廣東省佛山市三水第三高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

廣東省佛山市三水第三高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）化簡(jiǎn)的結(jié)果是A.1

B.

-1

C.

D.–參考答案：B2.已知單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在軸的非負(fù)半軸上，終邊與單位圓相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于軸于點(diǎn)，則有向線段表示的函數(shù)值是

(

)

參考答案：D3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D4.已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示，在原三棱錐中給出下列命題正確的是

（

）

A．異面直線SB與AC所成的角是90°

B．平面SAB

C．平面SAC

D．平面平面SAB參考答案：C略5.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模｜z｜＝（A）（B）（C）（D）參考答案：D6.某工廠甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件。為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車(chē)間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n=___D____A.9

B.10

C.12

D.13參考答案：Dn=a+b+c=13.選D7.若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4

D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1參考答案：B9.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)有 ①； ②； ③“”是“”的充要條件； ④是奇函數(shù). （A）1個(gè) （B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)參考答案：C略10.設(shè)是直線，a，β是兩個(gè)不同的平面A.若∥a，∥β，則a∥β

B.若∥a，⊥β，則a⊥βC.若a⊥β，⊥a，則⊥β

D.若a⊥β,∥a，則⊥β參考答案：B根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)定理可知，選項(xiàng)B正確。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若,y滿足，則2y?的最小值是_________.參考答案：3分析：將原不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，畫(huà)出可行域，分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，可知當(dāng)時(shí)取得最小值.詳解：不等式可轉(zhuǎn)化為，即滿足條件的x，y在平面直角坐標(biāo)系中的可行域如下圖令，由圖象可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最小值，此時(shí)，的最小值為3.

12.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖．若它的表面積為7π，則正（主）視圖中a=．參考答案：2略13.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y滿足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），an=（n∈N*），bn=（n∈N*），考查下列結(jié)論：①f（1）=1；②f（x）為奇函數(shù)；③數(shù)列{an}為等差數(shù)列；④數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．以上命題正確的是．參考答案：②③④【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】利用抽象函數(shù)的關(guān)系和定義，利用賦值法分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：（1）因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)任意x，y，f（x）滿足f（xy）=yf（x）+xf（y），∴令x=y=1，得f（1）=0，故①錯(cuò)誤，（2）令x=y=﹣1，得f（﹣1）=0；令y=﹣1，有f（﹣x）=﹣f（x）+xf（﹣1），代入f（﹣1）=0得f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函數(shù)．故②正確，（3）若，則an﹣an﹣1=﹣===為常數(shù)，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列，故③正確，④∵f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），∴當(dāng)x=y時(shí)，f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），則f（22）=4f（2）=8=2×22，f（23）=22f（2）+2f（22）=23+2×23═3×23，…則f（2n）=n×2n，若，則====2為常數(shù)，則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，故④正確，故答案為：②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義，結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵．14.函數(shù)的反函數(shù)為，則

.參考答案：答案：

15.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合，且焦點(diǎn)到其漸近線的距離為1，則此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)．參考答案：2【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由題意畫(huà)出圖形，再由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)到雙曲線一條漸近線的距離為1列式，再結(jié)合隱含條件求解．【解答】解：如圖，由拋物線方程y2=8x，得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（2，0），即雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（2，0），雙曲線的漸近線方程為．不妨取y=，化為一般式：bx﹣ay=0．則，即4b2=a2+b2，又a2=4﹣b2，聯(lián)立解得：a2=3，∴a=．則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線及拋物線的幾何性質(zhì)，考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．16.設(shè)O、A、B、C是平面上四點(diǎn)，且，，則______________。參考答案：17.如圖，點(diǎn)M為扇形的弧的四等分點(diǎn)即，動(dòng)點(diǎn)分別在線段上，且若，，則的最小是

