高中數(shù)學(xué)人教A版3第一章計(jì)數(shù)原理排列與組合 全國獲獎(jiǎng)

1．組合(二)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．能應(yīng)用組合知識解決有關(guān)組合的簡單實(shí)際問題．2．能解決有限制條件的組合問題．[知識鏈接]1．滿足什么條件的兩個(gè)組合是相同的組合？答如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，不管它們的順序如何，就是相同的組合，否則就是兩個(gè)不相同的組合(即使只有一個(gè)元素不同)．2．組合數(shù)公式的兩種形式在應(yīng)用中如何選擇？答在具體選擇公式時(shí)要根據(jù)題目的特點(diǎn)正確選擇．公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))常用于n為具體自然數(shù)的題目．一般偏向于組合數(shù)的計(jì)算．公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！·m！)常用于n為字母的題目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的證明．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．組合的有關(guān)概念從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．其公式為Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，m≤n)．特別地Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)＝1.2．組合應(yīng)用題的解法(1)無限制條件的組合應(yīng)用題的解法步驟為：一、判斷；二、轉(zhuǎn)化；三、求值；四、作答．(2)有限制條件的組合應(yīng)用題的解法常用解法有：直接法、間接法．可將條件視為特殊元素或特殊位置，一般地按從不同位置選取元素的順序分步，或按從同一位置選取的元素個(gè)數(shù)的多少分類.要點(diǎn)一分組、分配問題例16本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(2)分為三份，每份兩本；(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．解(1)先從6本書中選2本給甲，有Ceq\o\al(2,6)種選法；再從其余的4本中選2本給乙，有Ceq\o\al(2,4)種選法；最后從余下的2本書中選2本給丙，有Ceq\o\al(2,2)種選法；所以分給甲、乙、丙三人，每人2本，共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種．(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種方法，這個(gè)過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有Aeq\o\al(3,3)種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝xAeq\o\al(3,3)，所以x＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,3))＝15.因此分為三份，每份兩本一共有15種方法．(3)這是“不均勻分組”問題，一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種方法．(4)在(3)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種方法．(5)可以分為三類情況：①“2、2、2型”即(1)中的分配情況，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情況，有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種方法；③“1、1、4型”，有Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(3,3)＝90種方法．所以一共有90＋360＋90＝540種方法．規(guī)律方法“分組”與“分配”問題的解法(1)本題中的每一個(gè)小題都提出了一種類型的問題，搞清楚類型的歸屬對解題大有裨益．分清是分組問題還是分配問題是很關(guān)鍵的．(2)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n！；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．(3)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配．跟蹤演練1有4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)，(1)共有多少種放法？(2)恰有1個(gè)盒不放球，有多少種放法？(3)恰有1個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球，有多少種放法？(4)恰有2個(gè)盒內(nèi)不放球，有多少種放法？解(1)一個(gè)球一個(gè)球地放到盒子里去，每個(gè)球都可有4種獨(dú)立的放法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，放法共有44＝256(種)．(2)為保證“恰有1個(gè)盒子不放球”，先從4個(gè)盒子中任意拿去1個(gè)，即將4個(gè)球分成2、1、1的三組，有Ceq\o\al(2,4)種分法；然后再從3個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球，2個(gè)盒子，全排列即可．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有放法Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)＝144(種)．(3)“恰有1個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球”，即另外的3個(gè)盒子放剩下的2個(gè)球，而每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，即另外3個(gè)盒子中恰有1個(gè)空盒．因此，“恰有1個(gè)盒子放2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒子不放球”是一回事，故也有144種放法．(4)先從4個(gè)盒子中任意拿走2個(gè)，有Ceq\o\al(2,4)種拿法，問題轉(zhuǎn)化為：“4個(gè)球，2個(gè)盒子，每盒必放球，有幾種放法？”，從放球數(shù)目看，可分為(3，1)，(2，2)兩類：第1類，可從4個(gè)球中先選3個(gè)，然后放入指定的一個(gè)盒子中即可，有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,2)種放法；第2類，有Ceq\o\al(2,4)種放法．因此共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,4)＝14(種)．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得“恰有2個(gè)盒子不放球”的放法有Ceq\o\al(2,4)×14＝84(種)．要點(diǎn)二與幾何圖形有關(guān)的組合問題例2已知平面α∥平面β，在α內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，在β內(nèi)有6個(gè)點(diǎn)．(1)過這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作一平面，最多可作多少個(gè)不同平面？