數(shù)學(xué)物理方法第一章

第一篇復(fù)變函數(shù)論

TheoryofComplexVariableFunctions第一章復(fù)變函數(shù)

ComplexVariableFunctions第一節(jié)復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算第二節(jié)復(fù)變函數(shù)第三節(jié)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第四節(jié)解析函數(shù)第五節(jié)平面場(chǎng)第一節(jié)復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的基本概念：1、復(fù)數(shù)：為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)，稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，并記做：形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中，2、復(fù)平面：z平面復(fù)數(shù)z=x+iy虛軸實(shí)軸復(fù)數(shù)

平面向量模主幅角復(fù)數(shù)本身不能比較大小但模可以比較大小點(diǎn)幅角若把作為矢量的直角坐標(biāo)分量二、復(fù)數(shù)的表示：1、代數(shù)表示：

2、三角表示：極坐標(biāo)下：3、指數(shù)表示：

歐拉（Euler）公式:三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算：1、加減運(yùn)算z1±

z2=(x1±x2)

+i(y1±

y2)交換率結(jié)合律2、乘法運(yùn)算交換率結(jié)合率分配率兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，模等于模之積，幅角等于幅角之和復(fù)數(shù)加減法滿足平行四邊形法則，或三角形法則3、除法運(yùn)算兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，模等于模之商，幅角等于幅角之差4、共軛運(yùn)算復(fù)數(shù)z=x+iy的共軛復(fù)數(shù)為z*=x-iy共軛復(fù)數(shù)為z*是復(fù)數(shù)z關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn))sin(cosjjri-=5、乘方運(yùn)算6、開方運(yùn)算故k取不同值，取不同值，共有n個(gè)根7、復(fù)數(shù)相等NSzA四、無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)模為有限大的復(fù)數(shù)模為無(wú)限大的復(fù)數(shù)復(fù)平面上有限遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)平面上無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)測(cè)地投影復(fù)數(shù)球五、說(shuō)明1、兩個(gè)特殊的復(fù)數(shù)模為0，幅角無(wú)意義模為無(wú)限大，幅角無(wú)意義2、復(fù)數(shù)z的模的平方復(fù)數(shù)z的自乘3、復(fù)數(shù)可以用實(shí)部和虛部來(lái)表示，則對(duì)復(fù)數(shù)的研究往往歸結(jié)為對(duì)一對(duì)實(shí)數(shù)（即實(shí)部和虛部）的研究，關(guān)于實(shí)變數(shù)的和、差、積、商的極限的定理，極限存在與否的判據(jù)，都使用于復(fù)變數(shù)六、舉例例：求之值例：討論式子在復(fù)平面上的意義解：為圓上各點(diǎn)第二節(jié)復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的定義若在復(fù)數(shù)平面（復(fù)數(shù)球）上存在一個(gè)點(diǎn)集E（復(fù)數(shù)集合），對(duì)于E的每一個(gè)點(diǎn)（每一個(gè)z），按照一定的規(guī)律，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)w與之相對(duì)應(yīng)，則稱w為z的函數(shù)----------復(fù)變函數(shù)，z稱為w的宗量，定義域?yàn)镋,記作：二、區(qū)域1、鄰域由確定的平面點(diǎn)集，稱為定點(diǎn)z0的—鄰域2、內(nèi)點(diǎn)定點(diǎn)z0的—鄰域全含于點(diǎn)集E內(nèi)，稱z0為點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)3、外點(diǎn)定點(diǎn)z0及其—鄰域不包含于點(diǎn)集E內(nèi)，稱z0為點(diǎn)集E的外點(diǎn)4、邊界點(diǎn)定點(diǎn)z0的—鄰域既有含于E內(nèi)，又有不含于E內(nèi)的點(diǎn)，稱z0為點(diǎn)集E的邊界點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)外邊界點(diǎn)5、區(qū)域A）全由內(nèi)點(diǎn)組成B）具連通性：點(diǎn)集中任何兩點(diǎn)都可以用一條折線連接，且折線上的點(diǎn)屬于該點(diǎn)集。內(nèi)點(diǎn)邊界點(diǎn)外點(diǎn)6、閉區(qū)域區(qū)域連同它的邊界稱為閉區(qū)域，如表示以原點(diǎn)為圓心半徑為1的閉區(qū)域x

yO7、單連通與復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域：區(qū)域內(nèi)任意閉曲線，其內(nèi)點(diǎn)都屬于該區(qū)域，否則為復(fù)連通區(qū)域BB三、復(fù)變函數(shù)舉例1、多項(xiàng)式2、有理式3、根式4、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：5、三角函數(shù)6、雙曲函數(shù)7、對(duì)數(shù)函數(shù)8、冪函數(shù)性質(zhì)周期性非有界函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)依然有意義四、極限與連續(xù)性復(fù)變函數(shù)1、復(fù)變函數(shù)的極限設(shè)復(fù)變函數(shù)可歸結(jié)為兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)。在的極限為即2、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性在連續(xù)，z在全平面，z-->z0須以任意方式§1.3導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)w=f(z)

是區(qū)域B上定義的單值函數(shù)，即對(duì)B上的每一個(gè)z值，有且僅有一個(gè)

w值與之相對(duì)應(yīng)，若在

B上的某點(diǎn)z,極限存在，并且與的方式無(wú)關(guān)，則稱函數(shù)w=f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo)此（有限的）極限稱為f(z)在z點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（微商）記作：

f'(z)或df/dz，即二、求導(dǎo)法則復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的條件要比實(shí)變函數(shù)嚴(yán)格的多三、可導(dǎo)的條件：1、必要條件：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域B內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)，那么有（1）沿平行于實(shí)軸的方向趨于零

