金融工程 第四章 股票期權的性質(zhì)1-7節(jié)

第10章股票期權的性質(zhì)金融工程

主要內(nèi)容：

1、討論影響股票期權價格的一些因素。

2、通過套利理論探討歐式期權價格、美式期權價格和標的資產(chǎn)價格之間的關系。

3、討論美式期權是否應該提前執(zhí)行。22023/2/6股票期權的性質(zhì)本章結(jié)構(gòu)10.1影響期權價格的因素10.2假設和符號10.3期權價格的上下限10.4看跌期權與看漲期權之間的平價關系10.5提前執(zhí)行：不付股利股票的看漲期權10.6提前執(zhí)行：不付股利股票的看跌期權10.7紅利的影響32023/2/6股票期權的性質(zhì)

10.1影響期權價格的因素有6種因素影響股票期權的價格：1、當前股票價格，S02、執(zhí)行價格，K3、期權期限，T4、股票價格的波動率，5、無風險利率，r6、期權期限內(nèi)預期發(fā)放的股息。

42023/2/6股票期權的性質(zhì)Table10.1一個變量增加而其他變量保持不變時對于股票期權價格的影響(page153)5++–+++++–歐式看漲期權價格c歐式看跌期權價格p美式看漲期權價格C美式看跌期權價格PVariable當前股票價格S0執(zhí)行價格K期限T波動率無風險利率r股息D+??+++––––+–+–++代表變量增加，期權價格增加；–代表變量增加，期權價格減少；？代表變量增加，期權價格變化不定2023/2/6股票期權的性質(zhì)10.1.1股票價格及執(zhí)行價格

如果看漲期權在將來某一時刻行駛，期權收益為股票價格與執(zhí)行價格的差額S-K。因此隨著股票價格的上升，看漲期權的價格也會增大；而隨著執(zhí)行價格的上升，看漲期權價格將會減小?？吹跈嗟氖找娴扔趫?zhí)行價格與股票價格的差額K-S。因此，看跌期權的價格走向剛好和看漲期權相反：隨著股票價格的上升，看跌期權的價格會減??；而隨著執(zhí)行價格的上升，看跌期權價格將會增大。62023/2/6股票期權的性質(zhì)7

股票價格——歐式期權價格看漲期權看跌期權2023/2/6股票期權的性質(zhì)8

執(zhí)行價格——歐式期權價格2023/2/6股票期權的性質(zhì)10.1.2期權期限

當期限增加時，美式看漲期權和看跌期權的價值都會增加?？紤]兩個美式看漲期權，這兩個期權只是期限不同。期限較短的期權在行駛時，較長期限的期權也可以被行駛。因此，長期限期權的價格大于或等于短期限期權的價格（執(zhí)行機會和獲利機會）。注意：隨著期限的增加，歐式看跌期權和看漲期權的價值會增加，但并不總是這樣。

例如：有基于同一股票的兩個歐式看漲期權，一個到期期限為1個月；另一個到期期限為2個月，假定預計在6周后支付大量的紅利，紅利會使股票價格下降。這就有可能使有短期限期權價格超過長期限期權價格。92023/2/6股票期權的性質(zhì)10

到期期限——歐式期權價格2023/2/6股票期權的性質(zhì)10.1.3波動率股票價格的波動率（volatility）衡量未來股票價格變動的不定性的一個測度。

當波動率增大時，股票價格上升很多或下降很多的機會將會增大。對于股票持有者而言，這兩個變動常常會相互抵消。但對于期權的持有者而言，情況會有所不同。看漲期權的持有者從股價上升中獲利，但當股價下跌時，期權持有者的最大損失就是期權費，這個損失是有限的。與此類似，看跌期權持有者可以從股價下跌中獲利，損失也是有限的。因此，隨著波動率的增加，看漲期權和看跌期權的價值都會增加。112023/2/6股票期權的性質(zhì)12