(2)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，最多可作多少個(gè)三棱錐？(3)上述三棱錐中最多可以有多少個(gè)不同的體積？解(1)所作出的平面有三類：①α內(nèi)1點(diǎn)，β內(nèi)2點(diǎn)確定的平面，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)個(gè)．②α內(nèi)2點(diǎn)，β內(nèi)1點(diǎn)確定的平面，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)個(gè)．③α，β本身，有2個(gè)．故所作的平面最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)＋2＝98(個(gè))所以最多可作98個(gè)不同的平面．(2)所作的三棱錐有三類：①α內(nèi)1點(diǎn)，β內(nèi)3點(diǎn)確定的三棱錐，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)個(gè)．②α內(nèi)2點(diǎn)，β內(nèi)2點(diǎn)確定的三棱錐，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)個(gè)．③α內(nèi)3點(diǎn)，β內(nèi)1點(diǎn)確定的三棱錐，有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)個(gè)．∴最多可作出的三棱錐有：Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)＝194(個(gè))所以最多可構(gòu)成194個(gè)三棱錐．(3)∵當(dāng)?shù)鹊酌娣e、等高的情況下三棱錐體積才能相等．∴體積不相同的三棱錐最多有Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝114(個(gè))所以最多有114個(gè)體積不同的三棱錐．規(guī)律方法解決與幾何圖形有關(guān)的問題時(shí)，要善于利用幾何圖形的性質(zhì)和特征，充分挖掘圖形的隱含條件，轉(zhuǎn)化為有限制條件的組合問題．跟蹤演練2平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，此外再無任何3點(diǎn)共線，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可得多少個(gè)不同的三角形？解法一我們把從共線的4個(gè)點(diǎn)中取點(diǎn)的多少作為分類的標(biāo)準(zhǔn)．第1類：共線的4個(gè)點(diǎn)中有2個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,8)＝48(個(gè))不同的三角形；第2類：共線的4個(gè)點(diǎn)中有1個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,8)＝112(個(gè))不同的三角形；第3類：共線的4個(gè)點(diǎn)中沒有點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(3,8)＝56(個(gè))不同的三角形．由分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(個(gè))．法二間接法：Ceq\o\al(3,12)－Ceq\o\al(3,4)＝220－4＝216(個(gè))．要點(diǎn)三排列、組合的綜合應(yīng)用例3有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔(dān)任語文課代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；(4)某女生一定要擔(dān)任語文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表．解(1)先選后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)種，后排有Aeq\o\al(5,5)種，共(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3))·Aeq\o\al(5,5)＝5400種．(2)除去該女生后，先取后排，有Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(4,4)＝840種．(3)先選后排，但先安排該男生，有Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360種．(4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有Ceq\o\al(3,6)種，再安排該男生有Ceq\o\al(1,3)種，其中3人全排有Aeq\o\al(3,3)種，共Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360(種)．規(guī)律方法解決有關(guān)排列與組合的綜合應(yīng)用問題尤其應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)審清題意，區(qū)分哪是排列，哪是組合；(2)往往綜合問題會有多個(gè)限制條件，應(yīng)認(rèn)真分析確定分類還是分步．跟蹤演練3有五張卡片，它們的正、反面分別寫著0與1，2與3，4與5，6與7，8與9.將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？解法一從0和1這個(gè)特殊情況考慮，可分三類：第1類：取0不取1，可先從另四張卡片中選一張作百位，有Ceq\o\al(1,4)種方法；0可在后兩位，有Ceq\o\al(1,2)種方法；最后需從剩下的三張中任取一張，有Ceq\o\al(1,3)種方法；又除含0的那張外，其他兩張都有正面或反面兩種可能，故此時(shí)可得不同的三位數(shù)有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,3)×22個(gè)．第2類：取1不取0，同上分析可得不同的三位數(shù)Ceq\o\al(2,4)×22×Aeq\o\al(3,3)個(gè)．第3類：0和1都不取，有不同的三位數(shù)Ceq\o\al(3,4)×23×Aeq\o\al(3,3)個(gè)．綜上所述，不同的三位數(shù)共有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,3)×22＋Ceq\o\al(2,4)×22×Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)×23×Aeq\o\al(3,3)＝432(個(gè))．法二任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)Ceq\o\al(3,5)×23×Aeq\o\al(3,3)個(gè)，其中0在百位的有Ceq\o\al(2,4)×22×Aeq\o\al(2,2)個(gè)，這是不合題意的，故不同的三位數(shù)共有Ceq\o\al(3,5)×23×Aeq\o\al(3,3)－Ceq\o\al(2,4)×22×Aeq\o\al(2,2)＝432(個(gè)).1．身高各不相同的7名同學(xué)排成一排照相，要求正中間的同學(xué)最高，左右兩邊分別順次一個(gè)比一個(gè)低，這樣的排法種數(shù)是()A．5040B．36C．18D．20答案D解析最高的同學(xué)只能站在中間，它別無選擇；從剩下的6名同學(xué)中任選3名，有Ceq\o\al(3,6)種不同的方法，他們由高到低的排列次序唯一；剩下的3名同學(xué)由高到低的排列次序也唯一．∴不同的排法共有Ceq\o\al(3,6)＝20(種)．2．某中學(xué)要從4名男生和3名女生中選4人參加公益活動(dòng)，若男生甲和女生乙不能同時(shí)參加，則不同的選派方案共有()A．25種B．35種C．820種D．