（2）沿平行于虛軸的方向趨于零即C.R.條件是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是可導(dǎo)的充分條件兩者應(yīng)該相等，故有稱為科西--黎曼條件（C.R.條件）2、充分條件：1）u,v在z處滿足C.R.條件

2）u,v在z處有連續(xù)的一階偏微商證明：因?yàn)閡,v在z處有連續(xù)的一階偏微商，所以u(píng),v

的微分存在此式z無(wú)論以什么趨于零都存在，故f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z

點(diǎn)可導(dǎo)充分必要條件設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域B內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)的充分必要條件是四、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在處處可導(dǎo)，那么五、極坐標(biāo)下的Cauchy-Riemann條件§1.4解析函數(shù)一、解析函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0即其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處解析；又若f(z)在區(qū)域B內(nèi)的每一點(diǎn)解析，則稱f(z)在區(qū)域B內(nèi)是解析函數(shù)。說(shuō)明：（1）f(z)在z點(diǎn)解析，則必在z點(diǎn)可導(dǎo)，在z點(diǎn)可導(dǎo)，則不一定在z點(diǎn)解析。（2）f(z)在區(qū)域B上解析，則在區(qū)域B上必處處可導(dǎo)，（3）不解析的點(diǎn)稱為函數(shù)的奇點(diǎn)（4）.解析函數(shù)的充分必要條件設(shè)函數(shù)

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B內(nèi)滿足那么f(z)在B內(nèi)解析。二、解析函數(shù)的主要性質(zhì)由C.R.條件前一式對(duì)x

求導(dǎo)，后式對(duì)y

求導(dǎo)，相加前一式對(duì)y求導(dǎo)，后式對(duì)x求導(dǎo)，相減u(x,y)和v(x,y)都滿足二維Laplace方程，即他們都是調(diào)和函數(shù)。uv同屬一個(gè)復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部，因此又稱為共軛調(diào)和函數(shù)性質(zhì)1、f(z)在區(qū)域B

解析，u(x,y)和v(x,y)為共軛調(diào)和函數(shù)稱為梯度(gradient)矢量二維表示三維表示Laplace

方程表示為：由C.R.條件兩式相乘即：或而u和v的梯度分別是u(x,y)=常數(shù)v(x,y)=常數(shù)的法向向量性質(zhì)2、u(x,y)=常數(shù)與

v(x,y)=常數(shù)曲線正交三、給定實(shí)部或虛部，求解析函數(shù)若給定一個(gè)二元調(diào)和函數(shù)，可利用C.R.條件，求另一共軛調(diào)和函數(shù)，方法如下：設(shè)已知u(x,y)，求v(x,y)C.R.條件方法一、曲線積分法（全微分的積分與路經(jīng)無(wú)關(guān)）方法二、湊全微分顯式法方法三、不定積分法方法一、曲線積分法（全微分的積分與路經(jīng)無(wú)關(guān)）方法二、湊全微分顯式法方法三、不定積分法例：已知解析函數(shù)實(shí)部u(x,y)=x2-y2,求v(x,y)解：故u為調(diào)和函數(shù)u(x,y)=x2-y2方法一、曲線積分法方法二、湊全微分顯式法u(x,y)=x2-y2方法三、不定積分法x視為參數(shù)有：例：已知解析函數(shù)f(z)實(shí)部

求v(x,y)解：化為極坐標(biāo)求解四、解析函數(shù)的應(yīng)用--平面標(biāo)量場(chǎng)在物理及工程中常常要研究各種各樣的場(chǎng)，如電磁場(chǎng)、聲場(chǎng)等，這些場(chǎng)均依賴于時(shí)間和空間變量。若場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，則稱為恒定場(chǎng)，如靜電場(chǎng)、流體中的定常流速等。若所研究的場(chǎng)在空間的某方向上是均勻的，從而只需要研究垂直于該方向的平面上的場(chǎng)，這樣的場(chǎng)稱為平面場(chǎng)。平面向量場(chǎng)并不意味著所有的向量都定義在這個(gè)平面上，而是說(shuō)所有的向量都平行于這個(gè)平面，這樣，這個(gè)向量場(chǎng)就可用這個(gè)平面上的向量來(lái)表示就唯一確定了一個(gè)復(fù)變函數(shù)舉例：平面靜電場(chǎng)考慮定義在xy平面的區(qū)域D內(nèi)的平面靜電場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng)設(shè)為若再假設(shè)平面場(chǎng)內(nèi)沒(méi)有帶電物體，那么該場(chǎng)就是一個(gè)無(wú)源平面向量場(chǎng).設(shè)其電勢(shì)為U,則由電磁學(xué)知道電場(chǎng)是電勢(shì)梯度的負(fù)值.由于該區(qū)域沒(méi)有電荷，則由高斯定理知道，場(chǎng)強(qiáng)滿足即：故勢(shì)函數(shù)U是二維調(diào)和函數(shù)．因此可以將U看成是在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的實(shí)部或虛部．設(shè)電勢(shì)利用C-R條件就可以求出v這樣得出的解析函數(shù)w稱為靜電場(chǎng)的復(fù)電勢(shì)在平面上兩個(gè)方程為相互正交的曲線族

電場(chǎng)用復(fù)勢(shì)表示

我們可以將電場(chǎng)用復(fù)勢(shì)表示出來(lái)：（1）對(duì)于上面的假設(shè)，電勢(shì)對(duì)應(yīng)于實(shí)部 得

所以