波動率——歐式期權價格2023/2/6股票期權的性質(zhì)1310.1.4無風險利率

當整個經(jīng)濟中的利率增加時，投資者所要求的股票預期收益也會增加，期權持有者收到的未來現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值將降低。這兩種效應的合成效應是：看漲期權的價值增加，看跌期權的價值減少。無風險利率的變化對期權價格的變化可用下圖表示：2023/2/6股票期權的性質(zhì)注意：在討論無風險利率時，我們假定了利率變化時，股票的價格保持不變。但現(xiàn)實中，當利率上升（或下降）時，股票價格也將下降（或上升）?？紤]利率變化和隨之而來的股價降低的凈效應，看漲期權的價值可能減少而看跌期權的價值可能增加，反之亦然。以上各圖描述了當S0=50，K=50，r=5%,T=1年，σ=20%，不支付紅利的情況下，歐式看漲期權與看跌期權價格與前5種因素之間的關系，在這種情況下，看漲期權的價格為7.116，看跌期權的價格為4.667。142023/2/6股票期權的性質(zhì)10.1.5將來的股息數(shù)量

股息將使股票在除息日的價格降低。對于看漲期權來說這是一個壞消息，而對于看跌期權來說則是一個好消息。因此，看漲期權價值與預期股息的大小成反向關系，而看跌期權的價值與預期股息的大小成正向關系。152023/2/6股票期權的性質(zhì)16

以上各小節(jié)所揭示的各個因素與期權價格的關系可用表10.1（p153）表示。即：2023/2/6股票期權的性質(zhì)10.2假設及符號

假定市場上存在一些大投資銀行這樣的參與者，從而使下面的假設成立：

1、沒有交易費用。

2、所有交易盈利（減去交易損失）的稅率相同。

3、投資者可以按無風險利率借入和貸出資金。同時，我們可以假定市場中不存在套利機會。172023/2/6股票期權的性質(zhì)符號定義：

S0：股票的當前價格；

K：期權的執(zhí)行價格；T：期權的期限；

ST：T時刻股票的價格；

r：在T時刻到期的無風險投資收益率，即無風險利率（連續(xù)復利）；

C：買入一股股票的美式看漲期權的價格；

P：出售一股股票的美式看跌期權的價格；

c：買入一股股票的歐式看漲期權的價格；

p：出售一股股票的歐式看跌期權的價格；182023/2/6股票期權的性質(zhì)10.3期權價格的上限與下限10.3.1期權價格的上限

【1】美式看漲期權或歐式看漲期權的持有者，有權以某一確定的價格購買一股股票。在任何情況下，期權的價值都不會超過股票的價值。因此，股票價格是期權價格的上限：

套利機會出現(xiàn)在上等式不成立的時候，此時套利者可以購買股票并賣出看漲期權來獲取無風險盈利。192023/2/6股票期權的性質(zhì)【2】美式看跌期權或歐式看跌期權的持有者，有權以K的價格賣出一股股票。無論股票價格變得多么低，期權的價值都不會超過K。因此，

【3】對于歐式期權來說，在T時刻，期權的價值不會超過K，因此，當前期權的價值不會超過K的現(xiàn)值：

套利機會出現(xiàn)在上式不成立時，此時套利者可以出售期權并將所得收入以無風險利率進行投資，獲得無風險收益。202023/2/6股票期權的性質(zhì)10.3.2無股息股票的看漲期權的下限21不付股利的歐式看漲期權的下限：

例：假定

考慮歐式看漲期權的價格等于c=$3,即小于理論上的最小值$3.71。套利者可以賣空股票并買入看漲期權。則現(xiàn)金流為$20-$3=$17。如果$17以無風險利率10%投資1年，則一年后變?yōu)?18.79。在這一年的年末，期權到期：

2023/2/6股票期權的性質(zhì)（1）如果股票價格高于$18，套利者以$18的價格執(zhí)行期權，并將股票的空頭平倉，則可獲利$18.79-$18=$0.79。

