第四章一階系統(tǒng)

第四章一階系統(tǒng)4.1概述

一個(gè)系統(tǒng)階數(shù)是由此系統(tǒng)包含多少狀態(tài)變量決定的。

一個(gè)復(fù)雜的高階的系統(tǒng)從結(jié)構(gòu)上可分解成若干的低階子系統(tǒng)。

復(fù)雜系統(tǒng)的特性并不等于組成它的簡(jiǎn)單子系統(tǒng)的特性之和。

一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)的行為往往是由某些主回路和某些主要的變量決定的

復(fù)雜系統(tǒng)中往往存在一些起主導(dǎo)作用的主回路或主要變量。

4.2一階系統(tǒng)的重要參數(shù)4.2.1指數(shù)增長(zhǎng)及其參數(shù)（1）指數(shù)增長(zhǎng)方程式

LLEV.K=LEV.J＋DT*（RT.JK）由此式可以改寫(xiě)為：（LEV.K-LEV.J）/DT=RT.JK脫去DYNAMO的符號(hào)，并令DT趨于0，則可得微分方程式：

dLEV(t)/dt=RT(t)

假定RT(t)=CONST*LEV(t)CONST為比例常數(shù)所以

dLEV(t)/dt=CONST*LEV(t)

可解的：

式中：

LEV(t)——狀態(tài)在t時(shí)刻的值；

LEV(0)——狀態(tài)的初始值；

CONST——比例常數(shù)；

e——自然對(duì)數(shù)基。(2)時(shí)間常數(shù)T

時(shí)間常數(shù)定義為CONST的倒數(shù)，即T=1/CONST，T具有時(shí)間的量綱。

P91時(shí)間常數(shù)的物理意義。

時(shí)間常數(shù)T決定正反饋系統(tǒng)中的增長(zhǎng)或減少的速度。當(dāng)時(shí)間常數(shù)大時(shí)（或CONST小），相應(yīng)的LEV（t）為較平緩的增長(zhǎng)曲線(xiàn)。反之，LEV（t）為較陡峭的變化曲線(xiàn)。（3）倍增時(shí)間Td

倍增時(shí)間定義為變量由初始值增至二倍的初始值所需要的時(shí)間。

Td=0.69*T

倍增時(shí)間約等于70％的時(shí)間常數(shù)T。即每經(jīng)過(guò)一段時(shí)間Td，LEV的值將較前增加一倍。

P92的圖5.2表示了倍增時(shí)間常數(shù)與時(shí)間常數(shù)的關(guān)系。一階負(fù)反饋系統(tǒng)的重要參數(shù)(1)方程式的基本形式方程式：

LLEV.K=LEV.J+DT*RT.JK

RRT.KL=CONST*DISC.K

ADISC.K=GL-LEV.K同理解得：（2）時(shí)間常數(shù)TP93（3）減半時(shí)間常數(shù)（或半衰期）ThTh=0.69T4.3正反饋系統(tǒng)

工資-物價(jià)增長(zhǎng)系統(tǒng)的應(yīng)關(guān)系圖4.2.1正反饋的一般結(jié)構(gòu)

LLEV.K-LEV.J+DT*RT.JKNLEV=1RRT.KL=CONST*LEV.KCCONST=0.2CDT=1計(jì)算步驟如P954.2.2正反饋過(guò)程的特征

（1）指數(shù)增長(zhǎng)

（2）指數(shù)崩潰（3）超指數(shù)增長(zhǎng)P98（4）指數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)P97t≥15Td之后，狀態(tài)變量的值猛然暴漲。時(shí)間變量變量變量0指數(shù)增長(zhǎng)和指數(shù)崩潰曲線(xiàn)4.4負(fù)反饋系統(tǒng)

負(fù)反饋系統(tǒng)是負(fù)反饋回路起主導(dǎo)作用的系統(tǒng)。它具有跟隨目標(biāo)（尋的）的特性。4.4.1負(fù)反饋結(jié)構(gòu)的因果與相互關(guān)系圖、流圖與方程式

負(fù)反饋結(jié)構(gòu)的因果關(guān)系圖包含四個(gè)基本單元——期望狀態(tài)（目標(biāo)）、偏差、校正量（速率）、系統(tǒng)狀態(tài)（水平）。方程式：

