高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù) 課時(shí)作業(yè)(九)

課時(shí)作業(yè)(九)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)A組基礎(chǔ)鞏固\a\vs4\al(2023·浙江杭州市高一期末)函數(shù)f(x)＝x＋sinx，x∈R()A．是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)解析：f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又∵f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sinx＝－(x＋sinx)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)，故選A.答案：A\a\vs4\al(2023·貴州貴陽市高一期末)函數(shù)y＝sin2x是()A．周期為π的奇函數(shù)B．周期為π的偶函數(shù)C．周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)D．周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)解析：顯然函數(shù)y＝sin2x是奇函數(shù)，其最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π，故選A.答案：A\a\vs4\al(2023·福建三明市高一月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))，x∈R，則f(x)是()A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)D．最小正周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝－cos2x，所以f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù)，故選B.答案：B4．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))是()A．周期為π的奇函數(shù)B．周期為π的偶函數(shù)C．周期為2π的奇函數(shù)D．周期為2π的偶函數(shù)解析：因?yàn)椋簓＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2cos2x，所以函數(shù)是偶函數(shù)，周期為π.故選B.答案：B5．下列函數(shù)中，不是周期函數(shù)的是()A．y＝|cosx|B．y＝cos|x|C．y＝|sinx|D．y＝sin|x|解析：畫出y＝sin|x|的圖象(圖略)，易知選D.答案：D6．函數(shù)y＝cos(sinx)的最小正周期是()\f(π,2)B．πC．2πD．4π解析：cos[sin(x＋π)]＝cos(－sinx)＝cos(sinx)，∴T＝π，故選B.答案：B\a\vs4\al(2023·四川綿陽市高一期末)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，f(x)＝sinx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))的值為()A．－eq\f(1,2)\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(2π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，故選C.答案：C8．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))的最小正周期是eq\f(2π,3)，則ω＝__________.解析：eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,3)，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.答案：±39．若f(x)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝sinx，則f(x)的解析式是__________．解析：當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，∵f(－x)＝f(x)，∴x＜0時(shí)，f(x)＝－sinx.∴f(x)＝sin|x|，x∈R.答案：f(x)＝sin|x|10．已知f(x)是以π為周期的偶函數(shù)，且x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，f(x)＝1－sinx，求當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π，3π))時(shí)，f(x)的解析式．解析：x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π，3π))時(shí)，3π－x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，f(x)＝1－sinx，∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又∵f(x)是以π為周期的偶函數(shù)，∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，∴f(x)的解析式為f(x)＝1－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π，3π)).B組能力提升11．函數(shù)y＝－xcosx的部分圖象是()=ABCD解析：∵y＝－xcosx是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴排除A、C項(xiàng)；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，y＝－xcosx＜0，排除B，故選D.答案：D12．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，最小正周期為eq\f(3π,2)，且滿足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(π,2)≤x＜0，,sinx，0≤x＜π，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝________.解析：∵T＝eq\f(3π,2)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,4)π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,4)π＋\f(3,2)π×3))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π))＝sineq\f(3,4)π＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)13．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，試求φ為何值時(shí)：(1)f(x)是奇函數(shù)？(2)f(x)是偶函數(shù)？解析：(1)∵f(x)的定義域?yàn)镽，∴當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)必有f(0)＝0.即sinφ＝0，∴φ＝kπ(k∈Z)．即當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)，f(x)＝sin(2x＋φ)是奇函數(shù)．(2)∵偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且正、余弦函數(shù)在對(duì)稱軸處取最值，∴要使f(x)為偶函數(shù)，需有f(0)＝±1，即sinφ＝±1.∴φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．即當(dāng)φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函數(shù)．14．已知f(x)＝sinax(a＞0)的最小正周期為12.(1)求a的值；(2)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)．解析：(1)由eq\f(2π,a)＝12，得a＝eq\f(π,6).(2)∵f(x)＝sineq\f(π,6)x的最小正周期為12.且f(1)＋f(2)＋…＋f(12)＝0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝f(2005)＋f(2006)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝－[f(9)＋f(10)＋f(11)＋f(12)]＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,2)＋sin\f(5π,3)＋sin\f(11π,6)＋sin2π))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(\r(3),2)－\f(1,2)＋0))＝eq\f(3＋\r(3),2).\a\vs4\al(附加題·選做)設(shè)有函數(shù)f(x)＝asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx－\f(π,3)))和函數(shù)g(x)＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kx－\f(π,6)))(a＞0，b＞0，k＞0)，若它們的最小正周期之和為eq\f(3π,2)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－eq\r(3)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))－1，求這兩個(gè)函數(shù)的解析式．解析：∵f(x)和g(x)的最小正周期和為eq\f(3π,2)，∴eq\f(2π,k)＋eq\f(2π,2k)＝eq\f(3π,2)，解得k＝2.∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，∴asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,2)－\f(π,3)))＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(π,2)－\f(π,6)))，即a·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝b·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6))).∴eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),2)b，即a＝b.①又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－eq\r(3)geq\b\lc