（2）如果股票價格低于$18，則套利者不執(zhí)行期權，并從市場上買入股票將股票空頭平倉，這時，套利者盈利更多。例如，如果股票價格為$17，則套利者的盈利為$18.79-$17=$1.79222023/2/6股票期權的性質(zhì)23正式證明：組合A：一個歐式看漲期權加上金額為

Ke-rT

的現(xiàn)金（c+

Ke-rT

）組合B：一股股票（

S0

）在組合A中，現(xiàn)金如果按無風險利率投資，則在T時刻變?yōu)镵。如果ST＞K，在T時刻應執(zhí)行看漲期權，則在組合A中的價值ST-K+K=ST。如果ST＜

K，在T時刻不執(zhí)行看漲期權，則在組合A中的價值為K。所以，在T時刻，組合A的價值為max（ST,K）在T時刻，組合B的價值為ST。因此，在T時刻，組合A的價值通常不低于組合B的價值，即V(A)≥V(B)。根據(jù)無套利原理，

c+

Ke-rT≥S0

(當前時刻)即c≥S0

-

Ke-rT

對于一個看漲期權來說，可能發(fā)生的最壞情況是期權到期時價值為零，這意味著期權的價值必須為正值，即c≥0，因此有

c≥max(S0

-

Ke-rT

,0)2023/2/6股票期權的性質(zhì)10.3.3無股息股票的歐式看跌期權下限

不付股利的歐式看跌期權的下限：Ke-rT

-S0

例：假定

考慮歐式看跌期權的價格p等于$1,即小于理論上的最小值$2.01。套利者可以借入$(37+1)=38，期限6個月，同時用所借資金購買看跌期權和股票。在6個月末，套利者將支付38e0.05×0.5=$38.96。242023/2/6股票期權的性質(zhì)10.3.3不付股利的歐式看跌期權的下限

（1）如果股票價格低于$40，套利者執(zhí)行期權以$40的價格賣出股票，歸還所借款項本金和利息，則可獲利$40-$38.96=$1.04。

（2）如果股票價格高于$40，則套利者不執(zhí)行期權，在市場中賣出股票并歸還所借款項本金和利息，這時，套利者可獲得更高的利潤。例如，如果股票價格為$42，則套利者的盈利為$42-$38.96=$3.04。252023/2/6股票期權的性質(zhì)26組合C：一個歐式看跌期權加上一股股票（

p+S0

）組合D：金額為

Ke-rT

的現(xiàn)金（

Ke-rT

）

【1】在組合C中：如果ST＜K，在T時刻應執(zhí)行看跌期權，則在組合C中的價值為K–ST+ST=

K。如果ST

＞K，在T時刻看跌期權的價值為零，則在組合C中的價值為持有股票的價值ST

。所以，在T時刻，組合C的價值為max（ST,K）

【2】在組合D中：現(xiàn)金如果按無風險利率投資，則在T時刻的價值變?yōu)楝F(xiàn)金K。因此，在T時刻，組合C的價值通常不低于T時刻組合D的價值，即V(C)≥V(D)。*根據(jù)無套利原理，有p+

S0≥Ke-rT

(當前時刻)

