數(shù)學物理方法第一章

第一篇復變函數(shù)論

TheoryofComplexVariableFunctions第一章復變函數(shù)

ComplexVariableFunctions第一節(jié)復數(shù)與復數(shù)運算第二節(jié)復變函數(shù)第三節(jié)復變函數(shù)的導數(shù)第四節(jié)解析函數(shù)第五節(jié)平面場第一節(jié)復數(shù)與復數(shù)運算一、復數(shù)的基本概念：1、復數(shù)：為虛數(shù)單位，為實數(shù)，稱為復數(shù)的實部與虛部，并記做：形如的數(shù)稱為復數(shù)，其中，2、復平面：z平面復數(shù)z=x+iy虛軸實軸復數(shù)

平面向量模主幅角復數(shù)本身不能比較大小但模可以比較大小點幅角若把作為矢量的直角坐標分量二、復數(shù)的表示：1、代數(shù)表示：

2、三角表示：極坐標下：3、指數(shù)表示：

歐拉（Euler）公式:三、復數(shù)的運算：1、加減運算z1±

z2=(x1±x2)

+i(y1±

y2)交換率結(jié)合律2、乘法運算交換率結(jié)合率分配率兩個復數(shù)相乘，模等于模之積，幅角等于幅角之和復數(shù)加減法滿足平行四邊形法則，或三角形法則3、除法運算兩個復數(shù)相除，模等于模之商，幅角等于幅角之差4、共軛運算復數(shù)z=x+iy的共軛復數(shù)為z*=x-iy共軛復數(shù)為z*是復數(shù)z關(guān)于實軸的對稱點)sin(cosjjri-=5、乘方運算6、開方運算故k取不同值，取不同值，共有n個根7、復數(shù)相等NSzA四、無限遠點模為有限大的復數(shù)模為無限大的復數(shù)復平面上有限遠點復平面上無限遠點測地投影復數(shù)球五、說明1、兩個特殊的復數(shù)模為0，幅角無意義模為無限大，幅角無意義2、復數(shù)z的模的平方復數(shù)z的自乘3、復數(shù)可以用實部和虛部來表示，則對復數(shù)的研究往往歸結(jié)為對一對實數(shù)（即實部和虛部）的研究，關(guān)于實變數(shù)的和、差、積、商的極限的定理，極限存在與否的判據(jù)，都使用于復變數(shù)六、舉例例：求之值例：討論式子在復平面上的意義解：為圓上各點第二節(jié)復變函數(shù)一、復變函數(shù)的定義若在復數(shù)平面（復數(shù)球）上存在一個點集E（復數(shù)集合），對于E的每一個點（每一個z），按照一定的規(guī)律，有一個或多個復數(shù)w與之相對應(yīng)，則稱w為z的函數(shù)----------復變函數(shù)，z稱為w的宗量，定義域為E,記作：二、區(qū)域1、鄰域由確定的平面點集，稱為定點z0的—鄰域2、內(nèi)點定點z0的—鄰域全含于點集E內(nèi)，稱z0為點集E的內(nèi)點3、外點定點z0及其—鄰域不包含于點集E內(nèi)，稱z0為點集E的外點4、邊界點定點z0的—鄰域既有含于E內(nèi)，又有不含于E內(nèi)的點，稱z0為點集E的邊界點。內(nèi)點點外邊界點5、區(qū)域A）全由內(nèi)點組成B）具連通性：點集中任何兩點都可以用一條折線連接，且折線上的點屬于該點集。內(nèi)點邊界點外點6、閉區(qū)域區(qū)域連同它的邊界稱為閉區(qū)域，如表示以原點為圓心半徑為1的閉區(qū)域x

yO7、單連通與復連通區(qū)域單連通區(qū)域：區(qū)域內(nèi)任意閉曲線，其內(nèi)點都屬于該區(qū)域，否則為復連通區(qū)域BB三、復變函數(shù)舉例1、多項式2、有理式3、根式4、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：5、三角函數(shù)6、雙曲函數(shù)7、對數(shù)函數(shù)8、冪函數(shù)性質(zhì)周期性非有界函數(shù)在復數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)的對數(shù)依然有意義四、極限與連續(xù)性復變函數(shù)1、復變函數(shù)的極限設(shè)復變函數(shù)可歸結(jié)為兩個二元實變函數(shù)。在的極限為即2、復變函數(shù)的連續(xù)性在連續(xù)，z在全平面，z-->z0須以任意方式§1.3導數(shù)一、導數(shù)的定義設(shè)函數(shù)w=f(z)

是區(qū)域B上定義的單值函數(shù)，即對B上的每一個z值，有且僅有一個

w值與之相對應(yīng)，若在

B上的某點z,極限存在，并且與的方式無關(guān)，則稱函數(shù)w=f(z)在z點可導此（有限的）極限稱為f(z)在z點的導數(shù)（微商）記作：

f'(z)或df/dz，即二、求導法則復變函數(shù)可導的條件要比實變函數(shù)嚴格的多三、可導的條件：1、必要條件：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域B內(nèi)一點z=x+iy可導，那么有（1）沿平行于實軸的方向趨于零

