高中數(shù)學(xué)人教A版3第三章統(tǒng)計案例 第三章章末復(fù)習(xí)

章末復(fù)習(xí)一、兩個基本思想1．回歸分析的基本思想回歸分析包括線性回歸分析和非線性回歸分析兩種，而非線性回歸分析往往可以通過變量代換轉(zhuǎn)化為線性回歸分析，因此，回歸分析的思想主要是指線性回歸分析的思想．注意理解以下幾點：(1)確定線性相關(guān)關(guān)系線性相關(guān)關(guān)系有兩層含義：一是具有相關(guān)關(guān)系，如廣告費用與銷售量的關(guān)系等在一定條件下具有相關(guān)關(guān)系，而氣球的體積與半徑的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，而不是相關(guān)關(guān)系；二是具有線性相關(guān)關(guān)系．判斷是否線性相關(guān)的依據(jù)是觀察樣本點的散點圖．(2)引起預(yù)報誤差的因素對于線性回歸模型y＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))＋e，引起預(yù)報變量y的誤差的因素有兩個：一個是解釋變量x，另一個是隨機誤差e.(3)回歸方程的預(yù)報精度判斷回歸方程的預(yù)報精度是通過計算殘差平方和來進行的，殘差平方和越小，方程的預(yù)報精度越高．簡單來說，線性回歸分析就是通過建立回歸直線方程對變量進行預(yù)報，用回歸方程預(yù)報時，需對函數(shù)值明確理解，它表示當x取值時，真實值在函數(shù)值附近或平均值在函數(shù)值附近，不能認為就是真實值．(4)回歸模型的擬合效果判斷回歸模型的擬合效果的過程也叫殘差分析，殘差分析的方法有兩種，一是通過殘差圖直觀判斷，二是通過計算相關(guān)指數(shù)R2的大小判斷．2．獨立性檢驗的基本思想獨立性檢驗的基本思想類似于反證法．要確認兩個分類變量有關(guān)系的可信程度，先假設(shè)兩個分類變量沒有關(guān)系，再計算隨機變量K2的觀測值，最后由K2的觀測值很大在一定程度上說明兩個分類變量有關(guān)系．進行獨立性檢驗要注意理解以下三個問題：(1)獨立性檢驗適用于兩個分類變量．(2)兩個分類變量是否有關(guān)系的直觀判斷：一是根據(jù)2×2列聯(lián)表計算|ad－bc|，值越大關(guān)系越強；二是觀察等高條形圖，兩個深色條的高度相差越大關(guān)系越強；(3)獨立性檢驗是對兩個分類變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對其是否有關(guān)系的判斷．獨立性檢驗的結(jié)論只能是有多大的把握確認兩個分類變量有關(guān)系，而不能是兩個分類變量一定有關(guān)系或沒有關(guān)系．二、兩個重要參數(shù)1．相關(guān)指數(shù)R2相關(guān)指數(shù)R2是用來刻畫回歸模型的回歸效果的，其值越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好．2．隨機變量K2隨機變量K2是用來判斷兩個分類變量在多大程度上相關(guān)的變量．獨立性檢驗即計算K2的觀測值，并與教材中所給表格中的數(shù)值進行比較，從而得到兩個分類變量在多大程度上相關(guān)．三、兩種重要圖形1．散點圖散點圖是進行線性回歸分析的主要手段，其作用如下：一是判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果樣本點呈條狀分布，則可以斷定兩個變量有較好的線性相關(guān)關(guān)系；二是判斷樣本中是否存在異常．2．殘差圖殘差圖可以用來判斷模型的擬合效果，其作用如下：一是判斷模型的精度，殘差點所分布的帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高．二是確認樣本點在采集中是否有人為的錯誤.題型一回歸分析思想的應(yīng)用回歸分析是對抽取的樣本進行分析，確定兩個變量的相關(guān)關(guān)系，并用一個變量的變化去推測另一個變量的變化．如果兩個變量非線性相關(guān)，我們可以通過對變量進行變換，轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)問題．例1一個車間為了規(guī)定工時定額，需確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗，測得的數(shù)據(jù)如下表：零件數(shù)x/個102030405060708090100加工時間y/min627275818595103108112127(1)畫出散點圖，并初步判斷是否線性相關(guān)；(2)若線性相關(guān)，求線性回歸方程；(3)求出相關(guān)指數(shù)；(4)作出殘差圖；(5)進行殘差分析；(6)試制訂加工200個零件的用時規(guī)定．解(1)散點圖，如圖所示．由圖可知，x與y線性相關(guān)．(2)x與y的關(guān)系可以用線性回歸模型來擬合，不妨設(shè)回歸模型為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x.將數(shù)據(jù)代入相應(yīng)公式可得數(shù)據(jù)表：序號零件個數(shù)xi/個加工時間yi/minxiyixeq\o\al(2,i)110626201002207214404003307522509004408132401600550854250250066095570036007701037210490088010886406400990112100808100101001271270010000∑5509205613038500∵eq\o(x,\s\up6(－))＝55，eq\o(y,\s\up6(－))＝92，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(56130－10×55×92,38500－10×552)＝eq\f(553,825)≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝92－eq\f(553,825)×55＝eq\f(827,15)≈，故線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(3)利用所求回歸方程求出下列數(shù)據(jù)：eq\o(y,\s\up6(^))iyi－eq\o(y,\s\up6(^))i－－－yi－eq\o(y,\s\up6(－))－30－20－17－11－7eq\o(y,\s\up6(^))iyi－eq\o(y,\s\up6(^))i－－－yi－eq\o(y,\s\up6(－))311162035∴R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)≈.