,即p≥Ke-rT

-

S0?！?】由于對于一個看跌期權來說，可能發(fā)生的最壞情況是期權到期時價值為零，這意味著期權的價值必須為正值，因此有正式證明：p≥max(Ke-rT

-S0

,0)2023/2/6股票期權的性質(zhì)2710.4看跌--看漲平價關系我們考慮如下兩個組合：組合A：一個歐式看漲期權加上金額為

Ke-rT

的現(xiàn)金（c+

Ke-rT）組合C：一個歐式看跌期權加上一股股票（p+S0）在期權到期時，兩個組合的價值均為：

max（ST,K）由于是歐式期權，所以有如下等式成立。

c+

Ke-rT

=

p+S0

（10.6）

這就是歐式看漲期權價格和看跌期權價格之間的平價關系（put-callparity）。它表明具有某個執(zhí)行價格和到期日的歐式看漲期權的價值，可根據(jù)相同執(zhí)行價格和到期日的歐式看跌期權的價值推導出來，反之亦然。10.4.1基于不支付紅利影響的歐式期權2023/2/6股票期權的性質(zhì)表10-2組合A、C在T時刻的價值28ST>KST<K組合A看漲期權ST?K0零息債券KK總和STK組合C看跌期權0K?ST股票STST總和STK2023/2/6股票期權的性質(zhì)如果等式（10.6）不成立，則存在套利機會。(1)c+Ke-rt＜p+S0

假定股票價格S0=$31,執(zhí)行價格K=$30。無風險年利率r=10%，3個月期的歐式看漲期權價格為c=$3，3個月期的歐式看跌期權的價格p=$2.25。

組合A：c+Ke-rt=$3+$30e-0.1x3/12=$32.26

組合C：p+S0=$2.25+$31=$33.25

相對于組合A來說，組合C被高估了。正確的套利策略是買入組合A中的證券并賣空組合C中的證券。這一策略將會產(chǎn)生如下正的現(xiàn)金流：

-$3+$2.25+$31=$30.25

將這筆現(xiàn)金流按無風險利率進行投資時，在3個月后，這個現(xiàn)金流增加為：$30.25e0.1x0.25=$31.02

如果在期權到期日股票的價格高于$30，將執(zhí)行看漲期權。如果股價低于$30，看跌期權的空頭將被執(zhí)行。在任何一種情況下，投資者均按$30購買一股股票。該股票可用來平倉原空頭股票。因此凈利為：$31.02-$30.00=$1.02292023/2/6股票期權的性質(zhì)(2)c+Ke-rt＞p+S0

假定股票價格S0=$31,執(zhí)行價格K=$30。無風險年利率r=10%，3個月期的歐式看漲期權價格為c=$3，3個月期的歐式看跌期權的價格p=$1。

組合A：c+Ke-rt=$3+$30e-0.1x3/12=$32.26

組合C：p+S0=$1+$31=$32.00

相對于組合C來說，組合A被高估了。正確的套利策略是買入組合C中的證券并賣空組合A中的證券。這一策略的初始投資為：$31+$1-$3=$29以無風險利率借入資金時，3個月后須償付$29e0.1x0.25=$29.73，

此時無論是執(zhí)行看漲期權還是看跌期權都將會使股票以$30.00的價格售出,因此凈利為：$30.00-$29.73=$0.27

書中表10-3（p159）總結(jié)了這兩種情況，同時在業(yè)界案例10.1中說明了公司的債權人和股東可以利用期權和該平價關系分析他們的頭寸情況。302023/2/6股票期權的性質(zhì)312023/2/6股票期權的性質(zhì)10.4.2基于不受紅利影響的美式期權322023/2/6股票期權的性質(zhì)

看漲與看跌期權之間的平價關系僅適用于歐式期權。但也可以推導出不付紅利股票的美式期權之間的某種關系。即:

（10.7）

例10-3（p160）10.5提前行使期權：無股息股票的看漲期權

觀點：提前行使無股息股票的美式看漲期權是不明智的。

舉例：考慮一個不付股息股票的美式看漲期權，距到期日還有一個月，股票價格為$70，執(zhí)行價格為$40。期權的實值程度很大，期權的持有者可能很想馬上行使期權。然而，如果投資者計劃持有該股票超過一個月，那么提前執(zhí)行就不是最優(yōu)的策略。更好的方案是持有期權，并在期權的到期日執(zhí)行它。332023/2/6股票期權的性質(zhì)

原因：

①投資者可獲得本金為$40、期限為一個月的利息。

②股票價格在這一個月內(nèi)還有可能（無論可能性多小）會低于$40。結(jié)論：如果投資者計劃在期權的有效期內(nèi)持有股票（在本例中為一個月）,則提前執(zhí)行期權沒有好處。