（2）沿平行于虛軸的方向趨于零即C.R.條件是復變函數(shù)可導的必要條件，但不是可導的充分條件兩者應(yīng)該相等，故有稱為科西--黎曼條件（C.R.條件）2、充分條件：1）u,v在z處滿足C.R.條件

2）u,v在z處有連續(xù)的一階偏微商證明：因為u,v在z處有連續(xù)的一階偏微商，所以u,v

的微分存在此式z無論以什么趨于零都存在，故f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z

點可導充分必要條件設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域B內(nèi)一點z=x+iy可導的充分必要條件是四、導數(shù)的計算公式設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在處處可導，那么五、極坐標下的Cauchy-Riemann條件§1.4解析函數(shù)一、解析函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)w=f(z)在點z0即其鄰域內(nèi)處處可導，則稱函數(shù)f(z)在點z0處解析；又若f(z)在區(qū)域B內(nèi)的每一點解析，則稱f(z)在區(qū)域B內(nèi)是解析函數(shù)。說明：（1）f(z)在z點解析，則必在z點可導，在z點可導，則不一定在z點解析。（2）f(z)在區(qū)域B上解析，則在區(qū)域B上必處處可導，（3）不解析的點稱為函數(shù)的奇點（4）.解析函數(shù)的充分必要條件設(shè)函數(shù)

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B內(nèi)滿足那么f(z)在B內(nèi)解析。二、解析函數(shù)的主要性質(zhì)由C.R.條件前一式對x

求導，后式對y

求導，相加前一式對y求導，后式對x求導，相減u(x,y)和v(x,y)都滿足二維Laplace方程，即他們都是調(diào)和函數(shù)。uv同屬一個復變函數(shù)的實部和虛部，因此又稱為共軛調(diào)和函數(shù)性質(zhì)1、f(z)在區(qū)域B

解析，u(x,y)和v(x,y)為共軛調(diào)和函數(shù)稱為梯度(gradient)矢量二維表示三維表示Laplace

方程表示為：由C.R.條件兩式相乘即：或而u和v的梯度分別是u(x,y)=常數(shù)v(x,y)=常數(shù)的法向向量性質(zhì)2、u(x,y)=常數(shù)與

v(x,y)=常數(shù)曲線正交三、給定實部或虛部，求解析函數(shù)若給定一個二元調(diào)和函數(shù)，可利用C.R.條件，求另一共軛調(diào)和函數(shù)，方法如下：設(shè)已知u(x,y)，求v(x,y)C.R.條件方法一、曲線積分法（全微分的積分與路經(jīng)無關(guān)）方法二、湊全微分顯式法方法三、不定積分法方法一、曲線積分法（全微分的積分與路經(jīng)無關(guān)）方法二、湊全微分顯式法方法三、不定積分法例：已知解析函數(shù)實部u(x,y)=x2-y2,求v(x,y)解：故u為調(diào)和函數(shù)u(x,y)=x2-y2方法一、曲線積分法方法二、湊全微分顯式法u(x,y)=x2-y2方法三、不定積分法x視為參數(shù)有：例：已知解析函數(shù)f(z)實部

求v(x,y)解：化為極坐標求解四、解析函數(shù)的應(yīng)用--平面標量場在物理及工程中常常要研究各種各樣的場，如電磁場、聲場等，這些場均依賴于時間和空間變量。若場與時間無關(guān)，則稱為恒定場，如靜電場、流體中的定常流速等。若所研究的場在空間的某方向上是均勻的，從而只需要研究垂直于該方向的平面上的場，這樣的場稱為平面場。平面向量場并不意味著所有的向量都定義在這個平面上，而是說所有的向量都平行于這個平面，這樣，這個向量場就可用這個平面上的向量來表示就唯一確定了一個復變函數(shù)舉例：平面靜電場考慮定義在xy平面的區(qū)域D內(nèi)的平面靜電場，其場強設(shè)為若再假設(shè)平面場內(nèi)沒有帶電物體，那么該場就是一個無源平面向量場.設(shè)其電勢為U,則由電磁學知道電場是電勢梯度的負值.由于該區(qū)域沒有電荷，則由高斯定理知道，場強滿足即：故勢函數(shù)U是二維調(diào)和函數(shù)．因此可以將U看成是在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的實部或虛部．設(shè)電勢利用C-R條件就可以求出v這樣得出的解析函數(shù)w稱為靜電場的復電勢在平面上兩個方程為相互正交的曲線族

電場用復勢表示

我們可以將電場用復勢表示出來：（1）對于上面的假設(shè)，電勢對應(yīng)于實部 得

所以