840種答案A解析分3類完成：男生甲參加，女生乙不參加，有Ceq\o\al(3,5)種選法；男生甲不參加，女生乙參加，有Ceq\o\al(3,5)種選法；兩人都不參加，有Ceq\o\al(4,5)種選法．所以共有2Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(4,5)＝25(種)不同的選派方案．3．某學(xué)校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)．答案30解析分兩類，A類選修課2門，B類選修課1門，或者A類選修課1門，B類選修課2門，因此，共有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)＝30(種)選法．4．正六邊形頂點(diǎn)和中心共7個(gè)點(diǎn)，可組成________個(gè)三角形．答案32解析不共線的三個(gè)點(diǎn)可組成一個(gè)三角形，7個(gè)點(diǎn)中共線的是：正六邊形過中心的3條對角線，即共有3種情況，故組成三角形的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(3,7)－3＝32.1．應(yīng)用組合知識解決實(shí)際問題的四個(gè)過程2．注意結(jié)合知識背景理解“有序”“無序”，是排列問題還是組合問題，問法的細(xì)微變化就可能導(dǎo)致問題性質(zhì)的變化，解題時(shí)要注意審題.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．凸十邊形的對角線的條數(shù)為 ()A．10 B．35 C．45 D．90答案B解析Ceq\o\al(2,10)－10＝35，所以選B.2．在直角坐標(biāo)系xOy平面上，平行直線x＝m(m＝0，1，2，3，4)，與平行直線y＝n(n＝0，1，2，3，4)組成的圖形中，矩形共有 ()A．25個(gè) B．100個(gè) C．36個(gè) D．200個(gè)答案B解析Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,5)＝10×10＝100，所以選B.3．某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為 ()A．14 B．24 C．28 D．48答案A解析6人中選4人的方案有Ceq\o\al(4,6)＝15(種)，沒有女生的方案只有一種，所以滿足要求的方案總數(shù)有14種．4．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為 ()A．232 B．252 C．472 D．484答案C解析含1張紅色卡片，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(種)不同取法；不含紅色卡片有Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝208(種)取法，共有264＋208＝472(種)取法．5．在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________種．答案4186解析分兩類，有4件次品的抽法為Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,46)種；有3件次品的抽法有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,46)種，所以共有Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,46)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,46)＝4186(種)不同的抽法．6．某運(yùn)動(dòng)隊(duì)有5對老搭檔運(yùn)動(dòng)員，現(xiàn)抽派4個(gè)運(yùn)動(dòng)員參加比賽，則這4人都不是老搭檔的抽派方法數(shù)為________．答案80解析先抽取4對老搭檔運(yùn)動(dòng)員，再從每對老搭檔運(yùn)動(dòng)員中各抽1人，故有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝80(種)．7．空間有10個(gè)點(diǎn)，其中有5個(gè)點(diǎn)共面(除此之外再無4點(diǎn)共面)，以每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體，問一共可作多少個(gè)四面體？解不考慮任何限制，10個(gè)點(diǎn)可得Ceq\o\al(4,10)個(gè)四面體．由于有5個(gè)點(diǎn)共面，這5個(gè)點(diǎn)中的任意4個(gè)點(diǎn)都不能構(gòu)成四面體，共有Ceq\o\al(4,5)種情形．∴構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,5)＝210－5＝205.二、能力提升8．編號為1，2，3，4，5，6，7的七盞路燈，晚上用時(shí)只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有 ()A．60種 B．20種 C．10種 D．8種答案C解析四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個(gè)空檔中放入3盞亮燈，即Ceq\o\al(3,5)＝10.9．已知圓上9個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)連一線段，所有線段在圓內(nèi)的交點(diǎn)有 ()A．36個(gè) B．72個(gè) C．63個(gè) D．126個(gè)答案D解析此題可化歸為：圓上9個(gè)點(diǎn)可組成多少個(gè)四邊形，每個(gè)四邊形的對角線的交點(diǎn)即為所求，所以，交點(diǎn)有Ceq\o\al(4,9)＝126(個(gè))．10．(2023·重慶理)從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是________(用數(shù)字作答)．答案590解析分三類：①選1名骨科醫(yī)生，則有Ceq\o\al(1,3)(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5))＝360(種)；②選2名骨科醫(yī)生，則有Ceq\o\al(2,3)(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5))＝210(種)；③選3名骨科醫(yī)生，則有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,5)＝20(種)，∴骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是360＋210＋20＝590.11．在某次數(shù)字測驗(yàn)中，記座號為n(n＝1，2，3，4)的同學(xué)的考試成績?yōu)閒(n)．若f(n)∈{70，85，88，90，98，100}，且滿足f(1)<f(2)≤f(3)<f(4)，則這4位同學(xué)考試成績的所有可能有多少種？解f(1)<f(2)≤f(3)<f(4)可分為①f(1)<f(2)<f(3)<f(4)；②f(1)<f(2)＝f(3)<f(4)兩種情形．對于①，只需在集合中取4個(gè)數(shù)字，有Ceq\o\al(4,6)種，對于②，只需在集合中取3個(gè)數(shù)字，有Ceq\o\al(3,6)種．即不同的取法共有Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,6)＝35(種)．12．在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人去參加市級培訓(xùn)，在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)任意選5人；(2)甲、乙、丙三人必須參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加；(5)甲、乙、丙三人至少1人參加．解(1)Ceq\o\al(5,12)＝792(種)不同的選法．