如果投資者認為股票現(xiàn)在被高估，是否應該執(zhí)行期權并賣出股票呢？在這種情況下，投資者最好是出售該期權而不是執(zhí)行它。那些想持有股票的投資者將會購買該期權。這類投資者是一定存在的。否則股票的現(xiàn)價就不會是$70。由于上述提到的原因，收取的期權費將大于期權的$30的內(nèi)在價值。342023/2/6股票期權的性質(zhì)

為了得出一般結(jié)論，我們用等式（10.4）

由于美式看漲期權的持有者包含有相應的歐式看漲期權的所有執(zhí)行機會，因此C≥c，因此由于r>0，所以。在到期之前，期權價格C總是大于其內(nèi)在價值。（如果提前執(zhí)行是最優(yōu)的，那么C應該等于S0-K）。所以我們的結(jié)論是：提前執(zhí)行是不最優(yōu)的。

352023/2/6股票期權的性質(zhì)無股息股票的看漲期權上下限2023/2/6股票期權的性質(zhì)36沒有股息時美式看漲期權不會被執(zhí)行，因此C=cBoundsforEuropeanorAmericanCallOptions(NoDividends)372023/2/6股票期權的性質(zhì)38

關于看漲期權價格隨股價S0變化的一般情形可用書中圖10.4（p161）表示。該圖表明了看漲期權的價值總是高于其內(nèi)在價值，即高于max（S0-K,0）。隨著r、T或波動率的增加，看漲期權的價格按箭頭所示方向變動。2023/2/6股票期權的性質(zhì)總結(jié)：

美式看漲期權不應該提前執(zhí)行的原因之一是由于期權提供了保險。另一個原因是貨幣時間價值有關。從持有者的角度來看，支付執(zhí)行價格越晚越好。392023/2/6股票期權的性質(zhì)10.6提前執(zhí)行：不付股利股票的看跌期權

觀點：提前行使無股息股票的看跌期權可能是最優(yōu)的。

舉例：假定執(zhí)行價格為$10，而股票價格接近0。通過立即執(zhí)行期權，投資者可以立即獲利$10。如果投資者選擇等待，則執(zhí)行期權的盈利可能低于$10,但是由于股票價格不可能為負值，所以盈利不會超過$10。另外，現(xiàn)在收到$10比將來收到$10要好。這說明該期權應立即執(zhí)行。402023/2/6股票期權的性質(zhì)為了得出更一般的結(jié)論，回憶公式（10.5）對于價格為P的無股息股票的美式看跌期權來說，由于可以立即執(zhí)行，因此更為嚴格的條件是：無股息股票的美式看跌期權的上下限為412023/2/6股票期權的性質(zhì)BoundsforEuropeanandAmericanPutOptions(NoDividends)42S0S02023/2/6股票期權的性質(zhì)43

美式看跌期權的價格隨著S0的變化關系可用書中圖10.6（p162）表示，在r>0的條件下，當股票的價格足夠低時，立即執(zhí)行美式看跌期權是非常明智的。并且當S0很小時，代表看跌期權價值的曲線與看跌期權的內(nèi)在價值K-S0重合在一起。在圖10.6中，這個很小的股票價值S0如A點所示。當r減少、波動率增加、T增加時，看跌期權的價值按箭頭所示的方向變化。2023/2/6股票期權的性質(zhì)44

在某些情況下，提前執(zhí)行美式看跌期權是最優(yōu)的，因此，美式看跌期權的價值通常高于相應的歐式看跌期權的價值。由于美式期權的價值有時等于其內(nèi)在價值（圖10.6），因此歐式看跌期權的價值有時低于其內(nèi)在價值。圖9.5顯示了歐式看跌期權的價格隨股票價格的變化。（注意：10.7圖中的B點，在B點上期權的價格等于期內(nèi)在