安徽省A10聯(lián)盟2022-2023學年高考數(shù)學三模試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設過拋物線上任意一點(異于原點)的直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線的另一個交點為，則（）A． B． C． D．2．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．3．單位正方體ABCD-，黑、白兩螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”．白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（iN*）.設白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處，這時黑、白兩螞蟻的距離是（）A．1 B． C． D．04．2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一幅十字繡贈送給當?shù)氐拇逦瘯@三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強”、“興國之路”，為了弄清“國富民強”這一作品是誰制作的，村支書對三人進行了問話，得到回復如下：小明說：“鴻福齊天”是我制作的；小紅說：“國富民強”不是小明制作的，就是我制作的；小金說：“興國之路”不是我制作的，若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（）A．小明 B．小紅 C．小金 D．小金或小明5．若復數(shù)滿足，復數(shù)的共軛復數(shù)是，則（）A．1 B．0 C． D．6．若的內(nèi)角滿足，則的值為（）A． B． C． D．7．如圖，在中，點，分別為，的中點，若，，且滿足，則等于（）A．2 B． C． D．8．設集合，則()A． B．C． D．9．某地區(qū)高考改革，實行“3+2+1”模式，即“3”指語文、數(shù)學、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，“2”指在化學、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學科中任意選擇兩門學科，則一名學生的不同選科組合有（）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種10．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（）A． B．C． D．11．已知雙曲線的一個焦點為，點是的一條漸近線上關于原點對稱的兩點，以為直徑的圓過且交的左支于兩點，若，的面積為8，則的漸近線方程為（）A． B．C． D．12．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓Г：，F(xiàn)1、F2是橢圓Г的左、右焦點，A為橢圓Г的上頂點，延長AF2交橢圓Г于點B，若為等腰三角形，則橢圓Г的離心率為___________.14．在中，，，，則__________．15．在疫情防控過程中，某醫(yī)院一次性收治患者127人.在醫(yī)護人員的精心治療下，第15天開始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，那么第19天治愈出院患者的人數(shù)為_______________，第_______________天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.16．某四棱錐的三視圖如圖所示，那么此四棱錐的體積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱柱中，已知，.（1）求異面直線與直線所成的角的大?。唬?）求點到平面的距離.18．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)，其中，是的一個極值點，且.（1）討論的單調(diào)性（2）求實數(shù)和a的值（3）證明19．（12分）已知.（Ⅰ）當時，解不等式；（Ⅱ）若的最小值為1，求的最小值.20．（12分）某單位準備購買三臺設備，型號分別為已知這三臺設備均使用同一種易耗品，提供設備的商家規(guī)定：可以在購買設備的同時購買該易耗品，每件易耗品的價格為100元，也可以在設備使用過程中，隨時單獨購買易耗品，每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設備時應購買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號的設備各60臺，調(diào)査每臺設備在一個月中使用的易耗品的件數(shù)，并得到統(tǒng)計表如下所示.每臺設備一個月中使用的易耗品的件數(shù)678型號A30300頻數(shù)型號B203010型號C04515將調(diào)查的每種型號的設備的頻率視為概率，各臺設備在易耗品的使用上相互獨立.（1）求該單位一個月中三臺設備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率；（2）以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據(jù)，該單位在購買設備時應同時購買20件還是21件易耗品？21．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，，，求證：.22．（10分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）設函數(shù)的導函數(shù)為，求證：函數(shù)有且僅有一個零點．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉(zhuǎn)為線段長度比，進而轉(zhuǎn)為坐標的表達式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點坐標，最后代入坐標，求得三角形面積比.【詳解】作圖，設與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，，設，則直線，即，與聯(lián)立，解得，從而得到面積比為.故選：【點睛】解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長的比例關系，進而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯的綜合題.2、C【解析】

求出集合的等價條件,利用交集的定義進行求解即可.【詳解】解：∵,,∴,故選：C.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎題.3、B【解析】

根據(jù)規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點，得到每爬1步回到起點，周期為1．計算黑螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點，即可計算出它們的距離．【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即過1段后又回到起點，可以看作以1為周期，由，白螞蟻爬完2020段后到回到C點；同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，黑螞蟻爬完2020段后回到D1點，所以它們此時的距離為.故選B.【點睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.4、B【解析】

將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.【詳解】依題意，三個人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.【點睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎題.5、C【解析】

根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則求出，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的運算法則，考查共軛復數(shù)的概念，屬于基礎題．6、A【解析】

由，得到，得出，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關系式，即可求解.【詳解】由題意，角滿足，則，又由角A是三角形的內(nèi)角，所以，所以，因為，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的基本關系式和正弦的倍角公式的化簡、求值問題，著重考查了推理與計算能力.7、D【解析】

選取為基底，其他向量都用基底表示后進行運算．【詳解】由題意是的重心，，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題關鍵是選取兩個不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運算，這樣做目標明確，易于操作．8、B【解析】

直接進行集合的并集、交集的運算即可．【詳解】解：；∴．故選：B．【點睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運算，是基礎題.9、C【解析】

