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文檔簡介
中南大學開放式精品示范課堂高等數(shù)學建設組第1章函數(shù)與極限高等數(shù)學A1.1函數(shù)及其性質
1.1.1映射1.1.2函數(shù)的概念1.1.3函數(shù)的特性1.1.4函數(shù)的運算1.1.5函數(shù)的四則運算1.1.6初等函數(shù)
1.1函數(shù)及其性質1.1.2函數(shù)的概念1.1.1映射定義單射、滿射、一一映射、可數(shù)集,算子、泛函、變換、函數(shù)逆映射與復合映射函數(shù)定義函數(shù)定義域和函數(shù)圖形表示函數(shù)關系式的方法及分段函數(shù)1.1.6初等函數(shù)1.1.5函數(shù)的四則運算復合函數(shù)1.1.3函數(shù)的特性函數(shù)的單調性函數(shù)的有界性函數(shù)的奇偶性函數(shù)的周期性1.1.4函數(shù)的運算反函數(shù)基本初等函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)及其性質習例1-7函數(shù)及其性質1.函數(shù)的定義一、函數(shù)的概念設D是實數(shù)集,稱映射為定義在D上的函數(shù),
通常簡記為因變量自變量數(shù)集D叫做函數(shù)f的定義域,記作,即可見,函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射,其值域總在內(nèi),因此構成函數(shù)的要素是:定義域與對應法則單值函數(shù)與多值函數(shù)如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時,對應的函數(shù)值總是只有一個,這種函數(shù)叫做單值函數(shù);否則叫做多值函數(shù).只有一個自變量的函數(shù),稱為一元函數(shù).故若兩個函數(shù)的定義域相同,對應法則也相同,則這兩個函數(shù)就是相同的,否則就是不同的.
表示函數(shù)的記號是可以任意選取的,除了常用的外,還可以用其他的英文字母或希臘字母,比如“、
、”等,相應的函數(shù)可記為f判斷函數(shù)f與g是否是同一函數(shù)?(2)自然定義域.理論研究中,對應法則是用數(shù)學公式表示的函數(shù),這種函數(shù)的定義域是使數(shù)學公式有意義的自變量的所有值構成的實數(shù)集.即當函數(shù)由公式(表達式)給出時,使公式有意義的自變量的取值范圍就是函數(shù)的定義域.如:分式的分母不為0;(3)定義域的表示法:不等式法,集合法,區(qū)間法,敘述法與圖示法.2.函數(shù)定義域的確定(1)由實際問題決定.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.鄰域:例
求函數(shù)的定義域解:所以函數(shù)的定義域為(1,2].3.函數(shù)的圖形4.分段函數(shù)對于自變量的不同值(或在不同區(qū)間上),函數(shù)的表達式不同,這種函數(shù)稱為分段函數(shù).(1)絕對值函數(shù)(2)符號函數(shù)11xyo(3)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過x的最大整數(shù)
12345-2-4-4-3-2-1
4321-1-3xyo(4)Dirichlet(狄利克雷)函數(shù)有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(5)取最值函數(shù)yxoyxo(6)整標函數(shù)以自然數(shù)為自變量的函數(shù):圖形為一些離散的點構成.二、函數(shù)的特性1.函數(shù)的單調性則稱f(x)在I上嚴格單調上升或嚴格單調遞增(嚴格單調下降或嚴格單調遞減).則稱f(x)在I上單調上升或單調遞增(單調下降或單調遞減).單增和單減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù),I稱為單調區(qū)間.由有限個單調函數(shù)組成的函數(shù),稱為分段單調函數(shù).如2.函數(shù)的有界性通常函數(shù)的有界性與區(qū)間有關,3.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)圖形關于y軸對稱yxox-x奇函數(shù)圖形關于原點對稱yxox-x注意:(1)若f(x)的定義域關于原點不對稱,則f(x)一定不是奇函數(shù)或偶函數(shù).即f(x)可表示為一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和.
(3)奇偶函數(shù)的性質偶函數(shù)的和與差仍是偶函數(shù),奇函數(shù)的和與差仍是奇函數(shù);兩個奇(或偶)函數(shù)的商是偶函數(shù);奇函數(shù)與偶函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù);有限個偶函數(shù)的積仍是偶函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的積是偶函數(shù).4.函數(shù)的周期性任一周期函數(shù)都有無窮多個周期.若在無窮多個周期中,存在一個最小的正數(shù),則這個正數(shù)稱為最小正周期,簡稱周期.并非所有周期函數(shù)都有最小正周期,如Dirichlet函數(shù)容易驗證這是一個周期函數(shù),任何正有理數(shù)都是它的周期,因為不存在最小的正有理數(shù),所以Dirichlet函數(shù)沒有最小正周期.三、函數(shù)的運算1.反函數(shù)
定義:注意:(1)反函數(shù)的定義域和值域恰好是原來函數(shù)的值域和定義域.DWWD設函數(shù)是單射,則它存在逆映射,稱此映射為函數(shù)的反函數(shù).亦即(2)直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關于y=x對稱.反函數(shù)的求法:(1)一般先從方程y=f(x)中解出x,然后再將所得結果中的
x與y互換位置即可;(2)對分段函數(shù),只要分段求出反函數(shù)便得.(3)反函數(shù)的對應法則是完全由原函數(shù)的對應法則所確定.2.復合函數(shù)
定義:注意:(2)復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構成.即不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的.
復合函數(shù)的求法:(1)對于非分段函數(shù)常用直接代入的方法;(2)對于分段函數(shù)常用討論的方法.
四、函數(shù)的四則運算
函數(shù)的四則運算
這四種運算稱為函數(shù)的四則運算.設函數(shù)的定義域分別為,則可以定義這兩個函數(shù)的下列運算:和差積商五、初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)(1)常數(shù)函數(shù)(2)冪函數(shù)(3)指數(shù)函數(shù)(4)對數(shù)函數(shù)(5)三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)(6)反三角函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).基本初等函數(shù)2.初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).并非所有的函數(shù)都是初等函數(shù),分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).但也有例外!3.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)------都是初等函數(shù).六、函數(shù)及其性質——舉例
解:解:由此可求得x的取值范圍,即為定義域.解:易知該函數(shù)的定義域為:解:解:因為所以證明:兩式聯(lián)立可求得,證明:
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