．參考答案：連結(jié)OM，設(shè)OC=a，則OD=1-a由余弦定理可得：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中，角的對(duì)邊分別為，已知，且成等比數(shù)列。（I）求+的值；（II）若，求的值。參考答案：（1）∵成等比數(shù)列，∴，由正弦定理得,……3分∴

．……7分（2）由得，∵,∴，∴，∴,……10分由余弦定理得,∴，即,∴，

∴……………14分

略19.（本小題滿分13分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BB1上移動(dòng)，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．（Ⅰ）當(dāng)λ＝1時(shí)，證明：直線BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：（17）（本小題滿分13分）方法一：（Ⅰ）證明：如圖①，連接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，知BC1∥AD1.當(dāng)λ＝1時(shí)，P是DD1的中點(diǎn)，又F是AD的中點(diǎn)，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.………5分圖①圖②（Ⅱ）如圖②，連接BD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，且EF＝BD.又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四邊形PQBD是平行四邊形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，從而EF∥PQ，且EF＝PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因?yàn)锽Q＝DP＝λ，BE＝DF＝1，于是EQ＝FP＝，所以四邊形EFPQ也是等腰梯形．同理可證四邊形PQMN也是等腰梯形．分別取EF，PQ，MN的中點(diǎn)為H，O，G，連接OH，OG，則GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，故∠GOH是面EFPQ與面PQMN所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，則∠GOH＝90°.連接EM，F(xiàn)N，則由EF∥MN，且EF＝MN知四邊形EFNM是平行四邊形．連接GH，因?yàn)镠，G是EF，MN的中點(diǎn)，所以GH＝ME＝2.在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－＝λ2＋，OG2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋，由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋＋λ2＋＝4，解得λ＝，故存在λ＝，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角．……13分方法二：以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖③所示的空間直角坐標(biāo)系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(xiàn)(1，0，0)，P(0，0，λ)．

圖③(－2，0，2)，F(xiàn)P＝(－1，0，λ)，F(xiàn)E＝(1，1，0)．…………2分（Ⅰ）證明：當(dāng)λ＝1時(shí)，F(xiàn)P＝(－1，0，1)，而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.………6分（Ⅱ）設(shè)平面EFPQ的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則由于是可取n＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ的一個(gè)法向量為m＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，則m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝.故存在λ＝，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角．………13分20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)都在函數(shù)f(x)＝2x2－x的圖象上．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，且數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，求非零常數(shù)p的值；(3)設(shè)cn＝，Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn<對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.參考答案：(1)由已知，對(duì)所有n∈N*，Sn＝2n2－n，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝4n－3，因?yàn)閍1也滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－3(n∈N*)．(2)由已知bn＝，因?yàn)閧bn}是等差數(shù)列，可設(shè)bn＝an＋b(a、b為常數(shù))，所以＝an＋b，于是2n2－n＝an2＋(ap＋b)n＋bp，所以因?yàn)閜≠0，所以b＝0，p＝－．(3)cn＝＝(－)，所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)．由Tn<，得m>10(1－)．因?yàn)?－<1，所以m≥10.所以，所求的最小正整數(shù)m的值為10.21.已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=6x﹣2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（n，Sn）（n∈N*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有的（n∈N*）都成立的最小正整數(shù)m．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）依題意可設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（a≠0），求出導(dǎo)數(shù)，可得a=3，b=﹣2，可得Sn=3n2﹣2n，再由數(shù)列的通項(xiàng)與求和關(guān)系，即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）求得==（﹣），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和可得Tn，再由恒成立思想即可解得m的范圍，進(jìn)而得到最小正整數(shù)．【解答】解：（1）依題意可設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（a≠0），則f′（x）=2ax+b，由f′（x）=6x﹣2，可得a=3，b=﹣2，則f（x）=3x2﹣2x點(diǎn)（n，Sn）（n∈N*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．即有Sn=3n2﹣2n，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣3（n﹣1）2+2（n﹣1）=6n﹣5；當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1也適合，則an=6n﹣5；（Ⅱ）由（Ⅰ）知==（﹣）故Tn=