分兩類進行討論：物理和歷史只選一門；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對應的組合數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】若一名學生只選物理和歷史中的一門，則有種組合；若一名學生物理和歷史都選，則有種組合；因此共有種組合.故選C【點睛】本題主要考查兩個計數(shù)原理，熟記其計數(shù)原理的概念，即可求出結(jié)果，屬于常考題型.10、C【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得，，又由，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，，有，又由在上單調(diào)遞增，則有，故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，注意函數(shù)奇偶性的應用，屬于基礎題．11、B【解析】

由雙曲線的對稱性可得即，又，從而可得的漸近線方程.【詳解】設雙曲線的另一個焦點為，由雙曲線的對稱性，四邊形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的漸近線方程為.故選B【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關系，考查數(shù)形結(jié)合思想與計算能力，屬于中檔題.12、A【解析】

根據(jù)排除，，利用極限思想進行排除即可．【詳解】解：函數(shù)的定義域為，恒成立，排除，，當時，，當，，排除，故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關鍵，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊，設，由題可得的長，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的關系，從而求出橢圓的離心率【詳解】如圖，若為等腰三角形，則|BF1|=|AB|.設|BF2|=t，則|BF1|=2a?t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，設∠BAO=θ，則∠BAF1=2θ，所以Г的離心率e=，結(jié)合余弦定理，易得在中，，所以，即e==，故答案為：.【點睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡單應用，屬于中檔題.14、1【解析】

由已知利用余弦定理可得，即可解得的值．【詳解】解：，，，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或（舍去）．故答案為：1．【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題．15、161【解析】

由題意可知出院人數(shù)構(gòu)成一個首項為1，公比為2的等比數(shù)列，由此可求結(jié)果．【詳解】某醫(yī)院一次性收治患者127人．第15天開始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．且從第16天開始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，從第15天開始，每天出院人數(shù)構(gòu)成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則第19天治愈出院患者的人數(shù)為，，解得，第天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案為：16，1．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列在實際問題中的應用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．16、【解析】

利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖：此四棱錐的高為，底面是長為，寬為2的矩形，所以體積.所以本題答案為.【點睛】本題考查幾何體與三視圖的對應關系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計算能力.解決本類題目的關鍵是準確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進行判斷.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）建立空間坐標系，通過求向量與向量的夾角，轉(zhuǎn)化為異面直線與直線所成的角的大?。唬?）先求出面的一個法向量，再用點到面的距離公式算出即可．【詳解】以為原點，所在直線分別為軸建系，設所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為，異面直線與直線所成的角的大小為．（2）因為，，設是面的一個法向量，所以有即，令，，故，又，所以點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點到面的距離，意在考查學生的數(shù)學建模以及數(shù)學運算能力．18、（1）在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）；（3）證明見解析.【解析】

（1）求出，在定義域內(nèi)，再次求導，可得在區(qū)間上恒成立，從而可得結(jié)論；（2）由，可得，由可得，聯(lián)立解方程組可得結(jié)果；（3）由（1）知在區(qū)間單調(diào)遞增，可證明，取，可得，而，利用裂項相消法，結(jié)合放縮法可得結(jié)果.【詳解】（1）由已知可得函數(shù)的定義域為，且，令，則有，由，可得，可知當x變化時，的變化情況如下表：1-0+極小值，即，可得在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）由已知可得函數(shù)的定義域為，且，由已知得，即，①由可得，，②聯(lián)立①②，消去a，可得，③令，則，由（1）知，，故，在區(qū)間單調(diào)遞增，注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，；（3）證明：由（1）知在區(qū)間單調(diào)遞增，故當時，，，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，因此，當時，，即，亦即，這時，故可得，取，可得，而，故.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的證明，屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點，利用導數(shù)證明不等主要方法有兩個，一是比較簡單的不等式證明，不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可；二是較為綜合的不等式證明，要觀察不等式特點，結(jié)合已解答的問題把要證的不等式變形，并運用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡或者進一步利用導數(shù)證明.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）當時，令，作出的圖像，結(jié)合圖像即可求解；（Ⅱ）結(jié)合絕對值三角不等式可得，再由“1”的妙用可拼湊為，結(jié)合基本不等式即可求解；【詳解】（Ⅰ）令，作出它們的大致圖像如下：由或（舍），得點橫坐標為2，由對稱性知，點橫坐標為﹣2，因此不等式的解集為.（Ⅱ）..取等號的條件為，即，聯(lián)立得因此的最小值為.【點睛】本題考查絕對值不等式、基本不等式，屬于中檔題20、（1）（2）應該購買21件易耗品【解析】

（1）由統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時的概率,設該單位三臺設備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨立事件概率公式進而求解即可；（2）由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應的概率,再分別討論該單位在購買設備時應同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】（1）由題中的表格可知A型號的設備一個月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為；B型號的設備一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為；C型號的設備一個月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為；設該單位一個月中三臺設備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設該單位三臺設備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個月中三臺設備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率為.（2）以題意知