèn)為是誤差)，則可以將兩部分變異進(jìn)行比較(方差差異顯著性檢驗(yàn)，F(xiàn)檢驗(yàn))以判斷組間變異是否顯著大于誤差變異，從而判斷組間因素的效應(yīng)是否顯著。（1）平方和分解2/6/202311JumpingRabbitStudio2/6/202312JumpingRabbitStudio各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方，分別記為MSt（即）、MSb（即）和MSe（或）。即

（2）構(gòu)造方差比（3）testIfF=12/6/202313JumpingRabbitStudio

1.自變量和因變量：因素，性質(zhì)變量或分類變量；因變量，觀測指標(biāo)。方差分析：自變量的不同水平或處理在因變量上的差異2.變異源：組間因素(自變量)、無關(guān)變量(系統(tǒng)誤差來源，需要控制)、隨機(jī)誤差(組內(nèi)變異，比較的基礎(chǔ)，隨機(jī)化原則)3.因素的水平和實(shí)驗(yàn)處理：方差分析的特點(diǎn)三個(gè)水平以上，處理即最小的實(shí)驗(yàn)條件，各變量水平的組合(計(jì)算)

4.實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)分類：不同的設(shè)計(jì)使用不同的方差分析(主要是方差分解不同)，單因素(單向)、二因素、多因素(析因)；從控制無關(guān)變量(一般是機(jī)體變量)多少分完全隨機(jī)化、隨機(jī)區(qū)組(單個(gè)被試作為區(qū)組)、拉丁方；被試接受處理數(shù)分被試間、被試內(nèi)(重復(fù)測量)和混合設(shè)計(jì)。3MainConceptions2/6/202314JumpingRabbitStudio假設(shè)某研究者要研究若干種心理治療方法的效果，考察的方法包括:RealityTherapy,BehaviorTherapy,Psychoanalysis,GestaltTherapy.Q1:如何進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)？設(shè)有20名被試。Q2:實(shí)驗(yàn)包括幾個(gè)處理？自變量有幾個(gè)水平？指標(biāo)是什么？——自我概念量表得分變化。Q3:可能的變異源有哪些？Q4:若增加對被試性別效應(yīng)的考察，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)如何變化？Q5:若考慮到自我概念的起始水平不同，如何變化？Example12/6/202315JumpingRabbitStudioDoyouknowhowarrangethesubjectstoallthetreatmentwiththoseabovedesign?完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)(上左)和隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)(上右)都試被試間設(shè)計(jì)，不節(jié)省被試，只有被試內(nèi)設(shè)計(jì)(下右)才節(jié)省被試。2/6/202316JumpingRabbitStudio1正態(tài)總體：2Additivityofeffectsorvariation(可加性)3homogeneityofvariancewithineachtreatment——Levene’stest（同質(zhì)性）4TheprerequisiteofANOVA2/6/202317JumpingRabbitStudio9.1方差分析的基本原理（一）綜合的虛無假設(shè)與部分虛無假設(shè)綜合虛無假設(shè)：樣本所歸屬的所有總體的平均數(shù)都相等。H0：μ1=μ2=μ3部分虛無假設(shè)：部分樣本對應(yīng)的總體的平均數(shù)相等。H0：μ1=μ2

