第四章根軌跡法

第四章復域分析法——根軌跡法基本內(nèi)容及要求

1.正確理解開環(huán)零、極點和閉環(huán)零、極點以及主導極點、偶極子等概念。2.正確理解和熟記根軌跡方程(模方程及相角方程)。熟練運用模方程計算根軌跡上任一點的根軌跡增益和開環(huán)增益。3.正確理解根軌跡法則，法則的證明只需一般了解，熟練運用根軌跡法則按步驟繪制反饋系統(tǒng)開環(huán)增益K從零變化到正無窮時的閉環(huán)根軌跡。4.正確理解閉環(huán)零極點分布和階躍響應的定性關(guān)系，初步掌握運用根軌跡分析參數(shù)對響應的影響。能熟練運用主導極點、偶極子等概念，將系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)給出定量估算。根軌跡法：根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，直接由開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點求出閉環(huán)傳遞函數(shù)極點（閉環(huán)特征根）的運動軌跡。

閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標主要由閉環(huán)系統(tǒng)極點在復平面的位置決定，因此，分析或設計系統(tǒng)時確定出閉環(huán)極點位置是十分有意義的。4－1根軌跡的基本概念定義：根軌跡是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某個參數(shù)（如開環(huán)增益K）從零變到無窮時，閉環(huán)特征根在s平面上移動的軌跡。根軌跡的分類：當閉環(huán)系統(tǒng)為正

反饋時，對應的軌跡為零

度根軌跡；而負反饋系統(tǒng)的軌跡為1800

根軌跡。一、根軌跡定義如圖所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：例開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個極點。

沒有零點，開環(huán)增益為K。閉環(huán)特征方程為：閉環(huán)特征根為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

從特征根的表達式中看出每個特征根都隨K的變化而變化。例如，設：K=0K=0.5K=1K=2.5K=+∞

如果把不同K值的閉環(huán)特征根布置在s平面上，并連成線，則可以畫出如圖所示系統(tǒng)的根軌跡。二、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系如圖所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：將前向通道傳遞函數(shù)G(s)表示為：

為前向通道增益，為前向通道根軌跡增益。

式中為反饋通道的根軌跡增益。閉環(huán)傳遞函數(shù):分別為閉環(huán)零、極點。式中：比較開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)可得出以下結(jié)論:閉環(huán)系統(tǒng)零點由前向通道的零點和反饋通道的極點組成；閉環(huán)系統(tǒng)的極點與開環(huán)系統(tǒng)的極點、零點以及開環(huán)根軌跡增益有關(guān)。根軌跡法的任務是在已知開環(huán)零、極點分布的情況下，通過圖解法求出閉環(huán)極點。三、根軌跡方程根軌跡方程

G(s)H(s)=-1

式中G(s)H(s)是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，該式明確表示出開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)極點的關(guān)系。閉環(huán)特征方程

D(s)=1+G(s)H(s)=0

閉環(huán)極點就是閉環(huán)特征方程的解，也稱為特征根。

設開環(huán)傳遞函數(shù)有m個零點，n個極點，并假定n≥m，G(s)H(s)可以寫成：

根軌跡方程為關(guān)于s的復數(shù)方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。相角方程模值方程注意

在實際應用中，用相角方程繪制根軌跡，而模值方程主要用來確定已知根軌跡上某一點的值。

模值方程不但與開環(huán)零、極點有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；而相角方程只與開環(huán)零、極點有關(guān)。

相角方程是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。

根軌跡方程還可以表示為一個向量方程，用模和相角的形式表示：

由此可得到滿足系統(tǒng)特征方程的幅值條件和相值條件為：幅值條件：相角條件：

綜上分析，可以得到如下結(jié)論：⑴繪制根軌跡的幅值條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的大小有關(guān)。即開環(huán)根軌跡增益值的變化會改變系統(tǒng)的閉環(huán)極點在s平面上的位置。⑵繪制根軌跡的相角條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的大小無關(guān)。即在s平面上，所有滿足相角條件點的集合構(gòu)成系統(tǒng)的根軌跡圖。即相角條件是繪制根軌跡的主要依據(jù)。⑶在系統(tǒng)參數(shù)全部確定的情況下，凡能滿足相角條件和幅值條件的s值，就是對應給定參數(shù)的特征根，或系統(tǒng)的閉環(huán)極點。⑷由于相角條件和幅值條件只與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)，因此，已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)便可繪制出根軌跡圖。例4-1它們應滿足相角方程。已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試證明復平面上的點

