第四章一階系統(tǒng)

第四章一階系統(tǒng)4.1概述

一個系統(tǒng)階數(shù)是由此系統(tǒng)包含多少狀態(tài)變量決定的。

一個復雜的高階的系統(tǒng)從結構上可分解成若干的低階子系統(tǒng)。

復雜系統(tǒng)的特性并不等于組成它的簡單子系統(tǒng)的特性之和。

一個復雜系統(tǒng)的行為往往是由某些主回路和某些主要的變量決定的

復雜系統(tǒng)中往往存在一些起主導作用的主回路或主要變量。

4.2一階系統(tǒng)的重要參數(shù)4.2.1指數(shù)增長及其參數(shù)（1）指數(shù)增長方程式

LLEV.K=LEV.J＋DT*（RT.JK）由此式可以改寫為：（LEV.K-LEV.J）/DT=RT.JK脫去DYNAMO的符號，并令DT趨于0，則可得微分方程式：

dLEV(t)/dt=RT(t)

假定RT(t)=CONST*LEV(t)CONST為比例常數(shù)所以

dLEV(t)/dt=CONST*LEV(t)

可解的：

式中：

LEV(t)——狀態(tài)在t時刻的值；

LEV(0)——狀態(tài)的初始值；

CONST——比例常數(shù)；

e——自然對數(shù)基。(2)時間常數(shù)T

時間常數(shù)定義為CONST的倒數(shù)，即T=1/CONST，T具有時間的量綱。

P91時間常數(shù)的物理意義。

時間常數(shù)T決定正反饋系統(tǒng)中的增長或減少的速度。當時間常數(shù)大時（或CONST?。?，相應的LEV（t）為較平緩的增長曲線。反之，LEV（t）為較陡峭的變化曲線。（3）倍增時間Td

倍增時間定義為變量由初始值增至二倍的初始值所需要的時間。

Td=0.69*T

倍增時間約等于70％的時間常數(shù)T。即每經(jīng)過一段時間Td，LEV的值將較前增加一倍。

P92的圖5.2表示了倍增時間常數(shù)與時間常數(shù)的關系。一階負反饋系統(tǒng)的重要參數(shù)(1)方程式的基本形式方程式：

LLEV.K=LEV.J+DT*RT.JK

RRT.KL=CONST*DISC.K

ADISC.K=GL-LEV.K同理解得：（2）時間常數(shù)TP93（3）減半時間常數(shù)（或半衰期）ThTh=0.69T4.3正反饋系統(tǒng)

工資-物價增長系統(tǒng)的應關系圖4.2.1正反饋的一般結構

LLEV.K-LEV.J+DT*RT.JKNLEV=1RRT.KL=CONST*LEV.KCCONST=0.2CDT=1計算步驟如P954.2.2正反饋過程的特征

（1）指數(shù)增長

（2）指數(shù)崩潰（3）超指數(shù)增長P98（4）指數(shù)增長的特點P97t≥15Td之后，狀態(tài)變量的值猛然暴漲。時間變量變量變量0指數(shù)增長和指數(shù)崩潰曲線4.4負反饋系統(tǒng)

負反饋系統(tǒng)是負反饋回路起主導作用的系統(tǒng)。它具有跟隨目標（尋的）的特性。4.4.1負反饋結構的因果與相互關系圖、流圖與方程式

負反饋結構的因果關系圖包含四個基本單元——期望狀態(tài)（目標）、偏差、校正量（速率）、系統(tǒng)狀態(tài)（水平）。方程式：

LLEV.K=LEV.J+DT*RT.JK

NLEV=0

RRT.KL=CONST*DISC.K

CCONST=0.1

ADISC.K=GL-LEV.K

CGL=100式中：

LEV——狀態(tài)（單位）

RT——速率（單位/時間）

CONST——常數(shù)（1/時間）

DISC——偏差（單位）

GL——目標值（單位）4.4.2負反饋系統(tǒng)的特性過渡區(qū)穩(wěn)定區(qū)時間LEV

狀態(tài)

狀態(tài)隨時間變化曲線包括兩個區(qū)段：瞬態(tài)（過渡區(qū)）和穩(wěn)態(tài)（穩(wěn)定區(qū)）兩個部分。

在過渡區(qū)段，LEV值與目標值GL不相等。此時LEV具有尋的與瞬變的特點；在穩(wěn)定區(qū)，LEV值接近或近似地達到目標值，穩(wěn)定不變。RT也最終近似地達到“0”。

4.4.3尋的負反饋系統(tǒng)的行為的三種模式（1）GL>0，LEV≥0，(LEV(0)-GL)<0；（2）GL>0，LEV≥0，(LEV(0)-GL)>0；（3）GL＝0，LEV>0。

模式3如教材P105圖5.25所示

模式3稱為零目標結構。目標值GL為“0”，狀態(tài)值由LEV（0）指數(shù)衰減至“0”。時間GLLEV模式2模式14.5負反饋系統(tǒng)的補償特性

負反饋系統(tǒng)具有當其狀態(tài)變量受外生輸入（或輸出）速率作用時仍力圖使狀態(tài)變量趨于目標值的特性，稱為補償特性。系統(tǒng)的方程式如下：

LLEV.K=LEV.J+DT*(RT2.JK-RT1.JK)

RRT1.KL=CONST*DISC.K

ADISC.K=GL-LEV.K

CGL=100

RRT2=CRT

CCRT=8

NTRT——純速率（單位/時間）

RNTRT.KL=RT1.JK+RT2.JK

X=CONST*DISC.K+CRT

X=CONST*(GL-LEV.K)+CRT

根據(jù)RT1.KL、RT2.KL和NTRT.KL，可繪制系統(tǒng)的速率—狀態(tài)曲線圖：P107下面求新的目標值：假定NTRT=0，則可得：

CRT=-CONST(GL-LEV)

=-CONST*GL+LEV*CONST

LEV=CRT/CONST+GL

LEV=NGL=CRT/CONST+GL

NGL=T*CRT+GL=1/0.1*8+100=180

由此可見，系統(tǒng)新的平衡值較期望的目標值GL增加了T*CRT，即為時間常數(shù)T與不變的輸入速率CRT（或RT2）的乘積。

綜上所述，負反饋系統(tǒng)的補償功能，當系統(tǒng)在附加輸入或輸出速率的情況下，可自動建立起新的平衡，新的平衡值與原期望的目標值不同。其差值與與系統(tǒng)的時間常數(shù)及外生速率有關。

例如：庫存控制系統(tǒng)的負反饋補償特性。P108方程式：

LINV.K=INV.J+DT*(OR.KL－SR.KL)

NINV=DINV

ROR.KL=CONST*DISC.K

CCONST=0.5

ADISC.K=DINV-INV.K

CDINV=200

RSR.K=STEP(20，4)如P108如5.29所示。求新的目標值NGL：方法1：

200×20％＝40GL=DINV=200NGL=200-40=160方法2：

NGL=GL+T*SR=