μ2=μ3

μ1=μ32/6/202318JumpingRabbitStudio（二）方差的可分解性方差分析依據(jù)的基本原理是方差（或變異）的可加性原則，將總的平方和分解為幾個(gè)不同來源的平方和。平方和指觀測數(shù)據(jù)與平均數(shù)離差的平方總和。求5，6，10，13，7，9，4的平方和2/6/202319JumpingRabbitStudio方差的可分解性總平方和組間平方和組內(nèi)平方和2/6/202320JumpingRabbitStudioF檢驗(yàn)組間方差組內(nèi)方差F單側(cè)檢驗(yàn)2/6/202321JumpingRabbitStudio方差分析的基本過程⑴．提出假設(shè)⑵．選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算①．分解平方和SS②．分解自由度df③．計(jì)算方差MS④．計(jì)算F值⑶．作出統(tǒng)計(jì)結(jié)論并列方差分析表2/6/202322JumpingRabbitStudio1.總體正態(tài)分布2.變異的相互獨(dú)立3.各個(gè)實(shí)驗(yàn)處理內(nèi)的方差一致方差分析的基本假定：方差齊性檢驗(yàn)：若說明方差不齊性2/6/202323JumpingRabbitStudio實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與方差分析T檢驗(yàn)用于只有兩種實(shí)驗(yàn)處理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。方差分析適用于三種及其以上實(shí)驗(yàn)處理的情況，可以分為組間設(shè)計(jì)、組內(nèi)設(shè)計(jì)和混合設(shè)計(jì)。組間設(shè)計(jì)，也稱為被試間設(shè)計(jì)、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)，將被試隨機(jī)分為若干組，每組被試分別接受一種實(shí)驗(yàn)處理。2/6/202324JumpingRabbitStudio組內(nèi)設(shè)計(jì)，又稱為被試內(nèi)設(shè)計(jì)、重復(fù)測量設(shè)計(jì)，每個(gè)被試接受所有自變量的實(shí)驗(yàn)處理?；旌显O(shè)計(jì)一般涉及兩個(gè)以上的自變量，其中既有被試內(nèi)變量也有被試間變量。2/6/202325JumpingRabbitStudio9.2完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析，是對單因素的組間設(shè)計(jì)的方差分析，實(shí)驗(yàn)安排被試如下：處理1處理2……處理k被試11被試21……被試k1被試12被試22……被試k2被試13被試23……被試k3……………………2/6/202326JumpingRabbitStudio分析步驟1.提出虛無假設(shè)H0：μ1=μ2=μ3……H1：μ1≠μ2≠μ3……H0：各班的平均身高是相等的H1：各班的平均身高是不相等的2/6/202327JumpingRabbitStudio2.求平方和組內(nèi)求和組間求和2/6/202328JumpingRabbitStudio3.計(jì)算自由度總的自由度：組間自由度：組內(nèi)自由度：2/6/202329JumpingRabbitStudio4.計(jì)算均方組間方差：組內(nèi)方差：5.計(jì)算F值2/6/202330JumpingRabbitStudioＦ檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則F與臨界值比較P值顯著性檢驗(yàn)結(jié)果F＜F(dfB,dfW)0.05P＞0.05不顯著保留H0，拒絕H1F(dfB,dfW)0.05≤F＜

F(dfB,dfW)0.010.05≥P＞0.01顯著＊在0.05顯著性水平拒絕H0，接受H1F≥F(dfB,dfW)0.01P≤0.01極其顯著＊＊在0.01顯著性水平拒絕H0，接受H16.作出決斷2/6/202331JumpingRabbitStudio7．列出完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析表變異來源平方和自由度方差F值概率組間變異SSBdfBMSBP組內(nèi)變異SSwdfwMSw總變異SSTdfT完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析表2/6/202332JumpingRabbitStudio某學(xué)院每年招收三個(gè)專業(yè)的學(xué)生，每個(gè)專業(yè)隨機(jī)抽取9名同學(xué)，其身高如表所示，請問三個(gè)專業(yè)學(xué)生的身高是否有顯著差異？專業(yè)A專業(yè)B專業(yè)CXX2XX2XX2158249641582496415624336156243361602560016226244165272251602560016326569162262441562433616326569162262441552402516828224165272251602560016326569160256001572464916426896155240251783168416326569156243361682822416627556160256001702890015824964Σ159925579916222635821626264496(ΣX)22556801263088426438762/6/202333JumpingRabbitStudio設(shè)虛無假設(shè)和備擇假設(shè)分別如下：H0：μ1=μ2=μ3H1：μ1≠μ2≠μ32/6/202334JumpingRabbitStudio計(jì)算平方和2/6/202335JumpingRabbitStudio3.計(jì)算自由度總的自由度：組間自由度：組內(nèi)自由度：2/6/202336JumpingRabbitStudio4.計(jì)算均方組間方差：組內(nèi)方差：5.計(jì)算F值由于所以三個(gè)專業(yè)的身高沒有顯著差異2/6/202337JumpingRabbitStudio變異來源平方和自由度方差F值概率組間變異43221.50.805>0.05組內(nèi)變異7212726.7總變異76429三專業(yè)身高的方差分析表2/6/202338JumpingRabbitStudio9.3隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析，就是重復(fù)測量設(shè)計(jì)的方差分析（repeatedmeasuresanalysisofvaricace），或稱為組內(nèi)設(shè)計(jì)的方差分析。隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析，是對多個(gè)相關(guān)樣本平均數(shù)的差異進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。2/6/202339JumpingRabbitStudio在檢驗(yàn)?zāi)骋灰蛩囟喾N不同水平（即不同實(shí)驗(yàn)處理）之間差異的顯著性時(shí)，為了減少被試間個(gè)別差異對結(jié)果的影響，把從同一個(gè)總體中抽取的被試按條件相同的原則分成各個(gè)組（稱為區(qū)組），使每個(gè)區(qū)組內(nèi)的被試盡量保持同質(zhì)。2/6/202340JumpingRabbitStudio在對各區(qū)組施以多種實(shí)驗(yàn)處理之后，用方差分析法對這多個(gè)相關(guān)樣本平均數(shù)差異所進(jìn)行的顯著性檢驗(yàn)，稱為隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析。2/6/202341JumpingRabbitStudio隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的原則是同一區(qū)組內(nèi)的被試應(yīng)盡量“同質(zhì)”，每一區(qū)組內(nèi)被試的人數(shù)分配有以下三種方式：⑴．每一個(gè)被試作為一個(gè)區(qū)組，所有的被試都要分別接受各種實(shí)驗(yàn)處理；處理1處理2處理32/6/202342JumpingRabbitStudio⑵．每一區(qū)組內(nèi)的被試人數(shù)是實(shí)驗(yàn)處理數(shù)的整倍數(shù)。同一區(qū)組內(nèi)的每幾個(gè)被試可以隨機(jī)接受同一種實(shí)驗(yàn)處理；111222333區(qū)組1區(qū)組2區(qū)組3處理1處理2處理33332221112/6/202343JumpingRabbitStudio（3）區(qū)組內(nèi)的基本單位不是個(gè)別被試，而是一個(gè)團(tuán)隊(duì)為單位學(xué)校A學(xué)校B學(xué)校Ca班b班c班a班b班c班a班b班c班處理1處理2處理32/6/202344JumpingRabbitStudio隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析中，接受各種實(shí)驗(yàn)處理的是同一區(qū)組，故個(gè)別差異可以從組內(nèi)差異中分離出來，從而減少由個(gè)別差異造成的誤差，增加實(shí)驗(yàn)的信息，提高實(shí)驗(yàn)的效率。2/6/202345JumpingRabbitStudio隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析將變異來源分解為組間變異、區(qū)組變異和誤差變異三部分：2/6/202346JumpingRabbitStudio3．隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分析的計(jì)算公式⑴．分解平方和