是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點。

若系統(tǒng)閉環(huán)極點為證明：該系統(tǒng)的開環(huán)極點圖4－4例4－1開/閉環(huán)零、極點分布圖(k=0)以為試驗點，可得：以為試驗點，觀察圖4－4，可得：圖4－4證畢可見，都滿足相角方程，所以，點是閉環(huán)極點。例4－2已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)當變化時其根軌跡如圖4-5所示，求根軌跡上點所對應的K值。解:根據(jù)模值方程求解值模值方程：圖4-5根據(jù)圖4－5可得所以圖4-5上面兩個例子說明如何應用根軌跡方程確定復平面上一點是否是閉環(huán)極點以及確定根軌跡上一點對應的值。根軌跡法可以在已知開環(huán)零、極點時，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時閉環(huán)特征方程所有根在復平面上的分布，即根軌跡。知識回顧根軌跡法的定義：在已知開環(huán)零、極點時，求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時閉環(huán)特征方程所有根在復平面上的分布。根軌跡作用系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能系統(tǒng)的動態(tài)性能4－2繪制根軌跡的基本法則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：當A和kg取不同值時，繪出的根軌跡是什么類型的根軌跡。分以下幾種情況說明：

Kg為常數(shù)，A為變數(shù)時，為參量根軌跡；

A為常數(shù)，kg為變數(shù)時，為常規(guī)根軌跡（包括180度和0度根軌跡）；

kg為變數(shù)，當kg>0時，若A>0，則為180度根軌跡；若A<0，為0度根軌跡。

kg為變數(shù)，當kg<0時，若A>0，則為0度根軌跡；若A<0，為180度根軌跡。繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制普通根軌跡的基本規(guī)則主要有7條：

根軌跡的起點與終點；根軌跡的分支數(shù)；

實軸上的根軌跡；根軌跡的漸近線；

根軌跡的分離點；

根軌跡的起始角和終止角；

根軌跡與虛軸的交點。

以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做普通根軌跡（或一般根軌跡）。

規(guī)則一

根軌跡的起點和終點幅值條件可寫成:當，必須有：

此時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)極點相同(重合)，把開環(huán)極點稱為根軌跡的起點，它對應于開環(huán)根軌跡增益。當時，必須有幅值條件可寫成:

此時,系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)零點相同(重合),把開環(huán)零點稱為根軌跡的終點,它對應于開環(huán)根軌跡增益。

下面分三種情況討淪。

1．當m=n時，即開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)相同時，根軌跡的起點與終點均有確定的值。

2．當m<n時，即開環(huán)零點數(shù)小于開環(huán)極點數(shù)時，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(有限零點)外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠點(無限零點)。

3．當m>n時，即開環(huán)零點數(shù)大于開環(huán)極點數(shù)時，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(有限極點)外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠點(無限極點)。這種情況在實際的物理系統(tǒng)中雖不會出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡中，有可能出現(xiàn)在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中。

規(guī)則二根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性

根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點）在S平面上的分布，根軌跡的分支數(shù)就應等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益(實變量）與復變量s有一一對應的關(guān)系，當由零到無窮大連續(xù)變化時，描述系統(tǒng)特征方程根的復變量s在平面上的變化也是連續(xù)的。因此，根軌跡是n條連續(xù)的曲線。

由于實際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù)，若它的特征方程有復數(shù)根，一定是對稱于實軸的共軛復根；若它的特征方程的根為實數(shù)，則在實軸上。因此，根軌跡總是對稱于實軸的。結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點數(shù)。根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的曲線。

