高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)8

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(八)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．有下列命題：①平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面β的距離相等，則α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分別表示平面，a，b表示直線)，則γ∥β；③平面α內(nèi)一個(gè)三角形三邊分別平行于平面β內(nèi)的一個(gè)三角形的三條邊，則α∥β；④平面α內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊與平面β內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊對(duì)應(yīng)平行，則α∥β.其中正確的有________(填序號(hào))．【解析】由面面平行的定義、性質(zhì)得③正確．【答案】③2．已知夾在兩平行平面α，β之間的線段AB的長(zhǎng)為6，AB與α所成的角為60°，則α與β之間的距離為_(kāi)_______．【解析】過(guò)B作BC⊥α于C，則∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin60°＝3eq\r(3).【答案】3eq\r(3)3．設(shè)直線l，m，平面α，β，則由l⊥α，m⊥β且l∥m，能得出α與β的位置關(guān)系是________．【答案】平行4．如圖1-2-83，AE⊥平面α，垂足為E，BF⊥α，垂足為F，l?α，C，D∈α，AC⊥l，則當(dāng)BD與l______時(shí)，平面ACE∥平面BFD.圖1-2-83【解析】l⊥平面ACE，故需l⊥平面BFD.【答案】垂直5．已知平面α∥β∥γ，兩條相交直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)A，B，C和D，E，F(xiàn)，已知AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，則AC＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60420238】【解析】∵α∥β∥γ，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).由eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，得eq\f(DE,EF)＝eq\f(2,3)，即eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3)，而AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.【答案】156．若平面α∥平面β，且α，β間的距離為d，則在平面β內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是________(填序號(hào))．①有且只有一條直線與平面α的距離為d；②所有直線與平面α的距離都等于d；③有無(wú)數(shù)條直線與平面α的距離等于d；④所有直線與平面α的距離都不等于d.【解析】由兩平行平面間的距離可知，②③正確．【答案】②③7．如圖1-2-84所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足________時(shí)，有MN∥平面B1BDD1圖1-2-84【解析】∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故線段FH上任意點(diǎn)M與N連結(jié)，有MN∥平面B1BDD1.【答案】M∈線段FH8．如圖1-2-85，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_(kāi)_______．圖1-2-85【解析】取CD的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，F(xiàn)H.在正四面體CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，則平面EFH與正方體的左右兩側(cè)面平行，則EF也與之平行，與其余四個(gè)平面相交．【答案】4二、解答題9．如圖1-2-86所示，B為△ACD所在平面外一點(diǎn)，M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心．圖1-2-86(1)求證：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ACD.【解】(1)證明：連結(jié)BM，BN，BG并延長(zhǎng)交AC，AD，CD分別于點(diǎn)P，F(xiàn)，H.∵M(jìn)，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心，∴eq\f(BM,MP)＝eq\f(BN,NF)＝eq\f(BG,GH)＝2.連結(jié)PF，F(xiàn)H，PH，有MN∥PF.又PF?平面ACD，MN?平面ACD.∴MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD.又MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.(2)由(1)可知eq\f(MG,PH)＝eq\f(BG,BH)＝eq\f(2,3)，∴MG＝eq\f(2,3)PH.又PH＝eq\f(1,2)AD，∴MG＝eq\f(1,3)AD.同理NG＝eq\f(1,3)AC，MN＝eq\f(1,3)CD.∴△MNG∽△ACD，其相似比為1∶3.∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9.10.如圖1-2-87，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ與平面PAO圖1-2-87【解】如圖，設(shè)平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，點(diǎn)M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性質(zhì)定理可得BQ∥假設(shè)平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥所以BQ∥D1M∥AP.因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn)，所以M為AA1的中點(diǎn)，所以Q為CC1的中點(diǎn)，故當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO[能力提升]1．如圖1-2-88，在多面體ABC-A1B1C1中，如果在平面AB1內(nèi)，∠1＋∠2＝180°，在平面BC1內(nèi)，∠3＋∠4＝180°，那么平面ABC與平面A1B1C1的位置關(guān)系是圖1-2-88【解析】在平面AB1內(nèi)，∠1＋∠2＝180°知A1B1∥AB，在平面BC1內(nèi)，∠3＋∠4＝180°，知B1C1∥BC，所以平面ABC與平面A1B1C【答案】平行2．已知平面α∥平面β，直線m?α，直線n?β，點(diǎn)A∈m，點(diǎn)B∈n，記點(diǎn)A，B之間的距離為a，點(diǎn)A到直線n的距離為b，直線m和n的距離為c，則a，b，c之間的大小關(guān)系為_(kāi)_________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60420239】【解析】在如圖所示的棱長(zhǎng)為1的正方體中，上、下底面分別記為α，β.直線m即直線AD1，直線n即直線BD.顯然點(diǎn)A，B之間的距離為a＝eq\r(3)，點(diǎn)A到直線n的距離為b＝eq\r(2)，直線m和n的距離為c＝1，則c<b<a.【答案】c<b<a3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P在對(duì)角線BD1上，且BP＝eq\f(2,3)BD1，給出下列四個(gè)命題：圖1-2-89①M(fèi)N∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三點(diǎn)共線；④平面MNQ∥平面APC.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____________．【解析】E，F(xiàn)分別為AC，MN的中點(diǎn)，G為EF與BD1的交點(diǎn)，顯然△D1FG∽△BEG，故eq\f(D1G,BG)＝eq\f(D1F,BE)＝eq\f(1,2)，即BG＝eq\f(2,3)BD1.又BP＝eq\f(2,3)BD1，故點(diǎn)G與點(diǎn)P重合，所以平面APC和平面ACMN重合，MN?平面APC，故命題①不正確，命題④也不正確．【答案】②③4．在正方體ABCD-A1B1C1D1圖1-2-90(1)求證：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)試找出體對(duì)角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點(diǎn)E，F(xiàn)，并證明A1E＝EF＝FC【解】(1)證明：因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中，ADeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))B1C1，所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以AB1∥C1D.又因?yàn)镃1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理可證，B1D1∥平面C1BD.又因?yàn)锳B1∩B1D1＝B1，AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如圖所示，連結(jié)A1C1，交B1D1于點(diǎn)O1；連結(jié)AO1，與A1C交于點(diǎn)又因?yàn)锳O1?平面AB1D1，所以點(diǎn)E也在平面AB1D1內(nèi)，所以點(diǎn)E就是A1C與平面AB1D1連結(jié)AC，交BD于