LLEV.K=LEV.J+DT*RT.JK

NLEV=0

RRT.KL=CONST*DISC.K

CCONST=0.1

ADISC.K=GL-LEV.K

CGL=100式中：

LEV——狀態(tài)（單位）

RT——速率（單位/時(shí)間）

CONST——常數(shù)（1/時(shí)間）

DISC——偏差（單位）

GL——目標(biāo)值（單位）4.4.2負(fù)反饋系統(tǒng)的特性過(guò)渡區(qū)穩(wěn)定區(qū)時(shí)間LEV

狀態(tài)

狀態(tài)隨時(shí)間變化曲線(xiàn)包括兩個(gè)區(qū)段：瞬態(tài)（過(guò)渡區(qū)）和穩(wěn)態(tài)（穩(wěn)定區(qū)）兩個(gè)部分。

在過(guò)渡區(qū)段，LEV值與目標(biāo)值GL不相等。此時(shí)LEV具有尋的與瞬變的特點(diǎn)；在穩(wěn)定區(qū)，LEV值接近或近似地達(dá)到目標(biāo)值，穩(wěn)定不變。RT也最終近似地達(dá)到“0”。

4.4.3尋的負(fù)反饋系統(tǒng)的行為的三種模式（1）GL>0，LEV≥0，(LEV(0)-GL)<0；（2）GL>0，LEV≥0，(LEV(0)-GL)>0；（3）GL＝0，LEV>0。

模式3如教材P105圖5.25所示

模式3稱(chēng)為零目標(biāo)結(jié)構(gòu)。目標(biāo)值GL為“0”，狀態(tài)值由LEV（0）指數(shù)衰減至“0”。時(shí)間GLLEV模式2模式14.5負(fù)反饋系統(tǒng)的補(bǔ)償特性

負(fù)反饋系統(tǒng)具有當(dāng)其狀態(tài)變量受外生輸入（或輸出）速率作用時(shí)仍力圖使?fàn)顟B(tài)變量趨于目標(biāo)值的特性，稱(chēng)為補(bǔ)償特性。系統(tǒng)的方程式如下：

LLEV.K=LEV.J+DT*(RT2.JK-RT1.JK)

RRT1.KL=CONST*DISC.K

ADISC.K=GL-LEV.K

CGL=100

RRT2=CRT

CCRT=8

NTRT——純速率（單位/時(shí)間）

RNTRT.KL=RT1.JK+RT2.JK

X=CONST*DISC.K+CRT

X=CONST*(GL-LEV.K)+CRT

根據(jù)RT1.KL、RT2.KL和NTRT.KL，可繪制系統(tǒng)的速率—狀態(tài)曲線(xiàn)圖：P107下面求新的目標(biāo)值：假定NTRT=0，則可得：

CRT=-CONST(GL-LEV)

=-CONST*GL+LEV*CONST

LEV=CRT/CONST+GL

LEV=NGL=CRT/CONST+GL

NGL=T*CRT+GL=1/0.1*8+100=180

由此可見(jiàn)，系統(tǒng)新的平衡值較期望的目標(biāo)值GL增加了T*CRT，即為時(shí)間常數(shù)T與不變的輸入速率CRT（或RT2）的乘積。

綜上所述，負(fù)反饋系統(tǒng)的補(bǔ)償功能，當(dāng)系統(tǒng)在附加輸入或輸出速率的情況下，可自動(dòng)建立起新的平衡，新的平衡值與原期望的目標(biāo)值不同。其差值與與系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)及外生速率有關(guān)。

例如：庫(kù)存控制系統(tǒng)的負(fù)反饋補(bǔ)償特性。P108方程式：

LINV.K=INV.J+DT*(OR.KL－SR.KL)

NINV=DINV

ROR.KL=CONST*DISC.K

CCONST=0.5

ADISC.K=DINV-INV.K

CDINV=200

RSR.K=STEP(20，4)如P108如5.29所示。求新的目標(biāo)值NGL：方法1：

200×20％＝40GL=DINV=200NGL=200-40=160方法2：

NGL=GL+T*SR=