若實軸上某線段右側(cè)的開環(huán)零、極點的個數(shù)之和為奇數(shù)，則該線段是實軸上的根軌跡。例4-3

設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

中、、、、為實極點和實零點，為共軛復數(shù)零、極點，它們在s平面上的分布如下頁圖所示，試分析實軸上的根軌跡與開環(huán)零點和極點的關(guān)系。

規(guī)則三實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡必須滿足繪制根軌跡的相角條件，即：p1p2p3p5p4z1z2z4z3j0開環(huán)零極點分布圖p1p2p3z1z2j0實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡

選擇so作為試驗點。開環(huán)極點到s0點的向量的相角為：開環(huán)零點到s0點的向量的相角為：p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0θ1φ3φ1φ4φ2θ4θ3θ2φ3

實軸上，s0點左側(cè)的開環(huán)極點P3和開環(huán)零點z2構(gòu)成的向量的夾角均為零度，而s0點右側(cè)的開環(huán)極點P1、P2和開環(huán)零點z1構(gòu)成的向量的夾角均為180o。若s0為根軌跡上的點，必滿足：

結(jié)論：只有s0點右側(cè)實軸上的開環(huán)極點和開環(huán)零點的個數(shù)之和為奇數(shù)時，才滿足相角條件。

在確定實軸上的根軌跡上時，不考慮復數(shù)開環(huán)零、極點對相角的影響。p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0θ1φ3φ1φ4φ2θ4θ3θ2φ3規(guī)則四根軌跡漸近線

當開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m時，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠處，這n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線。因此，漸近線也有n-m條，且它們交于實軸上的一點。規(guī)則四根軌跡漸近線

漸近線與實軸的交點位置和與實軸正方向的交角分別為:在例4-1中，開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)極點數(shù)n=2,開環(huán)零點數(shù)m=0,n-m=2,兩條漸近線在實軸上的交點位置為它們與實軸正方向的交角分別和，兩條漸近線正好與時的根軌跡重合。

例4-4

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。解：對于該系統(tǒng)有n=4，m=1，n-m=3；三條漸近線與實軸交點位置為：它們與實軸正方向的交角分別是：

漸近線如圖4-3所示。圖4-3根軌跡的漸近線

當系統(tǒng)開環(huán)增益由零到無窮大變化時，兩條根軌跡先在實軸上相向運動(0≤＜0.5),相遇在點，當＞0.5后，離開實軸進入s平面，且離開實軸時，根軌跡與實軸正交。稱該點為根軌跡的分離點。實際上，點是系統(tǒng)特征方程的等實根。一般，常見的根軌跡分離點是位于實軸上兩條根軌跡分支的分離點。

規(guī)則五根軌跡的分離點

例：分析系統(tǒng)

若根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點之間（其中一個可以是無限極點），則在這兩個極點之間至少存在一個分離點；若根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環(huán)零點之間（其中一個可以是無限零點），則在這兩個零點之間也至少有一個分離點。如圖4-5上的分離點和。分離點也可能以共軛形式成對出現(xiàn)在復平面上，如圖4-6中的分離點A和B。復平面上的分離點表明系統(tǒng)特征方程的根中至少有兩對相等的共軛復根存在。圖4-5實軸上根軌跡的分離點

圖4-6復平面上的分離點

對上式求導可得：

規(guī)則證明！

由上面分析可知，根軌跡的分離點，實質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的等實根（實軸上的分離點）或等共軛復根（復平面上的分離點）。系統(tǒng)的特征方程可寫成：式中，為開環(huán)零點的數(shù)值，為開環(huán)極點的數(shù)值。分離點方程對于一個n階系統(tǒng)，可解得到n-1個根分離點：方程的另一種形式為：當開環(huán)系統(tǒng)無有限零點時，則在中，取。分離點方程即為：。注：只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點。即解得，位于實軸根軌跡上（由0到-2的線段上），故它是實軸上的分離點。對于系統(tǒng)：例4-5

