安徽省馬鞍山市和縣一中2023屆高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，，則的最小值為（）A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．3．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實(shí)數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣25．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列是等差數(shù)列；②若直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等，則；③在中，“”是“”的必要不充分條件；④若，則的最大值為2.A．1 B．2 C．3 D．06．若實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．7．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是（）A．﹣3∈AB．3BC．A∩B=BD．A∪B=B8．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：12343.24.87.5若關(guān)于的線性回歸方程為，則的值為（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.59．已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足|OA|=A．2 B．2 C．23310．已知，則（）A．2 B． C． D．311．設(shè)，為非零向量，則“存在正數(shù)，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．充分不必要條件12．中國(guó)鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，到2018年底，全國(guó)鐵路營(yíng)業(yè)里程達(dá)到13.1萬(wàn)公里，其中高鐵營(yíng)業(yè)里程2.9萬(wàn)公里，超過(guò)世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營(yíng)里程（單位：萬(wàn)公里）的折線圖，以下結(jié)論不正確的是（）A．每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運(yùn)營(yíng)里程增加最顯著B(niǎo)．從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營(yíng)里程與年價(jià)正相關(guān)C．2018年高鐵運(yùn)營(yíng)里程比2014年高鐵運(yùn)營(yíng)里程增長(zhǎng)80%以上D．從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營(yíng)里程數(shù)依次成等差數(shù)列二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則_________.14．在中，，，，則________，的面積為_(kāi)_______．15．已知集合，，則__________．16．如圖，養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個(gè)三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理，在線段之間有一觀察站點(diǎn)，到直線，的距離分別為8百米、1百米，則觀察點(diǎn)到點(diǎn)、距離之和的最小值為_(kāi)_____________百米.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，.（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）設(shè)直線是函數(shù)在點(diǎn)處的切線，若直線也與相切，求正整數(shù)的值.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）證明：函數(shù)的極小值點(diǎn)為1；（2）若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.19．（12分）設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x-π(I)求f(x)的最小正周期；(II)若α∈(π6,π)且f(20．（12分）已知正數(shù)x，y，z滿足xyzt（t為常數(shù)），且的最小值為，求實(shí)數(shù)t的值.21．（12分）某企業(yè)對(duì)設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則視為不合格品，如圖是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖，下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表.圖：設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖表：設(shè)備改造后樣本的頻率分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162（1）求圖中實(shí)數(shù)的值；（2）企業(yè)將不合格品全部銷(xiāo)毀后，對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間或內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)180元；其他的合格品定為三等品，每件售價(jià)120元，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率.若有一名顧客隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)兩件產(chǎn)品支付的費(fèi)用為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，D，E分別是，的中點(diǎn)，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求證：平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】,選B2、B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出，然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫(xiě)出即可.【詳解】由，所以其共軛復(fù)數(shù).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較易.3、B【解析】

對(duì)分類討論，當(dāng)，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，求出單調(diào)遞增區(qū)間，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，的遞增區(qū)間是，所以，即.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性，熟練掌握簡(jiǎn)單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

化簡(jiǎn)z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦＝（1+2i）（1+ai）=，又因?yàn)閦∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義，線面關(guān)系，余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可；【詳解】解：①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得為一次項(xiàng)系數(shù)），則該數(shù)列是等差數(shù)列，故①正確；②若直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等，則與可以相交或平行，故②錯(cuò)誤；③在中，，而余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要條件，故③錯(cuò)誤；④若，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故④正確；綜上可得正確的有①④共2個(gè)；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運(yùn)用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．6、D【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，得，可得點(diǎn)，由得，平移直線，當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)時(shí)，該直線在軸上的截距最小，此時(shí)取最小值，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．7、C【解析】試題分析：集合考點(diǎn)：集合間的關(guān)系8、D【解析】

利用表格中的數(shù)據(jù)，可求解得到代入回歸方程，可得，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)，即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù)，可得又，．解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)的性質(zhì)，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

計(jì)算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，A故Ac,bca，F(xiàn)c,0，故Mc,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.10、A【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案．【詳解】，；；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的求法，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用．11、D【解析】