(4)∵eq\o(e,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up6(^))i，利用上表中數(shù)據(jù)作出殘差圖，如圖所示．(5)由散點圖可以看出x與y有很強的線性相關(guān)性，由R2的值可以看出回歸效果很好．由殘差圖也可觀察到，第2，5，9，10個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這些樣本點的過程中是否有人為的錯誤．(6)將x＝200代入回歸方程，得eq\o(y,\s\up6(^))≈189，所以可以制訂189min加工200個零件的規(guī)定．跟蹤演練1在一段時間內(nèi)，某種商品的價格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為x(元)1416182022y(件)1210753且知x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，求出y對x的線性回歸方程，并說明擬合效果的好壞．解eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(12＋10＋7＋5＋3)＝，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝122＋102＋72＋52＋32＝327，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(620－5×18×,1660－5×182)＝eq\f(－46,40)＝－.∴eq\o(a,\s\up6(^))＝＋×18＝，∴線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋.列出殘差表為yi－eq\o(y,\s\up6(^))i0－－yi－eq\o(y,\s\up6(－))－－－∴eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝，R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)≈.故R2≈說明擬合效果較好．題型二獨立性檢驗思想的應(yīng)用獨立性檢驗的基本思想是統(tǒng)計中的假設(shè)檢驗思想，類似于數(shù)學(xué)中的反證法，要確認兩個分類變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下我們構(gòu)造的隨機變量K2應(yīng)該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理．例2為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗，將這200只家兔隨機地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B.下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的試驗結(jié)果．(皰疹面積單位：mm2)表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)頻數(shù)30402010表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)頻數(shù)1025203015完成下面2×2列聯(lián)表，能否在犯錯誤概率不超過的前提下，認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”．表3：皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2總計注射藥物Aa＝b＝注射藥物Bc＝d＝總計n＝解列出2×2列聯(lián)表皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2總計注射藥物Aa＝70b＝30100注射藥物Bc＝35d＝65100總計10595n＝200K2＝eq\f(200×（70×65－35×30）2,100×100×105×95)≈，由于K2>，所以在犯錯誤概率不超過的前提下，認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”．跟蹤演練2某電視臺聯(lián)合相關(guān)報社對“男女同齡退休”這一公眾關(guān)注的問題進行了民意調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表所示：贊同反對總計男198217415女476109585總計6743261000根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為對這一問題的看法與性別有關(guān)系？[P(K2≥≈]解假設(shè)“對這一問題的看法與性別無關(guān)”，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以得到：K2的觀測值k＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(1000×（198×109－217×476）2,415×585×674×326)≈>，又P(K2≥≈，故在犯錯誤的概率不超過的前提下認為對“男女同齡退