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試求出系統(tǒng)根軌跡與實軸的交點。

由規(guī)則五知，實軸上的根軌跡為-1到-2線段和-3到-∞線段。不在上述兩線段上，應舍去。解：本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點，可得分離點方程為：

即：解出：

是實軸根軌跡上的點，所以是根軌跡在實軸上的分離點。運用前面的六條規(guī)則，可繪制如圖4-7所示的根軌跡圖。圖4-7根軌跡的分離點

規(guī)則六起始角與終止角定義如下：⑴起始角根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處在切線方向與實軸正方向的夾角。參看圖4-8(a)中的和。⑵終止角根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切線方向與實軸正方向的夾角。參看圖4-8(b)中的和。圖4-8(a)根軌跡的起始角圖4-8(b)根軌跡的終止角通過例4-6來分析起始角與終止角的大小。例4-6

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為且p1和p2為一對共軛復數(shù)極點，p3和z1分別為實極點和實零點，它們在s平面上的分布如圖4-9所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點p1和p2的起始角和。由于A點無限靠近P1點，對于根軌跡上無限靠近p1的點A，由相角條件可得：可得：[s]swj1z1p2p3p)(31pp-D)(21pp-D)(11zp-D01pqA圖4-9起始角的求取推廣為一般情況可得求起始角的關(guān)系式為：同理，可得到求終止角的關(guān)系式為：規(guī)則七根軌跡與虛軸的交點

根軌跡與虛軸的交點就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實部為零）。用代入特征方程可得：即：由此可得虛部方程和實部方程為：

的物理含義是使系統(tǒng)由穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）變?yōu)椴环€(wěn)定（或穩(wěn)定）的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。它對如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。

解此方程組可得角頻率，即根軌跡與虛軸的交點的坐標值；用代入實部方程，可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。解：由例4-5知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其虛部方程和實部方程分別為：例4-7

試求出例4-5中根軌跡與虛軸的交點及相應的開環(huán)根軌跡增益的臨界值。

解虛部方程得：由于不是根軌跡上的點，應舍去。故為根軌跡與虛軸的兩個交點。

將其代入實部方程便可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值：

當系統(tǒng)的階次較高時，解特征方程比較困難，可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-10所示。圖4-10根軌跡與虛軸的交點wj[s]1p2p3p-1-2-30)60(3.3=rcKj∞r(nóng)Kds∞r(nóng)K)60(3.3=rcK-j根軌跡繪制法則規(guī)則一

根軌跡的起點和終點規(guī)則二根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性規(guī)則三實軸上的根軌跡規(guī)則四根軌跡漸近線規(guī)則五根軌跡的分離點

規(guī)則六根軌跡的起始角與終止角規(guī)則七根軌跡的與虛軸的交點注意以下幾點規(guī)范畫法：⑴根軌跡的起點（開環(huán)極點)用符號“”標示；根軌跡的終點(開環(huán)零點

)用符號“o”標示。⑵根軌跡由起點到終點是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的增加而運動的，要用箭頭標示根軌跡運動的方向。⑶要標出一些特殊點的值，如起點（)，終點（)；根軌跡在實軸上的分離點d()；與虛軸的交點（）。還有一些要求標出的閉環(huán)極點及其對應的開環(huán)根軌跡增益，也應在根軌跡圖上標出，以便于進行系統(tǒng)的分析與綜合。分離角與會合角補充規(guī)則分離角是指根軌跡離開分離點處的切線與實軸正方向的夾角。分離角計算公式：會合角是指根軌跡進入分離點處的切線與實軸正方向的夾角。會合角計算公式：實軸上雙重極點的兩條根軌跡對實軸的分離角為：實軸上雙重極點的兩條根軌跡對實軸的分離角為：例分離角與會合角不必經(jīng)公式計算，可用以下簡單法則確定：若有條根軌跡進入d點，必有條根軌跡離開d點；