充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得，再由數(shù)量積運(yùn)算即可說(shuō)明成立；必要性中，由數(shù)量積運(yùn)算可得，不一定有正數(shù)，使得，所以不成立，即可得答案.【詳解】充分性：若存在正數(shù)，使得，則，，得證；必要性：若，則，不一定有正數(shù)，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡(jiǎn)單題.12、D【解析】

由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【詳解】選項(xiàng)，顯然正確；對(duì)于，，選項(xiàng)正確；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列，故錯(cuò).故選：D【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，又，所以，所?.14、【解析】

利用余弦定理可求得的值，進(jìn)而可得出的值，最后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】由余弦定理得，則，因此，的面積為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，再進(jìn)行集合的交運(yùn)算，即可得到答案.【詳解】，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解、集合的交運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

建系，將直線用方程表示出來(lái)，再用參數(shù)表示出線段的長(zhǎng)度，最后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)最小值.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別作為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則.設(shè)直線，即，則，所以，所以，，則，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí).故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）令，求導(dǎo)，可知單調(diào)遞增，且，，因而在上存在零點(diǎn)，在此取得最小值，再證最小值大于零即可.（2）根據(jù)題意得到在點(diǎn)處的切線的方程①，再設(shè)直線與相切于點(diǎn)，有，即，再求得在點(diǎn)處的切線直線的方程為②由①②可得，即，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為，，令，轉(zhuǎn)化為要使得在上存在零點(diǎn)，則只需，求解.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，單調(diào)遞增，且，，因而在上存在零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而的最小值為.所以，即.（2），故，故切線的方程為①設(shè)直線與相切于點(diǎn)，注意到，從而切線斜率為，因此，而，從而直線的方程也為②由①②可知，故，由為正整數(shù)可知，，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，且，從而在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，要使得在上存在零點(diǎn)，則只需，，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，，所以；因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，且，因此；因?yàn)闉檎麛?shù)，且，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.18、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】

(1)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的增減.(2)函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程在區(qū)間有兩解，令通過(guò)二次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性證明參數(shù)范圍.【詳解】解：（1）證明：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，所以在區(qū)間遞減；當(dāng)時(shí)，，所以，所以在區(qū)間遞增；且，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為1（2）函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程在區(qū)間有兩解，令，則令，則，所以在單調(diào)遞增，又，故存在唯一的，使得，即，所以在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，且，又因?yàn)?，所以，方程關(guān)于的方程在有兩個(gè)零點(diǎn)，由的圖象可知，，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,確定函數(shù)的極值,利用二次求導(dǎo),零點(diǎn)存在性定理確定參數(shù)范圍,屬于難題.19、(I)π；(II)-【解析】

(I)化簡(jiǎn)得到fx(II)f(α2)=2sin【詳解】(I)f(x)==2sin2x+(II)f(α2)=2sinα∈(π6,π)，故α+故α+π12∈sin(2α+【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期，三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.20、t＝1【解析】

把變形為結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)榧?，?dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，上述等號(hào)成立，所以，即，又x，y，z＞0，所以xyzt＝1．【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式求解最值時(shí)要注意轉(zhuǎn)化為適用形式，同時(shí)要關(guān)注不等號(hào)是否成立，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21、（1）（2）詳見(jiàn)解析【解析】

（1）由頻率分布直方圖中所有頻率（小矩形面積）之和為1可計(jì)算出值；（2）由頻數(shù)分布表知一等品、二等品、三等品的概率分別為.，選2件產(chǎn)品，支付的費(fèi)用的所有取值為240，300，360，420，480，由相互獨(dú)立事件的概率公式分別計(jì)算出概率，得概率分布列，由公式計(jì)算出期望．【詳解】解：（1）據(jù)題意，得所以（2）據(jù)表1分析知，從所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分別為.隨機(jī)變量的所有取值為240，300，360，420，480.隨機(jī)變量的分布列為240300360420480所以（元）【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，頻數(shù)分布表，考查隨機(jī)變量的概率分布列和