高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 市獲獎(jiǎng)

第三章一、選擇題(每小題5分，共20分)1．下列結(jié)論中正確的是()A．在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)的極大值就是最大值B．在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)的極小值就是最小值C．在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)的最大值、最小值在x＝a和x＝b處取到D．在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)的極大(小)值有可能就是最大(小)值解析：由函數(shù)最值的定義知A，B，C均不正確，D正確，故選D.答案：D2．設(shè)函數(shù)g(x)＝x(x2－1)，則g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為()A．－1 B．0C．－eq\f(2\r(3),9) D．eq\f(\r(3),3)解析：g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝eq\f(\r(3),3)，x2＝－eq\f(\r(3),3)(舍去)．當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)與g(x)的變化情況如下表：x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))1g′(x)－0＋g(x)0極小值0所以當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，g(x)有最小值geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝－eq\f(2\r(3),9).答案：C3．函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是()A．0≤a<1 B．0<a<1C．－1<a<1 D．0<a<eq\f(1,2)解析：∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.答案：B4．已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx，若f(x)>1在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：∵f(x)＝ax－lnx，f(x)>1在(1，＋∞)內(nèi)恒成立，∴a>eq\f(1＋lnx,x)在(1，＋∞)內(nèi)恒成立．設(shè)g(x)＝eq\f(1＋lnx,x)，∴x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＝eq\f(－lnx,x2)<0，即g(x)在(1，＋∞)上是減少的，∴g(x)<g(1)＝1，∴a≥1，即a的取值范圍是[1，＋∞)．答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知函數(shù)f(x)＝x3－eq\f(3,2)ax2＋b(a，b為實(shí)數(shù)，且a>1)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為1，最小值為－2，則f(x)的解析式為________________．解析：f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝a，∵a>1，∴f(x)在[－1,0]上為增函數(shù)，在[0,1]上為減函數(shù)．∴f(0)＝b＝1，∵f(－1)＝－eq\f(3,2)a，f(1)＝2－eq\f(3,2)a，∴f(－1)<f(1)，∴f(－1)＝－eq\f(3,2)a＝－2，a＝eq\f(4,3).∴f(x)＝x3－2x2＋1.答案：f(x)＝x3－2x2＋16．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若對(duì)于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：∵x∈(0,1]，f(x)≥0可化為a≥eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3).設(shè)g(x)＝eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)，則g′(x)＝eq\f(3－6x,x4).令g′(x)＝0，得x＝eq\f(1,2).當(dāng)0<x<eq\f(1,2)時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)eq\f(1,2)<x≤1時(shí)，g′(x)<0.∴g(x)在(0,1]上有極大值geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝4，它也是最大值，∴a≥4.答案：[4，＋∞)三、解答題(每小題10分，共20分)7．求下列各函數(shù)的最值：(1)f(x)＝x2－eq\f(54,x)(x<0)．(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－3，x∈[－1,2]．解析：(1)f′(x)＝2x＋eq\f(54,x2).令f′(x)＝0得x＝－3.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)變化情況如表：x(－∞，－3)－3(－3,0)f′(x)－0＋f(x)極小值所以x＝－3時(shí)，f(x)取得極小值，也就是最小值，故f(x)的最小值為f(－3)＝27，無最大值．(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,2]內(nèi)恒大于0，∴f(x)在[－1,2]上為增函數(shù)．故x＝－1時(shí)，f(x)最小值＝－13；x＝2時(shí)，f(x)最大值＝5.即f(x)的最小值為－13，最大值為1.8．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.當(dāng)a＝3，b＝－9時(shí)，若函數(shù)f(x)＋g(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍．解析：記h(x)＝f(x)＋g(x)．當(dāng)a＝3，b＝－9時(shí)，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.當(dāng)x變化時(shí)，h(x)與h′(x)在(－∞，2]上的變化情況如下：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1,2)2h′(x)＋0－0＋h(x)28－43由此可知：當(dāng)k≤－3時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為h(－3)＝28；當(dāng)－3<k<2時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值小于28.因此，k的取值范圍是(－∞，－3]．9．(10分)已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函數(shù)f(x)在x＝－1和x＝3處取得極值，試求a，b的值；(2)在(1)的條件下，當(dāng)x∈[－2,6]時(shí)，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范圍．解析：(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，∵函數(shù)f(x)在x＝－1和x＝3處取得極值，∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的兩根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(2,3)a，,－1×3＝\f(b,3)；))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－9.))(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x－9.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)隨x的變化如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)