條進入d點的根軌跡與條離開d點的根軌跡相間隔；任一條進入d點的根軌跡與相鄰的離開d點的根軌跡方向之間的夾角為；

只要確定d點附近的一條根軌跡的方向，由上述規(guī)律就可以方便地確定d點附近所有的根軌跡方向，而確定d點附近根軌跡方向的方法可根據(jù)根軌跡的對稱性或取試驗點用相角條件來驗證。wj[s]1p2p3p-1-2-30)60(3.3=rcKj∞r(nóng)Kds∞r(nóng)K)60(3.3=rcK-j任一條進入d點的根軌跡與相鄰的離開d點的根軌跡方向之間的夾角為；

進入分離點d的回合角為00、1800，則從d點離開的根軌跡的分離角度為：根之和與根之積如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式:若，根之和與開環(huán)根軌跡增益無關(guān)；

閉環(huán)特征根的負值之和，等于閉環(huán)特征方程第二項系數(shù)。即：。根之和不變——若增大或減小，則一些根軌跡發(fā)生移動必然有另一些向相反的方向移動。

在開環(huán)極點已確定不變的情況下，其和為常值。因此，n-m2的系統(tǒng)，當增益Ｋ的變動使某些閉環(huán)極點在s平面上向左移動時，則必有另一些極點向右移動，這樣才能保證極點之和為常值。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。閉環(huán)特征根之積乘以，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項。即：開環(huán)根軌跡增益的計算如果系統(tǒng)閉環(huán)根sk確定，則有:解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點形式：繪制根軌跡規(guī)則的應用例4－8：設一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

求時的閉環(huán)根軌跡。法則二，有兩條根軌跡；法則一，兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點0、－2，一條終于有限零點－1，另一條趨于無窮遠處；法則三，在負實軸上，0到－1區(qū)間和－2到負無窮區(qū)間是根軌跡；按繪制根規(guī)跡法則逐步進行：最后繪制出根軌跡如圖所示：例4-9：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試根據(jù)漸近線法則，求出根軌跡的漸近線。極點解：零點按照公式得：以下是幾種常見的根軌跡漸近線對應的開環(huán)傳遞函數(shù)：(a)(b)(c)n=4，有四條根軌跡；

四條條根軌跡分別起始于開環(huán)極點

(-1-j1),(-1+j1)，0，－4；一條終于有限零點－1，另外三條終于無限零點；其中P1到Z1，P2到－為實軸上的根軌跡。

確定漸近線及其與實軸交點試繪制該系統(tǒng)的概略根軌跡根軌跡的起始角和終止角計算

判斷有無分離點或會合點解得：根軌跡與虛軸交點將代入，得到實部方程和虛部方程：（舍去）根軌跡繪制法則規(guī)則一

根軌跡的起點和終點規(guī)則二根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性規(guī)則三實軸上的根軌跡規(guī)則四根軌跡漸近線規(guī)則五根軌跡的分離點

規(guī)則六根軌跡的起始角與終止角規(guī)則七根軌跡的與虛軸的交點例4－10：設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)概略根軌跡。解：將開環(huán)零、極點畫在s平面上，逐步畫圖。極點：零點：n=2，有兩條根軌跡；

兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點

(-1-j2),(-1+j2)；終于開環(huán)零點

(-2-j),(-2+j)

確定起始角,終止角。根軌跡的起始角和終止角計算：離開復平面極點的初始角為:終止于復平面零點的終止角為:作出起始角和終止角：此系統(tǒng)根軌跡如圖所示：例4－11：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點坐標d，并概略繪制出根軌跡圖。解：根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點和零點按步驟：n=2,m=1,有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點和無窮遠零點實軸上根軌跡位于有限零點－1和無窮零點之間，因此判斷有分離點。漸近線（舍去）