總平方和組間平方和2/6/202347JumpingRabbitStudio區(qū)組平方和

公式中：R表示某一區(qū)組在某種處理的分?jǐn)?shù)n表示區(qū)組數(shù)，K表示處理數(shù)誤差平方和

2/6/202348JumpingRabbitStudio⑵．分解自由度總自由度可以分解為組間、區(qū)組和誤差自由度：總自由度組間自由度區(qū)組自由度誤差自由度2/6/202349JumpingRabbitStudio⑶．計(jì)算方差組間方差區(qū)組方差

誤差方差

2/6/202350JumpingRabbitStudio⑷．計(jì)算Ｆ值組間方差與誤差方差的Ｆ比值區(qū)組方差與誤差方差的Ｆ比值2/6/202351JumpingRabbitStudio⑸．隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析表變異來源平方和自由度方差F值概率組間變異SSBdfBMSBPP區(qū)組變異SSRdfRMSR誤差變異SSEdfEMSE總變異SSTdfT表14－1隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分析表2/6/202352JumpingRabbitStudio5名被試在4種不同的環(huán)境條件下參加某一心理測驗(yàn)，結(jié)果如下。問不同測驗(yàn)環(huán)境是否對這一測試成績有顯著影響。被試測試環(huán)境IIIIIIIV1302816162141810103242018184383420205262814142/6/202353JumpingRabbitStudio解題過程1.提出假設(shè)H0:μ1=μ2=μ3=μ4

H1:至少有兩組平均數(shù)不等2.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算5名學(xué)生是從同一個(gè)總體中抽出的4個(gè)區(qū)組,他們在三個(gè)測驗(yàn)上的得分是三組相關(guān)樣本，因此可選用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析對三組測驗(yàn)結(jié)果平均數(shù)差異進(jìn)行檢驗(yàn)。2/6/202354JumpingRabbitStudio5名被試在4種環(huán)境中的測試成績被試測試環(huán)境ΣRIIIIIIIV130281616108214181010643242018189243834202013652628141498ΣX13212878160498ΣX23792344812765376

2/6/202355JumpingRabbitStudio計(jì)算⑴.分解平方和總平方和組間平方和2/6/202356Jum