求分離點坐標d離開復平面極點的初始角為：

根據(jù)“實軸上的根軌跡”法則可知，－1零點右側(cè)都是根軌跡，因此計算出分離點和漸近線。此系統(tǒng)根軌跡如圖所示：例4－12：設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。解：按步驟畫圖n=4,m=0有4條根軌跡各條根軌跡分別起于開環(huán)極點0，-3，-1+j1,-1-j1；終于無窮遠實軸上的根軌跡在0到-3之間漸近線確定分離點d解方程得：（舍去）確定起始角確定根軌跡與虛軸的交點令代入上式:解得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為:根軌跡:例4-13已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出時的閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡，并求出時的閉環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)極點。解:根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計算：n=4，有四條根軌跡；起始于開環(huán)極點0，-20，-2-j4,-2+j4，終于無窮遠處；實軸上的根軌跡在（0，-20）區(qū)間；n=4,m=0,則有4條根軌跡趨于無窮遠處，計算漸近線與實軸交點和方位角。取:漸近線與實軸的交點和夾角為:根軌跡的起始角。解得

分離點坐標d。舍根軌跡與虛軸交點。系統(tǒng)特征方程：解得則兩個閉環(huán)極點令代入此時特征方程為：可求出另外兩個閉環(huán)極點:根軌跡圖：常見閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖常見閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖4－3利用根軌跡分析系

統(tǒng)的動態(tài)性能頻域分析法：由開環(huán)→閉環(huán)極點的根軌跡求閉環(huán)極點閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能確定閉環(huán)傳函由時域分析法可知:閉環(huán)零極點的分布直接影響系統(tǒng)的性能。一、閉環(huán)零、極點表示的階躍響應表達式Ｎ階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：設輸入為單位階躍：r(t)=1(t),有：假設(s)中無重極點，上式分解為部分分式將C(s)表達式進行拉式反變換得：從上式看出，系統(tǒng)單位階躍響應將由閉環(huán)極點及系數(shù)決定，而系數(shù)也與閉環(huán)零、極點分布有關(guān)。二、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應的定性關(guān)系穩(wěn)定性所有閉環(huán)極點位于s平面的左半部；快速性

閉環(huán)極點遠離虛軸；以一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)為例進行說明（2）二階系統(tǒng)Ts=3T,系統(tǒng)快速性好，要求T小一些，即閉環(huán)極點遠離虛軸。（1）一階系統(tǒng)

系統(tǒng)快速性好，要求閉環(huán)極點遠離虛軸。欠阻尼時，動態(tài)過程盡快消失

小，閉環(huán)極點之間間距大,閉環(huán)零點與閉環(huán)極點間間距小。復數(shù)極點設置在s平面中與負實軸成夾角線附近；平穩(wěn)性三、主導極點和偶極子主導極點：就是對動態(tài)過程影響占主導地位的極點，一般是離虛軸最近的極點。偶極子：就是一對靠得很近的閉環(huán)零、極點?？梢赃m當引入閉環(huán)零點，與閉環(huán)極點構(gòu)成偶極子，抵消對動態(tài)性能影響較大的不利極點。試近似計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。解：這是三階系統(tǒng)，有三個閉環(huán)極點其零、極點分布如圖所示。例4-14：某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為四、利用主導極點估算系統(tǒng)的性能指標

極點s1離虛軸最近，所以系統(tǒng)的主導極點為s1，而其他兩個極點可以忽略。這時系統(tǒng)可以近似看做是一階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)為:式中：T=0.67s一階系統(tǒng)無超調(diào)調(diào)節(jié)時間根據(jù)時域分析可知:例4-15系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)試估計系統(tǒng)的性能指標。解：系統(tǒng)的閉環(huán)零極點為

與構(gòu)成一對偶極子閉環(huán)零、極點分布如圖所示:系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)對應性能指標例4-16

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試應用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計算閉環(huán)主導極點具有阻尼比0.5時的性能指標。解：按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖所示。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性

在平面上畫出時的阻尼線。阻尼線與根軌跡交點的坐標設為，從圖上測得，與之共軛的復數(shù)極點為。

已知系統(tǒng)閉環(huán)特征方程及兩個極點，用根之和求出第三個極點。使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍是:s1、s2為閉環(huán)主導極點。求系統(tǒng)的近似閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的性能指標：五、系統(tǒng)階躍響應的根軌跡分析例4-17

已知一系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示，要求：